精品解析：广东省梅州市梅县东山中学2026-2027学年高三上学期开学综合练习数学试题

数学综合练习题（五） 2026.8 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为，所以，所以切点为，又， 由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率， 故得函数的图象在点处的切线方程是，即为． 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，， . 故选：D. 3. 如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形全等的判定条件，逐项分析各选项给出的数据是否能唯一确定三角形的边长. 【详解】对于A项，已知两边及其夹角， 根据余弦定理，可以唯一求出的长度，故A项能确定； 对于B项，已知三个内角，只能确定三角形的形状（即三角形相似）， 无法确定三角形的大小，因此的长度不确定，故B项不能确定； 对于C项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故C项能确定； 对于D项，已知，根据三角形内角和定理可得， 再由正弦定理，可得，可以唯一求出的长度，故D项能确定. 综上所述，不能确定长度的是B项. 4. 已知，其中为函数的导数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数与导数的奇偶性求解：先判断原函数是奇函数，故 ；再判断导函数是偶函数，故 ，两者相加得结果为 ． 【详解】因为的定义域是， 且 所以为奇函数，所以 ， ， 因为的定义域是， 且 所以为偶函数，所以 ， 所以 ． 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解. 【详解】展开式的通项为， 展开式中项为和， 所以的展开式中的系数为， 故选：C 6. 已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案. 【详解】由f（x）在上单调，即，可得，则ω≤9； ∵为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴， 根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：，k∈N*． 要求最大，则周期最小，∴，则T；∴ω＝2k﹣1； 当时，由，则，可得， 易知在上单减，在上递增，不合题意； 当时，由，则，可得， 易知在上单减，在上递增，不合题意； 当时，由，则，可得， 易知在上单减，符合题意； 故选：C． 7. 现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 300 【答案】C 【解析】 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 故选：C 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B. 设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的概念判定即可；对于B，根据条件概率公式与事件相互独立性的概念判断即可；对于C，根据回归方程计算预测值，再计算残差即可判定；对于D，根据决定系数的意义判断即可. 【详解】选项A，若所有样本点都在斜率为负的直线上，说明两组数据完全负线性相关，线性相关系数，而非直线斜率，故A错误； 选项B，由条件概率公式，若，可推得，符合相互独立事件的定义，故B正确； 选项C，将代入回归方程得预测值，残差为真实值减去预测值，即，故C正确； 选项D，决定系数是判断回归模型拟合效果的指标，越趋近于1，说明残差平方和越小，模型对样本数据的拟合效果越好，故D正确. 10. 已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由余弦定理与面积公式写出，利用同角平方关系建立等式，结合均值不等式得到含的四次不等式，由平方非负唯一解出，结合等号成立时，进而算出的值，再用余弦定理逐一验证四个选项对错． 【详解】由，得， 所以， 由，得 所以 整理得， 由，当且仅当时，等号成立， 得， 所以， 整理得，即， 因为，所以，解得， 所以， 将，，代入， 所以， 对于A，，，任意两边平方和都不等于第三边平方，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】方案一中，有放回地摸球，每次取到红球的概率为， 摸次球，则取得红球个数， ∴，； 方案二中，不放回地摸球，取得红球个数服从超几何分布， 则，， 所以，，故A，D正确； 当时， ， ，即，故C错误； ， ∵ ，； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故，故B错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，解得即可. 【详解】依题意，所以，， 解得，. 故答案为： 13. 已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，，解得，. 所以函数. 根据正弦函数的单调递增区间可知，， 解得，. 所以所求的递减区间为. 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______ 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】分别求出，，时，的值域，可得，，，推得，，利用累加法求出，由数列的裂项相消求和，计算即可. 【详解】由函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，，可得，，，即， 当时，，可得或，或，或1或2，即， 当时，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即， 当时，函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为， 当时，函数在定义域上的值域为， 记中元素的个数为，设，则，， 所以， 则可得递推关系：， 所以, 当时，成立，则，则， 所以， 故答案为：3； 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义题，解题关键是找到递推关系：，结合累加法求出数列通项，利用裂项相消求出前项和. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且，． （1）求及的面积S； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案； （2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案. 【小问1详解】 由余弦定理得，即， 故，解得或（舍去）， ； 【小问2详解】 因为，， 所以， 故， 在中，由余弦定理得，， 故. 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分，和两种情况，得到函数单调区间； （2）根据切线倾斜角得到方程，求出，并得到的解析式，根据函数在区间上不是单调函数，得到不等式组，求出答案 【小问1详解】 的定义域为， ， 若，则，此时无单调区间； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得，令得， 此时单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，若，则无单调区间； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为； 若，则单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 由题意得，解得， ，， 则， 所以， 因为函数在区间上不是单调函数， 所以存在，使得， 其中，结合开口向上， 必有， 由题意可得，对于任意的，恒成立， 故只需， 其中，， 故，解得. 18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程； （2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本） 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，. 【答案】（1） （2）当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值 【解析】 【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程； （2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 解：令，则关于的线性回归方程为， 由题意可得， ，则， 所以，关于的回归方程为. 【小问2详解】 解：由可得， 年利润 ， 当时，年利润取得最大值，此时， 所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值. 19. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【小问1详解】 不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学综合练习题（五） 2026.8 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量障碍物两侧，之间的距离，根据以下数据，不能确定长度的是（） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知，其中为函数的导数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2026 D. 2027 5. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 300 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组样本数据所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B. 设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D. 线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于1，则拟合效果越好 10. 已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的周长为 11. 已知一个袋子中放有个不同的红球和个不同的黄球，现从中逐个摸取个小球．方案一：有放回地摸球，记取得红球个数为；方案二：不放回地摸球，记取得红球个数为．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. ，其中 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则__________. 13. 已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知分别为三个内角的对边，且，． （1）求及的面积S； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围． 18. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程； （2）已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本） 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，. 19. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $