2.3一元二次函数、方程和不等式 导学案-2026-2027学年高一上数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学一元二次函数与方程、不等式同步练，以“例题-变式-练习”分层递进，覆盖概念理解、方法应用到综合拓展，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典型例题|一元二次不等式解法、恒成立问题|基础题型示范，如解含参不等式，培养运算能力| |变式训练|解集与参数关系、充要条件判断|条件转化与逆向思维，如已知解集求参数，发展推理意识| |综合练习|实际应用（刹车距离、利润问题）、跨知识综合（集合、高斯函数）|情境化问题设计，如用不等式解决销售利润，体现模型意识|

2.3 一元二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点归纳】 1.一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2.设 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 判别式 函数图象 与x轴交于两点 与x轴相切于一点 与x轴无交点 方程的根 两根 无实根 不等式解集 不等式解集 3.一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）在区间上恒成立 分离参数，转化为求函数在区间上最值问题． 设 在恒成立 在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的相对位置关系 对称轴在区间左侧（右侧）：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 4.区间上有解问题 在有解在有解 【典型例题】 例1． 解下列关于的不等式：（1）； (2) （3） （4） （1）【答案】 【解析】（1）由可得， 方程对应的两根为或； 所以不等式的解集为 （2）【答案】 【解析】不等式可化为，解得，所以不等式的解集为； （3）【答案】 原不等式可化为，∵， 【解析】∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为. （4）【答案】 【解析】不等式，因式分解得，可得不等式的解集为. 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】，解得或， 所以不等式的解集为或 【变式1-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【解析】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 例2.解关于的不等式 【答案】当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 【解析】易知即为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式解集为 【变式2-1】已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 【变式2-2】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 例3.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】（1）由题意知，是方程的两个根，则，则. （2）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或；综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 【变式3】解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【解析】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 例4．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【解析】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 【变式4】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为 A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元,利润为 则依题意,得 即,解得所以每件销售价应定为12元到16元之间 例5．已知不等式的解集为． (1)求的值；(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】 【解析】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立；当时，不等式对于均成立， 等价于，解得，综上，可得． 【变式5】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当，即时，，解得. ②当，即时，若，则原不等式为，恒成立．若，则原不等式为，即，不合题目要求，舍．综上，当时，原不等式的解集为R. 【练习】（1-7单选题） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【解析】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的充要条件是，故必要不充分条件是. 3.已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 4．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 所以的解集为， 所以原不等式的解集为，即 故选：C. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B 6.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得，综上可得，故选D 7．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 8.（多选题）已知不等式的解集为,则下列选项正确的是(      ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由题意知,和是方程的两个实数根,则, 故且,解得,, 故选：AC. 9.（多选题）若关于x的一元二次不等式的解集为,则(      ) A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】依题意,,且一元二次方程的两根为和2. 由韦达定理得,则,,. 故选：ABC. 10．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得，综上可得， 11．若不等式有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由时，有解， 即恒成立， 对于有，当且仅当时取等号， 所以取值范围为 12．已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】（1） （2） ①当时，不等式解集为； ②当时，不等式解集为； ③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为. 【解析】（1）不等式即为：， 当时，可变形为：，.即， 又，当且仅当，即时，等号成立， ∴，即.实数的取值范围是. （2），等价于，即， ①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，.②当时，可得，解不等式得：或； ③当时（i）当时，因为，解不等式得：； （ii）当时，因为，不等式的解集为； （iii）当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为； ④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为 13．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【解析】（1）由题意得，且， 由，即，所以，故的解集为； 由，即， ∴，则，所以．所以的解集为． （2）恒成立，此时即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立．故的最小值为4， 所以要使恒成立，则．故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点归纳】 1.一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 2.设 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 判别式 函数图象 与x轴交于两点 与x轴相切于一点 与x轴无交点 方程的根 两根 无实根 不等式解集 不等式解集 3.一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）在区间上恒成立 分离参数，转化为求函数在区间上最值问题． 设 在恒成立 在恒成立 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的相对位置关系 对称轴在区间左侧（右侧）：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 4.区间上有解问题 在有解在有解 【典型例题】 例1． 解下列关于的不等式：（1）； (2) （3） （4） 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2.解关于的不等式 【变式2-1】已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 例3.设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)解关于的不等式：. 【变式3】解关于的不等式：． 例4．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【变式4】某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为 A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 例5．已知不等式的解集为． (1)求的值；(2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【变式5】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【练习】（1-7单选题） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3.已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 4．若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8.（多选题）已知不等式的解集为,则下列选项正确的是(      ) A. B. C. D. 9.（多选题）若关于x的一元二次不等式的解集为,则(      ) A. B. C. D. 10.（填空题）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 11．（填空题）若不等式有解，则的取值范围为 ． 12．已知二次函数，其中． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 13．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $