2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及图象法求解，以园艺师围矩形的实际问题导入，通过类比一次函数的三者关系搭建学习支架，引导学生从函数图像出发理解知识脉络。 资料注重数学核心素养培养，情景引入让学生用数学眼光观察现实问题，探究过程通过小组合作和图像分析发展数学思维，例题与分层作业设计帮助学生用数学语言（集合）表达解集，提升应用意识与逻辑推理能力。

课题 2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根、函数图像与x轴交点横坐标的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式. 3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。 学习过程 一、情景引入 （阅读课本第50页应用题回答以下问题） 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20ｍ２，则这个矩形的边长为多少米？ 思考1: 与一元一次不等式进行类比，这个不等式有何特点? 二、探究新知 1.一元二次不等式定义: 一般地，我们把 ，且 的不等式，叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的一般形式: 3.求解一元二次不等式 思考：在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，这种联系可以让我们更简便的解决问题，你能回忆并写出三者之间的关系么？ 小组合作探究：基于从函数的观点看方程、不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 请在平面直角坐标系中画出二次函数 y=x2-12x+20的图象. 思考1：设P(x,y)是图象上的一个动点，当P移动到x轴上方, x轴上和x轴下方时, P点纵坐标y的符号是怎样的？ 思考2：当P点纵坐标为0时,如何求P点横坐标? 思考3：一元二次方程x2-12x+20=0的根与二次函数y=x2-12x+20有何关系? （1）二次函数的的零点 一般地，对于二次函数 ，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数 叫做函数y＝ax2＋bx＋c的 ． 【注意】 思考4： 函数y=x2-12x+20 的两个零点2和10将x轴分成三段， 每一段(不含零点)对应的函数图象有何特点？对应的函数值的范围又如何? 思考5: 你能从图象上看出不等式x2-12x+20<0的解集吗? （2）三个“二次”的关系 问题:对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)、一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)、以及与相对应的函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)之间是否也具有类似的关系？你能完成下表吗？ 判别式△=b2-4ac y=ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c=0(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 三、例题讲解 例1.求不等式x2－5x＋6＞0 的解集. 思考：x2－5x＋6<0 的解集是什么？ x2－5x＋6≤0的解集呢？ 例2.求不等式9x2－6x＋1＞0 的解集. 9x2－6x＋1≥0的解集是什么？ 9x2－6x＋1＜0、 9x2－6x＋1≤0 的解集呢？ 例3.求不等式 -x2＋2x－3＞0 的解集. 思考1：－x2＋2x－3<0 的解集是什么？ 思考2：如何求x2系数为负a<0的一元二次不等式的解集？ 课后作业 [A组　必备知识练] 1．函数y＝－x2＋x＋2的零点是(　　) A．－1，2　　　　　　　 B．x＝－1或x＝2 C．1，－2 D．x＝1或x＝－2 2．一元二次不等式2x2－x－1＜0的解集是(　　) A． B． C． D．{x|1＜x＜2} 3．已知集合A＝{x|x≤2}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈Z}，则A∩B＝(　　) A．{－1，2} B．{－1，0，1，2，3} C．{－1，0，1，2} D．{－1，3} 4．关于x的不等式(ax－1)(x－1)＜0(a＞1)的解集为________． 5．解下列一元二次不等式： (1)x(x－1)≤0； (2)x2－6x＋9≤0； (3)3x2－7x＋2＞0； (4)x2＋x＋1＞0. [B组　关键能力练] 6．关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或x＞3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜1，或x＞3} 7．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0. 参考答案 一、情景引入 问题解答： 设矩形一边长为 x m，则另一边长为 (12−x) m，0<x<12。 面积 S=x (12−x)>20，整理得：x²−12x+20<0，解得 2<x<10。 答：矩形的一边长大于 2m 且小于 10m，另一边长为 (12−x)，同样介于 2m 到 10m 之间。 思考 1：该不等式只含有一个未知数，未知数最高次数为 2。 二、探究新知 1. 一元二次不等式定义： 一般地，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式，叫做一元二次不等式。 2. 一元二次不等式的一般形式： ax²+bx+c>0，ax²+bx+c≥0，ax²+bx+c<0，ax²+bx+c≤0（a,b,c 为常数，a≠0） 3. 求解一元二次不等式 思考（一次函数三者关系）： 对于 y=kx+b (k≠0)： 方程 kx+b=0 的根是一次函数图像与 x 轴交点的横坐标； kx+b>0 的解集对应函数图像在 x 轴上方部分的 x 取值； kx+b<0 的解集对应函数图像在 x 轴下方部分的 x 取值。 小组合作探究： 二次函数 y=x²-12x+20，开口向上，零点 x=2、x=10，顶点坐标 (6,-16)。 思考 1： P 点在 x 轴上方：y>0； P 点在 x 轴上：y=0； P 点在 x 轴下方：y<0。 思考 2：令 y=0，解方程 x²-12x+20=0，方程的解就是 P 点横坐标。 思考 3：一元二次方程的实数根就是二次函数图像与 x 轴交点的横坐标。 （1） 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 y=ax²+bx+c (a≠0)，我们把使 ax²＋bx＋c＝0 的实数 x 叫做函数 y＝ax²＋bx＋c 的零点。 【注意】零点是实数，不是坐标点。 思考 4： ①x<2：图像在 x 轴上方，y>0； ②2<x<10：图像在 x 轴下方，y<0； ③x>10：图像在 x 轴上方，y>0。 思考 5：不等式 x²-12x+20<0 的解集：{x | 2<x<10} （2）三个 “二次” 的关系 (a>0) 表格 Δ=b²-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 ax²+bx+c=0 的根 两个不等实根 x₁,x₂(x₁<x₂) 两个相等实根 x₁=x₂= 无实根 ax²+bx+c>0 解集 {x|x<x₁或 x>x₂} {x|x≠} R ax²+bx+c<0 解集 {x|x₁<x<x₂} ∅ ∅ 三、例题讲解 例 1：求不等式 x²－5x＋6＞0 的解集。 解：解方程 x²-5x+6=0 得 x₁=2，x₂=3，抛物线开口向上。 解集：{x | x<2 或 x>3} 思考： x²－5x＋6<0 解集：{x | 2<x<3} x²－5x＋6≤0 解集：{x | 2≤x≤3} 例 2：求不等式 9x²－6x＋1＞0 的解集。 解：方程 9x²-6x+1=0，Δ=0，重根 x=，开口向上。 解集：{x | x≠} 思考： 9x²－6x＋1≥0 解集：R 9x²－6x＋1＜0 解集：∅ 9x²－6x＋1≤0 解集：{} 例 3：求不等式 -x²＋2x－3＞0 的解集。 解：两边同乘 - 1，不等号反向，x²-2x+3<0，Δ=-8<0，开口向上，函数恒大于 0。 解集：∅ 思考 1：－x²＋2x－3<0 的解集：R 思考 2：当二次项系数 a<0 时，不等式两边同时乘以 - 1，改变不等号方向，转化为 a>0 的一元二次不等式再求解。 A 组 必备知识练 1. A 解析：令 - x²+x+2=0，解得 x=-1,x=2；零点是数值，不是坐标。 2. C 解析：2x²-x-1<0，因式分解 (2x+1)(x-1)<0，解集 {x | <x<1} 3. C 解析：B={x|x²-2x-3≤0,x∈Z}={-1,0,1,2,3}，A={x|x≤2}，A∩B={-1,0,1,2} 4. {x | < x < 1} 解析：a>1，0<<1，(ax-1)(x-1)<0，小于零取两根之间。 5. 解不等式 (1) x (x−1)≤0 解集：{x | 0≤x≤1} (2) x²−6x＋9≤0，即 (x-3)²≤0 解集：{3} (3) 3x²−7x＋2＞0，(3x-1)(x-2)>0 解集：{x | x< 或 x>2} (4) x²＋x＋1＞0，Δ=-3<0，开口向上恒成立，解集：R B 组 关键能力练 6.C 解析：ax−b<0 解集是 {x|x＞1}，说明 a<0，b=a；代入 (ax+b)(x−3)＞0 化简得到 (x+1)(x-3)<0，解集 {x|-1<x<3}。 7. 解不等式 x²−(a+a²) x+a³＞0 因式分解得 (xa)(xa²)>0，两根 x=a，x=a²。 ①当 a>1 或 a<0，a²>a，解集：{x | x<a 或 x>a²} ②当 a=0，不等式为 x²>0，解集：{x | x≠0} ③当 a=1，不等式为 (x1)²>0，解集：{x | x≠1} ④当 0<a<1，a²<a，解集：{x | x<a² 或 x>a} 学科网（北京）股份有限公司 $