精品解析：甘肃白银市第十中学2026-2027学年高三上学期开学诊断数学试题

风白银市第十中学高三年级开学诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合、，利用集合的交集运算求解. 【详解】，, 所以. 2. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别判断与的大小，再判断的大小. 【详解】，，， 所以. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D选项，再判断原函数在及上的正负即可确定答案. 【详解】因为， 所以， 即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D， 又因为，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，当时，， 所以，当时，，当时，，故排除A、B， 故选：C． 【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域； （2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性； （3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性. 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，， 【详解】因为函数是偶函数，则， 又函数为偶函数，则， 即，所以函数是周期为2的函数， 则，， 且当时，是减函数， 由可得，即. 故选：C 7. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 8. 已知函数（不恒为零）、其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 关于直线对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 当时，有， ； 当，有， ， 当，结合，有， ， ， 综上，，， 关于直线对称， 所以关于直线对称，故C正确； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则， ，， 故，故D错误. 二、多选题（每题6分，共3小题，全部选对的得6分，部分选对的得部分分1，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对选项A：∵ ，∴ 或 ， 解得 或 或 . 根据集合元素的互异性， 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，满足互异性，故 ，选项A错误. 对选项B：∵ ，∴ ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为，选项B正确. 对选项C：不等式 等价于 ， 解得 或 ，选项C中将 纳入解集，忽略分母不为的要求，错误. 对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围， 故命题“”的否定为“”， 选项D中错误修改了限定范围为 ，错误. 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增；在上单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示， 由图象可知：当时，与的图象有3个不同的交点， 即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 11. 已知实数m，n满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即，构造函数，利用其单调性和函数值确定，进而等量代换将双未知量变为单未知量，即可一一求解. 【详解】由可得，， 即，则有， 也即， 设函数，则， ， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 且当时，；当时，； 因为，所以， 即，所以，即，A正确； ，B错误； 设，在恒成立， 且， 所以存在唯一使得， 由可得，，所以， ，设在上单调递增， 所以， 所以，C正确； ， 设，， 令，， 易得函数在单调递增，且， 所以函数在单调递减， 且，所以恒成立， 所以单调递增， 所以，即， 所以正确，故D正确； 故选:ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为，进而构造函数，利用单调性和函数值确定，进而利用等量代换，即可求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3小题） 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数列式求解. 【详解】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，从而可得，，设，利用导数求解即可． 【详解】依题意得与只有一个交点，即两曲线相切， 则只有一个解， ，化简得，将其代入得， ，即，. ， 则， 设，则， 在单调递减，， 的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由指对运算可得，进而可得，构造函数，由导数求解即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论当不等式是或不是二次不等式时解的情况； （2）求导，根据导数判断当命题为真命题时的取值范围，再分情况讨论两个命题真假性即可. 【小问1详解】 因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，，为真命题，符合题意； 当时，，解得． 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 由函数得， 若为真命题，则在上恒成立， 即在上恒成立． 因为在上单调递减，最大值为，所以． 由（1）知，若为真命题，的取值范围为． 又因为，有且只有一个是真命题， 所以当真假时，有，解得； 当假真时，有，解得． 所以的取值范围是． 16. 对于函数，若则称为的不动点.设. (1)当时， (i)求的极值点； (ii)若存在既是的极值点，也是的不动点，求的值. (2)判断是否存在实数，使得有两个极值点，且这两个极值点均为的不动点？判断并说明理由. 【答案】(1)(i)当时，无极值点，当时，是的极大值点，是的极小值；(ii)；(2)不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)(i)求出函数的导数，再按b值分类讨论的根并辨析即可； (ii)由(i)的信息，解方程组即可得解； (2)假定存在满足题设的，从极值点和不动点两个角度分别分析即可判断作答. 【详解】(1)当时，， （i）当时，在上单调递增﹐无极值点， 当时，由得：或，当或时，，当时，， 于是有在，上都单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点； （ii）因是的极值点，也是的不动点，则有，即，其中， 消去得：，即，而，则，从而， 所以的值是； (1)假设存在满足题设的，令为的两个极值点且为的不动点，并不妨令， 因，则为方程的两个根， 当时，，于是有在上单调递减，则， 又为的不动点，则，即与矛盾， 所以不存在满足题设的. 17. 已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【小问1详解】 令，可得，结合知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间以及极值； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. 极小值为，无极大值. （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）求，利用和求解函数的单调区间，从而可得到极值. （2）先利用的符号判断函数的单调性，再利用最小值小于零即可求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为. . 令，即，解得；令，即，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，. 当，即，恒成立，所以在上单调递增，最多1个零点，不符合题意. 当，即时，令，即，解得. 当时，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以是极小值点，也是最小值点， 且. 当时，；当时，. 因为有两个不同的零点，所以即. 又因为，所以，解得. 所以. 综上所述，若有两个不同的零点，的取值范围为. 19. 已知函数 （1）若在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； （3）当时，记，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）由，令，则， 所以 故， ①先证明当，，， 令，， 令，，所以，， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，. ②证明因为在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，，又因为， 故当时，，，， 所以，即， 所以，所以，证毕； ③再证明：， 因为和在上恒成立， 所以，当时，， 即，，， 所以， 所以， 所以，证毕. 综上，. 【解析】 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求； （2）讨论，利用导数求函数的极大值，结合条件列不等式求其解集即可； （3）令，进而得，结合得，，进而得到即可证明；再结合不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【小问1详解】 函数的导函数， 由题意得，所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）， 由余弦函数性质可得在上单调递减， 因为，所以， 若，由可得，，在上单调递减，无极值，舍去； 若，由可得，，在上单调递增，无极值，舍去； 若，则， 所以存在使得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极大值，极大值为， 因为在上的极大值大于1，所以， 令，，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以，又， 所以， 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 风白银市第十中学高三年级开学诊断考试 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共8小题） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数（不恒为零）、其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 关于直线对称 D. 二、多选题（每题6分，共3小题，全部选对的得6分，部分选对的得部分分1，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 11. 已知实数m，n满足，且，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共3小题） 12. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是______． 13. 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______. 14. 已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设，命题：，使得不等式成立；命题：函数在区间内单调递增． （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若命题，有且只有一个是真命题，求的取值范围． 16. 对于函数，若则称为的不动点.设. (1)当时， (i)求的极值点； (ii)若存在既是的极值点，也是的不动点，求的值. (2)判断是否存在实数，使得有两个极值点，且这两个极值点均为的不动点？判断并说明理由. 17. 已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：是上的单调递减函数； （3）若对，，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间以及极值； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围． 19. 已知函数 （1）若在点处的切线斜率为1，求实数的值； （2）若在上的极大值大于1，求实数的取值范围； （3）当时，记，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $