精品解析：广东省深圳市宝安中学&中山市第一中学2026届高三上学期8月联考数学试题

宝安中学&中山一中2026届高三8月联考 数学 命题人：钱江 审题人：陈少晗 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2. 设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，公比为，且.若，则正整数的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的） 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1； B. 已知随机变量，若，，则； C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是第一象限角，且，则__________. 13. 甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一个人投篮，共投个球，投中次数多者为胜．每次投篮，甲投中的概率为，乙投中的概率为，则甲获胜的概率为_______． 14. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为______ . 四.解答题（本大题共6小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 16. 在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 17. 多面体中，四边形为梯形，，，且四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的值； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安中学&中山一中2026届高三8月联考 数学 命题人：钱江 审题人：陈少晗 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法、共轭复数的概念、模的计算公式即可求解. 【详解】，. 故选：A. 2. 设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立. 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 3. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则， 故， 当且仅当，则时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的图象对称性特征，建立方程求解即得. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以，即， 又，故时，的最小值为. 故选：A. 5. 已知数列为等比数列，公比为，且.若，则正整数的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出等比数列的通项，再运用等比数列的性质及前项和公式求解即可． 【详解】由题可得： ，解得，故， 因为 ，解得． 故选：C． 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得. 【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示， 过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则， 设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，， 圆台的侧面积为，解得，则，即， 则球的表面积. 故选：A. 8. 已知椭圆：（）与圆：，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，存在点P使和两个切点围成的四边形为正方形，得，进而知即可，利用椭圆参数关系求离心率范围. 【详解】 如上图，若为圆的两条切线，且， ∵， ∴四边形为正方形，则， ∴即可，则，得， ∴. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：要使条件成立，和两个切点围成的四边形为正方形，根据正方形的性质得，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围. 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的） 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1； B. 已知随机变量，若，，则； C. 若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； D. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据计算百分位数的方法步骤依次求解即可判断A，利用二项分布期望和方差公式解方程即可求出，从而判断B，根据负线性相关与相关系数的关系即可判断C，根据独立检验与独立的关系即可判断D. 【详解】对于A，8个数从小到大排列，因为，且，可得第25百分位数是1，故A正确； 对于B，因为，， 则，解得：，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数关系，故相关系数为-1，故C不正确； 对于D，由，说明在的显著水平下，不能拒绝原假设，即认为独立，故D正确； 故选：ABD. 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交准线于，过点作准线的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断；对于D，利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断. 【详解】对于A，对于抛物线， 则，其焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是第一象限角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可. 【详解】由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 13. 甲、乙两人进行投篮比赛，谁先投篮是随机的，一个人投完一球就要换成另一个人投篮，共投个球，投中次数多者为胜．每次投篮，甲投中的概率为，乙投中的概率为，则甲获胜的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分甲先投篮和乙先投篮两种情况考虑甲获胜的可能，再分别计算出概率求和即可. 【详解】甲获胜包括以下情况，甲先投时，甲以，，获胜， 乙先投时，甲以获胜，所以甲获胜的概率为： . 故答案为： 14. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为______ . 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 四.解答题（本大题共6小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求A； （2）若边上的高为2，且的平分线交边于，，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题意结合正弦定理得，再转化即可求得，进而可得解. （2）先由高表示面积和正弦定理形式表示的面积得①，接着在和中由正弦定理结合得②，再接着由余弦定理即可计算求出，再由和正弦定理形式面积公式即可计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 又，所以，所以， 又 所以，故, 所以，又，所以. 【小问2详解】 由题可得①， 又因为，是的平分线，所以， 因为，所以，所以由正弦定理得②， 又由余弦定理得③， 所以由①②③计算可得， 所以由即得 . 16. 在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） 因为， ． 因为，且在时单调减小， 所以，且在时单调增加，并在时取最小值， 所以． 【解析】 【分析】（1）条件①不符合题意.如果选条件②，则可根据及条件②，得到，从而可判断是等差数列，求得的通项公式，进而得到的通项公式，最后得到的通项公式.如果选条件③，可直接得到与的关系，进而可得到的通项公式. （2）由已知条件，可求得的通项公式，从而得到的表达式，即可证明. 【小问1详解】 对于条件①，当时，，不符合题意．（如果选条件①，不得分） 如选②：， ，， 则是公差为1的等差数列， 则，则． 当时，， 当时，满足上式． 所以的通项公式为． 如选③：因为，则， 当时，，解得：． 当时，， 即，因为，所以， 则是首项为1，公差为2的等差数列， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 略 17. 多面体中，四边形为梯形，，，且四边形为矩形． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）因为，， 所以，，， 又因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，因为，所以， 又因为四边形为矩形，所以，因为， 所以平面，因为， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可证，由题意可得，进而可证线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出面与平面的法向量，利用空间向量求空间角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点N，以M为原点，以方向为x轴，以方向为y轴，以方向为z轴，建立如图所示的坐标系 又，则 所以，则 ，． 假设平面的一个法向量为，则 ，令，则，所以， 假设平面的一个法向量为，则 ，令则，所以 假设平面与平面所成的角为，则 ， 即平面与平面所成角的余弦值为． 18. 已知双曲线的左，右焦点为，过作平行于轴的直线交于两点，若， （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线相切，切点为，与渐近线相交于两点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）设直线与圆相切于点，若的长度为圆的直径，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：①当与轴垂直时，，解得 ②当与轴不垂直时，设，设 与联立可得：， 且有， 故， 且． 将与联立可得：． ， ．综上所述，，所以得证． （ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义和勾股定理即可求解； （2）（ⅰ）设，，联立双曲线方程，结合韦达定理、数量积的坐标表示即可求证；（ⅱ）由与圆相切得到．再由（ⅰ）得，则．进而求解即可； 【小问1详解】 由题意得， 得， 又由勾股定理得 解得，所以， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由与圆相切可知：． 因为，所以． 由（ⅰ）可知，则．而． 消去可得：， 所以 故或 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的值； （3）若，证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）1 （3） 要证，即证， 令． ． 令． 又， 所以，使得，即， 所以， 所以当单调递减；当单调递增． 所以 又（2）知当时，恒成立，， 又，所以 故． 即： 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，结合定义域分类讨论，时的单调性; （2）由（1）知，分别求出最小值即可算出实数的取值范围，根据恒成立即可求出; （3）要证，即证，令,根据导数分析的单调性，即可证明. 【小问1详解】 （ⅰ）当时，恒成立，所以在上单调递增； （ⅱ）当时，由解得，所以在上单调递增； 由解得，所以在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）知：（ⅰ）当时，在上单调递增且， 所以时，不符合题意． （ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增． 故．令，依题意．① 又由得，由得． 所以在上单调递增，在单调递减， 因此在处取得最大值，即，故．② 由①②得，． 又因为在上单调递增，在单调递减，且． 所以有且仅有一个解，即． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了含有参量的函数问题，遇到参量问题主要是进行分类讨论，一定要将所有情况全部讨论，不要漏掉情况，在解答恒成立问题时要转化为求最值的问题，利用导数求出单调性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $