黑龙江哈尔滨德强高级中学2026-2027学年高三上学期开学验收数学试卷

哈尔滨德强高级中学2026～2027学年度上学期开学验收 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 已知，则下列正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的最小值是 D. 若，则 11. 已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A. B. C. 周长为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 13. 我市某学校的数学老师组织学生到崖州湾南繁基地进行科学实践活动，研究人员让学生尝试采摘西红柿园中最大的西红柿，规定只能摘一颗且只可以向前走不能回头．假设学生小丽在园中一共会遇到颗西红柿（设每颗西红柿的大小各不相同），最大的那颗出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能地摘到最大的那颗，小丽在老师的建议下采用了如下策略：观察前（）颗西红柿但不摘取，自第颗开始，只要发现比她前面见过的西红柿更大的就摘这颗，否则就摘最后一颗．记该学生摘到那颗最大西红柿的概率为，当，时，的值约为__________．（取） 14. 在中，，，则BC的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求的单调区间和极值； （2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围. 16. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响． （1）若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求： （ⅰ）甲最终获胜的概率； （ⅱ）丙最终获胜的概率； （2）若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率． 19. 已知，函数，. （1）证明：当时，对于任意，恒成立； （2）已知时，曲线和有公共点， （i）若，求的取值范围； （ii）证明：. 哈尔滨德强高级中学2026～2027学年度上学期开学验收 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 （或） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##0.8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值． （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）2 （2）①的角平分线交于点，， 即，由，得， 由余弦定理得：， 则，所以. ②． 【18题答案】 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 当时，函数，， 令，， ，设，， 当时，，所以在单调递增， 又，所以时，，在单调递增， 又，所以时，，即， 所以对于任意，恒成立. （2） （i） （ii）方法1：柯西不等式 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 由柯西不等式可知： 当且仅当时，等号成立， 又，所以， 当时，，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由(1)可知：，即，所以. 方法2：数形结合 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 即， 则点为直线上的动点， 又表示原点与点之间的距离， 所以大于等于原点到直线的距离， 即，所以， 设，，则， 因为，所以恒成立，在单调递增， 又，所以时，恒成立， 因为，所以，所以， 由（1）可知：，即，所以. 方法3：代入消元 因为时，曲线和有公共点， 所以存在，使得， 因为，所以， 要证：，即证：， 即证：关于的不等式成立， 即证：根的判别式， ， 因为，所以即证：恒成立， 即证：对于恒成立， 由（1）可知：，又， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $