1.2集合间基本关系专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间基本关系，以7类题型构建从概念识别到参数应用再到新定义拓展的递进训练，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求子集真子集|4题|直接判断子集、真子集|基于子集定义的基础识别| |判断子集个数|4题|计算有限集子集/真子集数量|子集个数公式(2ⁿ)的应用| |判断包含关系|4题|分析集合间包含/相等关系|集合表示与元素属性的推理| |集合相等求参数|4题|利用集合相等列方程求参数|元素互异性与方程思想结合| |空集性质应用|5题|空集与集合关系的判断及参数|空集特殊性的理解与应用| |包含关系求参数|4题|含参数集合的包含关系讨论|分类讨论思想与集合边界分析| |新定义问题|5题|集合新运算、自恋数等创新题型|集合概念的迁移与应用意识|

1.2集合间基本关系 题型01 求集合子集真子集 1. 集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2. 已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合的真子集，即可判断. 【详解】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C 3. 已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集的定义求解. 【详解】的子集有，故选项C错误. 故选：C. 4. 已知集合．若，则集合可以是． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为且，所以在选项中只有C满足题意. 考点：子集的概念. 题型02 判断集合子集真子集个数 5. 若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 6. 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 7. 已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 【答案】D 【分析】根据子集的个数公式计算即可. 【详解】因为， 所以，有7个元素， 故子集个数为. 8. 已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 题型03判断集合包含关系 9. 已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 10. 已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 11. 已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合、中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定、的包含关系. 【详解】集合中的元素，满足，， 集合 中的元素，满足，， 因为集合和都表示被除余数为的整数的集合； 所以， 所以 故选：C. 12. 集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 题型04 集合相等求参数 13. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 14. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合、中元素的对应相等关系进行分类讨论，结合集合元素满足互异性可求出、的值，即可得解. 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 15. 设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 16. 已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可 【详解】由题意，集合，即 （1）若，则，此时，成立； 故 （2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立； （3）若，即或 当时，，此时两个集合不可能相等，不成立； 当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立 综上：，， 故选：A 题型05 空集性质及应用 17. 已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 18. 下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据元素与集合，集合与集合的关系及空集的概念对四个选项作出判断可得正确答案. 【详解】解：对于A选项，的表示格式不对，元素与集合间用，不能用等号，故A不正确； 对于B选项,正确，因为事任何集合的子集； 对于C选项, 因为事任何集合的子集,所以有，故C不正确； 对于D选项,由于空集中没有任何元素，所以事错误的，故D不正确， 故选B. 【点睛】本题主要考查元素与集合，集合与集合的关系及空集的概念，注意灵活运用其性质解题，相对简单. 19. 若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 20. 已知集合为空集，则实数的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若集合A为空集，只需满足二次方程无解. 【详解】，则， 故选：A. 【点睛】本题考查空集概念及根据空集求参数的取值范围问题，属于简单题. 21. 如果，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分为，两种情况具体讨论 【详解】，当时，；当时，需满足对应的，即，解得， 综上所述， 故选：B 【点睛】本题考查根据空集情况求解参数，属于基础题 题型06 集合包含关系求参数 22. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 23. 已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 24. 设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 25. 已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 题型07 集合关系有关新定义问题 26. 已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 【答案】B 【分析】由题定义先得，进而可得真子集的个数为. 【详解】集合，， 定义， 则，元素个数为5， 故集合的所有真子集的个数为， 故选：B 27. 定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 【答案】A 【分析】根据自恋数的定义逐个的进行判断可得集合B，进而即得. 【详解】，所以8是自恋数； ，所以23不是自恋数； ，所以81不是自恋数； ，所以153是自恋数； ，所以254不是自恋数； ，所以370是自恋数. 所以集合. 所以真子集个数：个. 故选：A 28. 对于两个非空集合，定义数集如下：，若，，则数集的子集的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知定义可求得，由个元素的集合子集个数为个可求得结果. 【详解】由题意得：，的子集个数为. 故选：B. 29. 在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用新定义可得关于的不等式化为，化为，通过对分类讨论即可得出． 【详解】解：由运算， 关于的不等式化为， 即， ①当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ②当时，其解集是， 由于其解集是，的子集， ，解得，． ③当时，其解集是， 由于其解集是，的子集，，解得 综上可知：．实数的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题正确理解新定义和熟练掌握分类讨论的思想方法、一元二次不等式的解法、子集的含义是解题的关键，属于中档题． 30. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）①根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；②通过（1）归纳出集合的所有非空子集的交替和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2集合间基本关系 题型01 求集合子集真子集 1. 集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 2. 已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 3. 已知集合，则下列集合中不是的子集的是（   ） A． B． C． D． 4. 已知集合．若，则集合可以是． A． B． C． D． 题型02 判断集合子集真子集个数 5. 若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6. 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 7. 已知集合 ，则 的子集个数是（    ） A．63 B．64 C．127 D．128 8. 已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型03判断集合包含关系 9. 已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 10. 已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 11. 已知集合，，则（    ） A．M与N的关系不确定 B． C． D． 12. 集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 题型04 集合相等求参数 13. 设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 14. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 15. 设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 16. 已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型05 空集性质及应用 17. 已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18. 下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 19. 若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 20. 已知集合为空集，则实数的集合是（    ） A． B． C． D． 21. 如果，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 集合包含关系求参数 22. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23. 已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 24. 设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 25. 已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值集合； 题型07 集合关系有关新定义问题 26. 已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．29 27. 定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则的真子集个数为（    ） A．7 B．15 C．31 D．63 28. 对于两个非空集合，定义数集如下：，若，，则数集的子集的个数是（    ） A． B． C． D． 29. 在R上定义运算，若关于x的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 30. 含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总和. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $