甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026-2027学年高三起点摸底考试数学试卷

甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点 摸底考试数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若是，的等差中项，是，的等比中项，则 A．6 B．5 C．4 D．3 3．若，则的虚部是 A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为 A．13 B．14 C．15 D．16 5．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 6．已知，，，则 A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为 A． B． C． D． 8．已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴 10．已知抛物线与直线交于，两点，焦点为，若，则 A． B．直线与相切 C．的准线方程为 D． 11．设函数，则 A．当时，没有零点 B．当时，在区间上不存在极值 C．存在实数，使得曲线为轴对称图形 D．存在实数，使得曲线为中心对称图形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数是_________． 13．已知，则_________． 14．某中学开展劳动实践活动，学生对圆台体木块进行平面切割，已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，要求切割面经过圆台的两条母线．若切割面经过圆台的上下底面圆心，且面积为，则圆台外接球的表面积为_________；若切割面的面积取最大值时不经过上下底面圆心，则圆台的高的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16．（本小题满分15分） 有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用A，B，C三类药物．服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2 5.5 6.2 6.5 6.3 5.8 5.4 6.0 5.3 5.8 B 5.5 6.0 5.6 5.0 5.7 6.2 6.4 5.9 5.7 5.1 C 5.1 4.9 5.3 5.2 5.5 6.2 5.7 5.5 5.8 5.6 已知该生理指标正常范围是． （1）从服用A，B，C类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； （2）30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2．现从这5名患者中随机选出2人，记为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图，在正三棱柱中，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若点满足，且平面，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）证明：对，有． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点．当为的上顶点时，． （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）当的中点为，记的斜率为，的斜率为，证明：是定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省市县重点高中教研协作联盟2026～2027学年高三起点 摸底考试·数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．A 9．ABD 10．AD 11．ABC 12． 13． 14．（2分） （3分） 15．解：（1）由及正弦定理，得， 2分 即． 3分 在中，，所以，， 4分 又，所以，． 5分 因为，所以． 6分 （2）由余弦定理，得， 8分 所以，又，所以，解得， 10分 所以的面积为． 13分 16．解：（1）因为服用A类药物的10名患者中，有7人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为， 2分 因为服用B类药物的10名患者中，有8人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出1人，指标在正常范围内的概率为， 4分 因为服用类药物的名患者中，有人生理指标在正常范围内，所以从中随机选出人，指标在正常范围内的概率为． 6分 （2）因为5名患者中，3人生理指标在正常范围内，2人生理指标不在正常范围内，所以的可能取值为0，1，2， 7分 ， 9分 ， 11分 ， 13分 所以的分布列为： 0 1 2 故． 15分 17．（1）证明：连接交于，则为中点， 连接，因为为中点，所以， 3分 因为平面，平面， 所以平面． 6分 （2）解：取中点，在正三棱柱中，，，两两垂直， 故以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，所以，，， 8分 所以， 因为平面，所以， 所以，又，所以． 10分 所以，由题意知为平面的一个法向量， 12分 又，所以， 13分 设直线与平面所成角为，则． 15分 18．（1）解：由，得， 2分 由，得，， 4分 所以函数的图象在点处的切线方程为，即． 6分 （2）证明：设， 所以，且，． 8分 设，，， 因为函数，在上都单调递减，所以在上单调递减， 又，，所以，使得． 12分 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又，，所以对任意的，， 所以在上单调递增，所以． 所以对，都有． 17分 19．（1）解：记的半焦距为，显然，而， 2分 故， 3分 于是的方程为． 4分 （2）证明：（ⅰ）不妨设，， 当斜率不为时，设，联立有，可得，． 8分 易知．的斜率为，故的方程可表示为， 9分 当时，显然，故 ． 11分 当斜率为时，易知其也过． 12分 综上，直线过定点． 13分 （ⅱ）因为的中点为，且过点，所以的斜率不为， 由题意，得， ． 16分 ，故，为定值．（其他解法参照给分） 17分 学科网（北京）股份有限公司 $