1.2 集合间的基本关系 专项训练（暑期预习）-2026-2027学年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合间关系的系统性梳理，以概念生成-性质推导-易错警示-典例应用为逻辑链，提炼“空集优先”“符号辨析”等解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念梳理|5个核心概念|子集个数公式、集合相等判定法则|从定义到性质，构建“子集-真子集-相等-空集”概念体系| |易错点警示|3类易错点|“数∈集⊆”符号口诀、空集分类讨论法|针对符号混淆、忽略空集等高频错误，强化概念辨析| |典型例题|2道精讲|含参集合关系分类策略|覆盖子集个数计算、含参集合关系证明，体现解题步骤标准化| |习题训练|30题（选择15+填空5+解答5）|集合表示形式转化技巧|从基础判断到综合应用，实现知识迁移与推理能力提升|

1.2集合间的基本关系 一、核心概念梳理 1.子集 定义：对任意 x∈A，都有 x∈B，则称 A 是 B 的子集，记作A⊆B(或 B⊇A) 读法：“A 包含于 B” 或 “B 包含 A” 关键点：①任何一个集合都是它本身的子集：A⊆A ②空集是任何集合的子集：∅⊆A 2. 真子集 定义：若 A⊆B，且存在至少一个元素 xϵ B但 x ∉A，则称 A 是 B 的真子集，记作A⊊B(或 A⊂B) 逻辑关系：A⊊B⟺A⊆B 且 A≠B 举例： {1,2} ⊊{1,2,3} {1,2}⊆{1,2} 3. 集合相等 定义：若 A⊆B且 B⊆A，则 A = B 本质：两个集合的元素完全相同 举例：{x∣}={-1,1}，{1,2,3}={3,2,1}（顺序无关） 4. 空集∅ 特殊规定：∅⊆A（任何集合），∅⊊A（A≠∅） 易错点：∅不是“没有”，而是一个不含任何元素的集合 2、 常用结论与性质总结 1. A⊆A 2. 若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆C 3. 若 A⊆B，B⊆A，则 A=B 4. 空集是唯一的 5. 含有 n个元素的集合，子集个数为 ，真子集个数为，非空真子集个数为 三、易错点与“考试坑” 易错点 1：混淆“属于”和“包含” 正确：1∈{1,2}，{1}⊆{1,2} 错误：{1}∈{1,2}，1⊆{1,2} 口诀：数是“∈”，集是“⊆” 易错点 2：忽略空集 题目说“A 是 B 的子集”，必须考虑 A=∅ 若 A ⊊B，则 A不能为 B本身 易错点 3：集合的表示形式不同，但实质相同 {x∣}={1,2}，不要因为形式不同而判错 四、典型例题精讲 例 1（子集个数）已知集合，求它的所有子集。 解：子集个数： 子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 真子集：去掉 {a,b,c}，共 7 个 例 2（含参集合）已知集合，，若 B⊆A，求实数 a。 解： 情况 1：B=∅，则 情况 2：，则 情况 3：，则 综上： 注意：含参集合题，第一步永远先讨论空集！ 一、单选题 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 2．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个真子集”，即可得出答案. 【详解】真子集的个数为. 故选：B. 3．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 4．下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义，元素与集合的关系，空集的性质判断作答. 【详解】对于①，R表示实数集，是实数，所以，故①正确； 对于②，N表示自然数集，，故②错误； 对于③，Q表示有理数集，是无理数，所以，故③错误； 对于④，N表示自然数集，，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，所以正确，故⑤正确. 综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2. 故选：D. 5．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 6．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得.此时，符合要求. 所以. 7．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 8．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 10．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以，所以集合的真子集的个数为. 11．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 12．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 13．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合，当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 14．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 15．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】，则集合中元素都在集合中， 若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若，方程无解； 由题意知，则必有， 此时，若，则，方程无实数根， ，则或， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可得，． 二、填空题 16．已知集合，若，则__，__. 【答案】 5 6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以一元二次方程的两个实数根为， 所以有. 17．设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 18．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 【答案】1 【分析】根据集合相等的定义求得后可得结论． 【详解】集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R）. 由A＝B， 得①解得此时集合A中，＝0与元素0重复，，违反互异性； ②解得，此时A＝B＝，符合题意. 综上，，所以. 19．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 20．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 三、解答题 21．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 22．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次方程即可求解； （2）由可得，解得，进而得到，再根据包含关系求解即可. 【详解】（1）当时，得，解得或， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以． 因为，所以，解得， 所以b的取值范围是． 23．已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的概念即可求出； （2）分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，， 根据交集的概念可得 （2）当，即时，，满足； 当，即时，，解得，故， 综上，m的取值范围为. 24．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 25．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2集合间的基本关系 一、核心概念梳理 1.子集 定义：对任意 x∈A，都有 x∈B，则称 A 是 B 的子集，记作A⊆B(或 B⊇A) 读法：“A 包含于 B” 或 “B 包含 A” 关键点：①任何一个集合都是它本身的子集：A⊆A ②空集是任何集合的子集：∅⊆A 2. 真子集 定义：若 A⊆B，且存在至少一个元素 xϵ B但 x ∉A，则称 A 是 B 的真子集，记作A⊊B(或 A⊂B) 逻辑关系：A⊊B⟺A⊆B 且 A≠B 举例： {1,2} ⊊{1,2,3} {1,2}⊆{1,2} 3. 集合相等 定义：若 A⊆B且 B⊆A，则 A = B 本质：两个集合的元素完全相同 举例：{x∣}={-1,1}，{1,2,3}={3,2,1}（顺序无关） 4. 空集∅ 特殊规定：∅⊆A（任何集合），∅⊊A（A≠∅） 易错点：∅不是“没有”，而是一个不含任何元素的集合 2、 常用结论与性质总结 1. A⊆A 2. 若 A⊆B，B⊆C，则 A⊆C 3. 若 A⊆B，B⊆A，则 A=B 4. 空集是唯一的 5. 含有 n个元素的集合，子集个数为 ，真子集个数为，非空真子集个数为 三、易错点与“考试坑” 易错点 1：混淆“属于”和“包含” 正确：1∈{1,2}，{1}⊆{1,2} 错误：{1}∈{1,2}，1⊆{1,2} 口诀：数是“∈”，集是“⊆” 易错点 2：忽略空集 题目说“A 是 B 的子集”，必须考虑 A=∅ 若 A ⊊B，则 A不能为 B本身 易错点 3：集合的表示形式不同，但实质相同 {x∣}={1,2}，不要因为形式不同而判错 四、典型例题精讲 例 1（子集个数）已知集合，求它的所有子集。 解：子集个数： 子集为：∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 真子集：去掉 {a,b,c}，共 7 个 例 2（含参集合）已知集合，，若 B⊆A，求实数 a。 解： 情况 1：B=∅，则 情况 2：，则 情况 3：，则 综上： 注意：含参集合题，第一步永远先讨论空集！ 一、单选题 1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 2．已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．8 B．7 C．3 D．1 3．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 8．已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 10．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 11．已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 12．集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 13．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 14．集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 15．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 16．已知集合，若，则__，__. 17．设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 18．已知集合A=，B=｛0,,1｝（a,b∈R），若A=B，则________. 19．设a，，若集合，则______． 20．已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 三、解答题 21．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 22．已知集合，． (1)若，求A； (2)若，且，求实数b的取值范围． 23．已知全集，，. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 24．已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 25．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $