2.2基本不等式第二课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“2.2.2基本不等式”，核心内容为通过配凑法、常数代换等方法利用基本不等式求最值及解决实际问题。以“积不是定值怎么办”等探究问题为导入，搭建从基础应用到变形技巧的学习支架，衔接前后知识。 这份资料通过例题与练习引导学生用数学眼光观察问题本质，如配凑法中拆添项构造定值培养数学思维，常数代换结合实际条件提升数学语言表达能力。分层作业设计兼顾基础与能力，参考答案详细，助力自主学习与教师教学评估。

课题 2.2.2基本不等式 学习目标 1、进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值； 2、能够利用基本不等式解决实际问题。 学习过程 一、基本不等式常用解题方法 探究1 配凑法 【例1】已知x>3,函数y =, 当x为何值时，函数有最值，并求其最值。 思考：积不是定值该怎么办？ 练习1. 若a>1,则a＋的最小值是( ) A．2 B．a C. D．3 【例2】若 0 <x< ，求函数y=x（1-2x）的最大值。 练习 2.已知2x+3y=2 (x>0,y>0),则xy的最大值是 探究2 常数代换 【例3】已知x+y=1且x>0,y>0,则 + 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 变式：已知x+y=3且x>0,y>0,则的最小值是 （2）已知x>0,y>0，且 + = 1 ，则x+y的最小值是 课后作业 [A组　必备知识练] 1．已知t＞0，则y＝的最小值为(　　) A．－2　　　　　　　　 B． C．1 D．2 2．用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于16 m)，则菜地的最大面积为(　　) A．64 m2 B．48 m2 C．32 m2 D．16 m2 3．(多选)下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝(a＞1) B．y＝＋ C．y＝x2＋ D．y＝＋ 4．函数y＝(x＞－1)的最小值是________． 5．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9. [B组　关键能力练] 6．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为(　　) A．20 B．10 C．40 D．10＋20 7．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加入某种化学药品后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中药品的浓度达到最大． 9．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________． 参考答案 一、基本不等式常用解题方法 探究 1 配凑法 【例 1】 解：∵ x>3，∴ x−3>0 y = = 由基本不等式：≥ =2 y ≥ 2+3=5 当且仅当 x−3 = ，即 x−3=1，x=4 时取等号。 ∴当 x=4 时，函数取得最小值 5，无最大值。 思考：积不是定值时，通过配凑（拆项、添项）构造出和或积为定值的形式，再使用基本不等式。 练习 1：D 解析：a>1，a−1>0, =(a−1)++1 ≥2+1=3，当 a−1=1，a=2 取最小值 3。 【例 2】 解：0<x<，则 1−2x>0 , y=x (1−2x)= ()・2x・(1−2x) ,2x>0，1−2x>0， 由基本不等式 2x (1−2x) ≤ =, y= ()・2x (1−2x) ≤ ()×()= ,当且仅当 2x=1−2x，x=时取等。 所以 y 的最大值为。 练习 2： 解析：2x+3y=2，x>0,y>0，2=2x+3y ≥ 2=2 , 两边除以 2：1≥，平方：1≥6xy ⇒ xy ≤,当且仅当 2x=3y=1，即 x=，y= 取等。答案：。 探究 2 常数代换 【例 3】C 解析：x+y=1，x>0,y>0, +=(+)(x+y)=2 + + ≥ 2+2=4，当 x=y=取等。 变式第一空： x+y=3，x>0,y>0， + = (+)(x+y)= (2++) ≥ (2+2)=，答案：。 变式（2）：已知 x>0,y>0，+=1 x+y=(x+y)(+)=1+9 ++ ≥10+2=16，当 即 y=3x，x=4,y=12 取等，答案：16。 A 组 必备知识练 1.D 2.C 3.AC 4. 答案：9 5. 证明： ∵a+b+c=1，a,b,c>0 ++=(++)(a+b+c) = 3 + + + + + + =3 + (+)+(+)+(+) ≥ 3+2+2+2 =9 当且仅当 a=b=c= 时取等号，故 ++≥9，得证。 B 组 关键能力练 6.D 7.B 8. 答案：2 9. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $