1.4充分条件必要条件专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦充分条件与必要条件的逻辑关系，通过7类递进题型系统覆盖概念判断、参数求解及充要证明，强化推理意识与逻辑思维 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-03|15题|基础逻辑关系判断，区分充分、必要、充要及既不充分也不必要条件|从概念辨析到简单命题关系判断，构建逻辑基础| |题型04-05|10题|结合集合与不等式，根据条件类型求参数范围|深化条件与集合包含关系的转化，培养数学思维| |题型06|5题|探求充分/必要条件，强化条件与结论的逻辑联系|提升条件转化与逆向思维能力，体现数学语言表达| |题型07|5题|充要条件证明，要求双向推理与严谨论证|综合应用逻辑推理，发展理性精神与证明能力|

1.4 充分条件与必要条件 目录 题型01 充分条件与必要条件判断 1 题型02 充要条件判断 3 题型03 既不充分也不必要条件判断 5 题型04 根据充分不必要条件求参数 7 题型05 根据必要不充分条件求参数 9 题型06 充分条件必要条件探求 11 题型07 充要条件证明 13 题型01 充分条件与必要条件判断 1．已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 2．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接判断和的真假，即可确定是的何种条件. 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 故选：B. 3．已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 当时，成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 4．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 5．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质由且得，反之不成立，进而求解. 【详解】由且，反之不成立，如， 所以且是的充分不必要条件， 故选：A. 题型02 充要条件判断 6．若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将等式进行等价变形，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】若，由得，即，即，即， 若且，即且，此时， 若，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，分别判断四个电路图中“开关闭合”与“灯泡亮”之间的逻辑推导关系即可. 【详解】 设为“开关闭合”，为“灯泡亮”. 对于图①，开关与另一开关并联. 若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，可能是另一开关闭合而断开，即， 故图①中是的充分不必要条件. 对于图②，开关与灯泡串联.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则电路必须接通，故必闭合，即， 故图②中是的充要条件. 对于图③，开关与另一开关串联.若闭合，另一开关断开，则电路不通，不亮，即； 若亮，则电路接通，两开关均须闭合，故必闭合，即， 故图③中是的必要不充分条件. 对于图④，开关在干路上.若闭合，则电路接通，亮，即； 若亮，则干路必须接通，故必闭合，即， 故图④中是的充要条件. 综上所述，满足条件的电路图是②④. 8．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由， 因当且仅当，即时取等， 显然不能全都为0，故，则由可得； 反之，当时，必有成立. 故得“”是“”的充要条件. 9．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：对不等式移项通分得，已知，即， 要使分式大于0，分母必须也为负，因此可得，充分性成立； 必要性：若，说明异号，结合条件，可知为正数，为负数. 因此，，必然有，必要性成立. 综上，是的充要条件。 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性即可得. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件， 若，则，故“”是“”的必要条件， 综上可得：“”是“”的充要条件. 题型03 既不充分也不必要条件判断 11．已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 12．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 13．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 14．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】充分条件是指如果A成立，则B一定成立；必要条件是指如果B成立，则A一定成立，要判断“”是“”什么条件，需要分别判断充分性和必要性是否成立. 【详解】判断充分性：充分性是指由“”能否推出“”. 当时，例如，此时成立， 此时，取，满足， 取，此时成立， 此时，取，，不满足， 这说明当时，不一定得出，所以充分性不成立. 判断必要性：必要性是指由“”能否推出“”. 取，此时，满足，但是 这说明当“”时，不能一定得出“”，所以必要性不成立. 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 15．“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，故“且”推不出“”； 当时，，但，故“”推不出“且”. 综上，“且”是“”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 题型04 根据充分不必要条件求参数 16．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 17．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 18．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 19．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 20．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 题型05 根据必要不充分条件求参数 21．若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C 22．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用必要不充分条件的判断方法得，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 则，所以，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意，所以， 故选：A. 23．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件定义可确定集合的包含关系，分别讨论和的情况即可求得结果. 【详解】是成立的一个必要不充分条件，是的真子集； 当，即时，，满足题意； 当时，需满足，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 24．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 25．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由集合的并集与补集运算求解即可； （2）由于“”是“”的必要条件，所以，分与求解a的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，所以， 所以或. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，则，即，符合题意 ； 当时，则，即； 综上所述：a的取值范围. 题型06 充分条件必要条件探求 26．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：若，由，可得；若，由，可得， 不满足充分性，故A错误； 选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误； 选项C：由，可得；不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 选项D：“”不能得出，也不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故D错误． 27．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知等价于，根据包含关系结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】若，解得，即等价于. 对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系， 可知是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于选项B：因为集合与集合相等， 可知是的充要条件，故B错误； 对于选项C：因为集合是集合的真子集， 可知是的充分不必要条件，故C正确； 对于选项D：因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故D错误. 28．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 29．设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 【答案】B 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 30．设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 【答案】D 【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式性质可判断D. 【详解】当时，成立，推不出，故A错误； 当时，成立，推不出，故B错误； 当时，成立，推不出，故C错误； 当时，，由不等式性质可得， 若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确. 故选：D 题型07 充要条件证明 31．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 32．已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【答案】 证明：先证充分性： 若a＋b＝1 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0 即a＋b＝1，成立 综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【分析】由a＋b＝1结合完全平方和公式证明充分性，利用完全平方和公式，提公因式对a2＋b2－a－b＋2ab＝0进行变形，结合a＋b≠0证明必要性. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，属于中档题. 33．已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 34．（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 【答案】 （1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是 【分析】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 35．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 充分条件与必要条件 目录 题型01 充分条件与必要条件判断 1 题型02 充要条件判断 2 题型03 既不充分也不必要条件判断 2 题型04 根据充分不必要条件求参数 3 题型05 根据必要不充分条件求参数 3 题型06 充分条件必要条件探求 4 题型07 充要条件证明 5 题型01 充分条件与必要条件判断 1．已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 5．“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 充要条件判断 6．若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图所示的四个电路图中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 8．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型03 既不充分也不必要条件判断 11．已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 题型04 根据充分不必要条件求参数 16．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 17．已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 20．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 题型05 根据必要不充分条件求参数 21．若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 22．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知集合，，若是成立的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 25．已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 题型06 充分条件必要条件探求 26．已知，则“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 27．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 28．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 29．设，则“”的充要条件是（ ） A．不都为1 B．都不为1 C．不都为0 D．中至少有一个为1 30．设、是实数.下列选项中是充要条件的是（    ） A． B．; C．; D．. 题型07 充要条件证明 31． 证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 32． 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 33． 已知，证明：“”是“”的充要条件. 34． （1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是 35．已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $