2.3二次函数与一元二次方程、不等式 新授课 导学案2026-2027学年高一数学上学期必修一

该高中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，涵盖定义、对应关系、解题步骤、特殊解法及恒成立条件等核心内容，通过基础梳理搭建学习支架，衔接函数图像与方程根的知识脉络，引导学生循序渐进掌握知识点。 资料以考点为导向设计分层训练，包含选择、填空、解答等多种题型及实际应用问题，助力学生通过推理意识分析问题，用数学语言规范表达，培养抽象能力与应用意识，同时便于教师把握教学重点，提升学生学习效率。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 【2】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表，其中 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 【3】一元二次不等式通用解题步骤 ①________：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②________：计算，判断根的个数； ③________：时解方程得到零点； ④________：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤________：特殊不等式快速处理 ⑥________：解集端点包含根； ⑦________：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧________：，因式分解. 【4】一元二次不等式的特殊解法 (1)用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为_____________________或___________________________的形式，再由k的______，可得原不等式的解集. (2)用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是____________，不等式的解集是_________________. 例：不等式的解集是____________，的解集是____________. 【5】写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是________且________． （2），恒成立的充要条件是________且________． （3），恒成立的充要条件是________且________． （4），恒成立的充要条件是________且________． 【6】分式二次不等式 _______ _______且 【7】简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 【8】韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则_________；__________. ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 一元二次不等式的概念及辨析 1 解不含参的一元二次不等式 2 ,12,15 分式二次不等式的解法 3， 解含有参数的一元二次不等式 4 ,13,16 由一元二次不等式的解确定参数 5 ,17 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 4 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 6 ，11,19 一元二次不等式在实数集上的有解问题 7 一元二次不等式在某区间上的有解问题 8， 二次函数的图象分析与判断 9， 一元二次方程根的分布问题 10 一元二次不等式的实际应用 14 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 18 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 4．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 10．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．不等式的解集为______． 13．关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 14．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 18．函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 19．已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 【答案】 未知数 2 【2】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表，其中 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 【答案】 两根 二重根 无实根 全体实数 【3】一元二次不等式通用解题步骤 ①________：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②________：计算，判断根的个数； ③________：时解方程得到零点； ④________：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤________：特殊不等式快速处理 ⑥________：解集端点包含根； ⑦________：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧________：，因式分解. 【答案】 标准化 算判别式 求方程根 图象写解集 拓展补充 含等号 缺一次项 缺常数项 【4】一元二次不等式的特殊解法 (1)用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为_____________________或___________________________的形式，再由k的______，可得原不等式的解集. 【答案】 正负 (2)用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是____________，不等式的解集是_________________. 例：不等式的解集是____________，的解集是____________. 【答案】 【5】写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是________且________． （2），恒成立的充要条件是________且________． （3），恒成立的充要条件是________且________． （4），恒成立的充要条件是________且________． 【答案】 【6】分式二次不等式 _______ _______且 【答案】 【7】简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 【答案】 【8】韦达定理（根与系数关系） 若两根为，则_________；__________. 【答案】 ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 一元二次不等式的概念及辨析 1 解不含参的一元二次不等式 2 ,12,15 分式二次不等式的解法 3， 解含有参数的一元二次不等式 4 ,13,16 由一元二次不等式的解确定参数 5 ,17 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 4 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 6 ，11,19 一元二次不等式在实数集上的有解问题 7 一元二次不等式在某区间上的有解问题 8， 二次函数的图象分析与判断 9， 一元二次方程根的分布问题 10 一元二次不等式的实际应用 14 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 18 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的概念依次判断即可 【详解】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式； 选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合. 故选：C. 2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 4．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 6．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 7．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 二、多选题 9．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【分析】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对. 故选：BD. 10．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错. 故选：ABD. 11．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 三、填空题 12．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 13．关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为 ，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 14．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】根据一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由题意可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （4）由题意可得，令，解得或， 所以不等式的解集为. 16．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 【答案】答案见详解 【分析】由题意可得，分类讨论最高项系数和两根大小，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为， 1.当时，则，所以不等式的解集为； 2.当时，令，解得或， （1）当时，可知，所以不等式的解集为； （2）当时，可知，则有： ①当，即时，所以不等式的解集为； ②当，即时，所以不等式的解集为； ③当，即时，所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 18．函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）讨论，根据一元二次不等式恒成立及判别式列不等式求参数范围； （2）由一元二次不等式根的个数得或，再应用韦达定理及已知条件求参数范围； （3）根据不等式恒成立，将主元看作并结合一元一次不等式性质列不等式组求参数范围. 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，恒成立，则，解得； 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以， 因为，即，则，解得或， 综上，或. （3）若恒成立， 对恒成立， 则，即为. 19．已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为 【分析】（1）参数分离得，再利用基本不等式求出的最小值即得. （2）将不等式变形为，再按的取值情况分类讨论求出不等式的解集. 【详解】（1）由，得，而，则恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，解得；当时，无解；当时，解得， 当时，不等式为，解得或， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $