广东深圳市深圳中学2027届高三摸底考试数学试题

2027届高三年级摸底考试数学参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D C A C D D D AC ACD ACD 填空题 9 12.√2 13.1013 14. 16 8.【答案】D 【解析】当|4-b小于100时，则a,b的百位数字差值只能是1，这样有10种情况，但还需保证百位数 A41 小的三位数的十位数更大，则|a-b|小于100的概率为 =所以La-b>100的概率为} A66 11.【答案】ACD 【解析】f'(x)=3H血3+3ax2=3(2+3n3), 由于f(⑨≠0，则令f'(x)=0,即a=-3n3 x2 设gw=-3n3,则g)=-x血323h3 x2 当x∈(-n,0)时，g(x)<0,g(x)单调递减，x趋于-0时，g(x)趋于0，x趋于0时，g(x)趋于-0， 当x02)时，g)>0,8)单调递增，x趋于0时，g)趋于-m, In 3 当xe(2 3+0)时，8'()<0，()单调递减，x趋于+0时，g()趋于-w, 2 则<0<5<n3<,所以A正确 当r<5时，a<g(y=-3*m3, x? f(x)=3(ax2+3n3)<0,所以fw)在（←o,)上单调递减，x为 极小值点，故B错误： 由于gI)=g(3)=-3ln3,由g(x)单调性以及图像可得， 若a2-33.则西≥1西≤3，不符合<普 若a<-31n3,则0<￥，<1，x>3,符合飞<题意，此时-为>2，C正确： )3+=3-3h3=36-n3>0,D正确，故选：0m 14.【答案】- 9 【解析】设AC中点为M,那么BABC=BM 设A所在的边的端点为A,A, 16 则BA·BC≥min(BA·BC,BA,BC）,(这是因为，记OA=Q-t)OA+tOA,,其中O为原点，设BA·BC=f(t), 数学答案 第1页共5页 那么f(t)是一次函数，从而t属于[0,1]时，有f)≥mi(f(0),f())所以我们可以不妨设A在六边形的 端点上.同理，我们可以不妨设C在六边形的端点上 此时分以下四种情况： (1)A,C重合，此时BABC=B- C20-0=0 ②)A,C为相邻项点，此时BABC=BM- 4 ③)A,C相隔一个顶点，此时BABC=|BM- C≥3-3-9 416416 9 综上，BA·BC的最小值为- 16 15.【答案】(1)b=1 (2)sin B=21 (3)43 14 【解析】(1)由余弦定理得c2=d+b2-2abc08C7=962+B2-2×3b×,所以b=1.4分 2 (2)由正弦定理得6=c 1万 sin B-sinc,即sinB n元，解得snB=V2i …8分 sin 14 3 3)在4BC中，C=,所以4-B=-2B因为a>6,所以B为锐角，osB=V1-mB=5/7 3 14 sin2B=2sin Bcos B=2x215 ,c0s2B=2c082B-1=11 141414 14 所以，sin(A-B)=sin 2元-2B 3 2 cos+in 1 …13分 7 16【答案】(1)见解析(2)4W5 15 【解析】(1)证明：因为AD∥BC,AD平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC. 因为平面PAD与平面PBC相交于I,所以1∥AD …5分 (2)解：如图，取线段AB的中点O,连接PO. 因为PA=PB,所以PO⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD, 平面PABO平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD. 数学答案第2页共5页 取线段CD的中点M,连接OM.以OA,OM,OP的方向分别为x,y,5轴的正方向，建立空间直角坐标系 依题意，A1,0,0),D1,2,0),P(0,0,2),C(-1,2,0), 则AD=(0,2,0),AP=（-1,0,2),PC=(-1,2,-2). B iAD=2y=0, 设平面PAD的法向量为i=（x,y,),则 可取=(2,0,1) AP=-x+2z=0, 设直线PC与平面2D所成的布为0，则m9=e0PC= 即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为4V5 …15分 15 17.【答案】(1)见解析；(2)当k=1时，M)取最小值-1 【解析】(1)f'(x)=e+(x-1)e-2=xe"-2x=x(e*-2k) 当k≤0时，e*-2k>0,f(x)在(o,0)上单调递减，在(0，+o∞)单调递增； 1审丁(+0)尹‘徵東于(0（忆）0尹‘斯1東丁(（忆）I'0-)#(x)‘0>(忆)I‘州，>Y之0示 增： 当k=)时，f)在R上单调递增： 新鼠夷@+（记⑩亚”独电丁《沉I0)乎'斯粱雕T(0o)乎V0<(西" …6分 (2)由(1)知 当e(（行1]时，在(m0上单润递增，在0.h(2》上单润递减，在(2+网上 单调递增 令8=h(2)大，则g因-1-去0.所以g倒在 上递增，所以 g(k)≤ln2-1=ln2-he<0,从而ln(2k)<k,所以ln(2e[0,k],所以当x∈(0，n(2k)时，f'(x)<0,f(x) 单调递减；当x∈(n(2k),k)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 所以M()=max{f(0),f(k)}=max{-l,(k-1)e*-k} 令h(k)=(k-1)e*-k3+1,则h'(k)=k(e-3k), 令p(k)=e*-3k,则p'(k)=e-3<e-3<0 o刘在合运读丽付)-6-0-e3<0 数学答案 第3页共5页 所以在在与]使得p代)0，且当行马时.>0，当ke(G时.<0 所以在[行马上单词递增，在(6山上单调通减 因为)合5-名>0,0=0，所以肉生0即)>f@=-1在 上恒成立，所以 M(k)=f()≥-1，当且仅当k=1时等号成立.综上，当k=1时，M(k)取最小值-1. …15分 1【谷关】《D千广-1(2@见解析：②的地小值为至，此时直线的方程为=0 4 【解析】(1)P(-2,0,所以a=2.又e=S=5,从而c=√5,6=1，故椭圆S的方程为+y2=1. …4分 (2)①若直线I的斜率不存在，则A(O,),B(O,-1),kpA kpB=-1,所以PA⊥PB，,即PD⊥PE: 若直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=,A(:,为)，B(x,y) y=kx y2=2x+ 4→-2x-4=0,x+x=3 2s4 k2 kaka=当。当 kxx2 k2.(4 k2.2 1+2x3+2x3+2(x1+x2)+44 =-1, 4 所以PA⊥PB,即PD⊥PE, …10分 x=y-2 ②设直线PA:x=y-2(≠0)，联立 y=2,所以M-2m,同理g= 2 1y2=2x+4 x=y-2 47 联立 x2+4y2=4 →(m2+4)y2=4y,所以yD= +4同理g-、m 1+4m eP484+片如+04）-4r+1m空 FO PDI PEyDy:4 4 所以三的最小值为25，取等条件是m=士1，此时40，士2，直线1的方程为x=0,…17分 S. 19.【答案】(1)2208-1(2)10,24(3)①b,=C+n-1②见解析 【解析】(1)X07中最小的元素为20+21+22++27=1-208三 -=22028-1.…3分 1-2 (2)设a=2+2,i<j.当j≤4时，可以逐个计算2°+2,2°+22,2+22，…，23+24，发现只 数学答案第4页共5页 有2+23=10和23+24=24符合要求(10+10=22+24,24+10=2+2). 当j≥5时，设2+2+10=2m+2”,m<n。由于2-1+10<2，故 2m+2"=2+2+10≤2-1+2+10<2×2，从而2”<2×2，故n<j+1；又 2×2”>2m+2”=2+2+10>2,从而2”<2-1，故n>j-1,所以，n=j.这时，2+10=2m,即 10=2m-2=2'(2m-1-1),故i=1,2m-1=6,无解. 所以，a的所有可能值为10和24. …8分 (3)①设x∈y,则x=26+2++2,显然=k+n-1, 且0≤6<i<<≤k+n-2,所以6，=C …12分 ②设S=】 2 2本 因为C=C1+C, 1 =c+c+c）+C+c++c+c+ac 1 2 (S+1一2kC2+1 k+1 2k+12k+ 2k+1C2x42 1 2k+l ok+2 -a-0, k(k+1)川 所以S41=5,+号S,所以S=25,又因为S,=1+C=2,所以S,=2是等比数列 1 2 …17分 数学答案 第5页共5页绝密★启用前 试卷类型：A 2027届高三年级摸底考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知z是复数，若(1+1)二=2，则= A.1-i B.1+i C.2i D.2-2i 2.命题“3x>1,x2-4x+6<0”的否定为 A.3x>1,x2-4x+6≥0 B.3x≤1，x2-4x+6≥0 C.Vx≤1，x2-4x+6≥0 D.x>1,x2-4x+6≥0 3.在空间中，下列命题正确的是 A.垂直于同一直线的两条直线平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D.若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 4双曲线发>0b>0)的一条渐近线方程为x+y=0,则该双曲线的离心率为 A.√2 B.5 C.2 D.2W2 5已知全集UR,集合4Ee乙X0B=g,(x+2)>2头，则4nG,B= A.{x-1≤x≤2B.{x-1<x≤2} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 数学试题A 第1页共4页 6.已知函数fx)=Asm(ax+p)的最小正周期为元，当x=汇时，f(x)取得最大值2，则下列结论正确 12 的是 A.f(-1)>f(0)>f1) B.f(-1)>f(I)>f(0) c.f1)>f(0)>f(-1) D.f(0)>f1)>f(-1) 7已知盛激/()满足+)fx-)-弓四F以0)子则F列结论不正瑞的是 A.f(0)=3 B.函数f(2x-1)关于直线x=对称 ● C.f(x)+f(0)≥0 D.3是函数f(x)的周期 8.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前三个数字构成三位数a,后三个数字构成三位数b,则|1-b卜100的 概率为 A青 C. 3 D.g 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有 27 B.若X~N(4,o2),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则=2 C.卫面等行AB五，a一片P(列-台则P4U)- D.已知事件AB相互独立，P(A)=京P(B)=写则P(A)=石 10.已知圆锥S0(O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)底面半径为1，母线长为√5.若P,Q为底面圆 周上任意不同两点，则下列结论正确的是 A.三棱锥0-SPQ体积的最大值为V 6 B.三角形SPO面积的最大值为 3 C.当∠PO0=60°时，平面SP0与平面S00夹角的余弦值为 11 D.四面体SOPQ外接球表面积恒大于3π 数学试题A 第2页共4页 1已知函数f()=3”+a有三个极值点名考，若x<名<宁，则 A.x6<0B.为极大值点C.飞3-x>2 D.f(x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆C:(x-1)+(y-2)=9,直线1：m(x+y+1)+y-x=0,m∈R,则直线1被圆C截得的最 短弦的长度为 13.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Mn,若4=1,2aMn=Mn+1-Mn,则 So= 14、已知A,B,C是边长为1的正六边形边上相异的三点，则BA.BC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在a4BC中，角A,B,C的对边分别为ab,c.已知a=3b,c=√万，C= (1)求b的值； (2)求sinB的值： (3)求sin(A-B)的值. 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P一ABCD的底面是正方形.设平面PAD与平面PBC相交于直线1. (1)证明：1∥AD: (2)若平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=V5,AB=2, 求直线PC与平面PAD所成角的正弦值. B,--- 数学试题A 第3页共4页 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(其中keR) (1)讨论函数(x)的单调性： (2)已知ke 函数f(x)在[O,]上的最大值为Mk),试判断当k为何值时，M(k)最小？ 18.(本小题满分17分) -1a>b>0)的离心率为5，曲线C,y-2x+4过艇圆G的左顶点P 2 (1)求椭圆C的方程： (2)过坐标原点O的直线1与C相交于点A,B(异于P),直线PA,PB分别与C相交于D,E, ①证明：PD⊥PE: ②记△PAB,△PDB的面积分别是S,S,求的最小值及此时直线1的方程 S. 19.(本小题满分17分) 已知k∈N,集合Xx={xx=2b+2+…+2,0≤6<3<<i,其中，4，，∈N} (1)求X07中最小的元素； (2)若a∈X1,且a+l0∈X1,求a的所有可能值： (3)对于n∈N,记y,=X⌒(2+m1,2],若集合X中的元素个数为b, ①求b,的表达式（用含有n和k的式子表达）； ②吟8上合，求证：数列足等比到 数学试题A 第4页共4页