2.2基本不等式（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式，引导学生理解推导过程、掌握结构特征及“一正二定三相等”条件，通过概念填空、判断正误衔接重要不等式与基本不等式，设置探究问题链构建知识支架。 以探究式学习为主线，结合几何图形渗透数形结合思想，分题型习题（直接法、配凑法等）关联实际问题，培养数学思维与应用意识，配套知识点拨和错题反思，助力严谨思维养成。

2.2 基本不等式（导学案）（解析版） 1、理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式结构，能运用基本不等式求解最值、进行简单不等式证明。 2、经历基本不等式推导、探究过程，体会数形结合、转化化归思想，提升代数推理与运算求解能力。 3、感受不等式的对称美，学会运用数学模型解决实际问题，养成严谨求实的数学思维习惯。 重点：理解基本不等式推导过程，掌握其结构特征，能运用基本不等式求解简单最值问题，牢记一正二定三相等条件。 难点：灵活配凑满足 “一正二定三相等”，准确判断等号能否成立，区分基本不等式求最值的适用场景。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 （1）重要不等式 ，有______________________，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，有，当且仅当___________时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的___________，叫做正数a，b的___________． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______________________它们的几何平均数． （3）基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 ①如果积等于定值P（积为定值），那么当___________时，和有最小值___________． ②如果和等于定值S（和为定值），那么当___________时，有最大值___________． 【答案】（1） （2） ； 算数平均数 ； 几何平均数 ； 大于或等于 ； （3） ； ； ； 【2】知识巩固：判断正误。 （1）对于任意均成立．( ) （2）若同号，则．( ) （3）若，则恒成立．( ) （4）若，且，则．( ) 【答案】 错误 正确 错误 正确 【详解】（1）当，时，式子中的无意义，故该结论错误． （2）∵，同号， ∴ ∴，故该结论正确． （3）当，时，明显不成立，故该结论错误． （4）∵ ∴时，，则成立，故该结论正确． 思考1：两个正数 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 【答案】两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 探究一、基本不等式的构建与证明 问题1：若,，我们以，分别替代，，可得出什么结论？ 【答案】 问题2：问题1的结论中， “=”何时成立？ 【答案】当且仅当时，等号成立。 思考2：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？ 分析：（分析法/逆推法） 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立。 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。 证明： （作差法） ， ,当且仅当时取得等号 【知识点拨】 基本不等式使用温馨提示： （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形式： ① ② 求集合交、并集的两种方法： (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交、并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到。 问题3：由完全平方公式，我们推导了基本不等式。除完全平方公式外你还知道哪些常用的公式吗？ 【答案】 问题4：基本不等式本质是两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数，那么三个正数的算数平均数和几何平均数的大小关系呢？个呢？ 【答案】 ①三元不等式： 当为正实数时， . 当且仅当时成立 ②元基本不等式： 当且仅当时成立 探究二、基本不等式的几何意义 思考3：如图，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 【答案】半径，则 与大小关系怎么样？ 当且仅当点与圆心重合时取等。 思考：当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 【答案】成立，时，当且仅当时等式成立，所以； 不能，因为，取不到等号，不是最小值 【例1】已知求的最小值。 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 【例2】写已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明： 当且仅当时，上式等号成立。 于是，当时，和有最小值. (2)当和等于定值时，∴ 当且仅当上式等号成立。 于是，当时，积有最大值 【知识点拨】 利用基本不等式求代数式最值的条件和关键： 利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等。 （2）利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. （3）基本不等式求最值模型：若，，则有，当且仅当时等号成立。 【例3】(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 篱笆的长度为 (1)由已知得 由，可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立。 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短， 最短篱笆的长度为 (2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立。 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是。 【例4】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元。 根据题意，有 由容积为,可得 ∴ 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。 【题型1：直接法】 1、已知，求的最小值 解：∵ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立。 ∴的最小值为4. 2、设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 证明：（1）因为 为正数，所以 ， 也为正数。 由基本不等式，得 ＋ ≥2 ＝2， 当且仅当 ＝ ，即 时，取得等号。 所以原不等式成立。 （2）因为 为正数，所以 ， 也为正数。 由基本不等式，得 所以 ， 当且仅当 时，即时，取得等号。 因此，原不等式成立。 【知识点拨】 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数式，以便于利用基本不等式 【题型2：配凑法】 1、已知，求的最小值。 解：∵，∴ ∴ 当且仅当，即时，“=”成立。 ∴的最小值为0. 2、已知，求的最大值 解：∵，∴0. ∴ 当且仅当得或(舍去)，即等号成立。 ∴的最大值为. 【知识点拨】 配凑法的应用： 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知的式子和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。具体可归纳为三句话： 一不正，用其相反数，改变不等号方向； 二不定，应凑出定和或定积； 三不等，一般用函数的图像或性质。 3、已知，求的最大值。 解：∵，∴0，0. ∴ 当且仅当得或（舍去)，即时等号成立。 ∴的最大值为. 4、已知,求的最大值。 解：∵∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立， 因此所求的最小值为. 5、已知，求的最大值。 解：∵， ∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立。 ∴的最大值为. 【题型3：“1”的等量代换】 1、已知，且求的最小值。 解：∵，且 ∴ 当且仅当即时，等号成立。 ∴的最小值为. 2、已知，且求的最小值。 解：∵，且 ∴ ∴ 当且仅当即时，等号成立。 ∴的最小值为. 一、单选题 1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 2．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可。 【详解】， 当且仅当等号成立。 故选：A. 3．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 4．已知，则的最大值是（    ）。 A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果。 【详解】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得。 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 7．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值。 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 8．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小。 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 二、多选题 9．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 10．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 11．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断。 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．若正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】16 【详解】因为，为正实数，且， 所以，且，即，，所以. 对因式分解可得， 所以（当且仅当，即，时取等号）， 故的最小值为16. 13．下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 【答案】②③④ 【分析】由已知结合基本不等式计算和的最小值与积的最大值，对选项进行判断。 【详解】对于①，， 若，则有，方程无解，所以等号取不到，最小值不是2，①错； 对于②，当时，有， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③，当时，有，则， 当且仅当，即时等号成立，③正确； 对于④，正数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立，④正确。 14．正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号。 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 四、解答题 15．已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号。 16．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）9；（2）． 【分析】（1）将变形为，根据基本不等式即可求解。 （2）先证明，再利用基本不等式求的最小值即可。 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． （2），当且仅当时，等号成立； ∴ 又，当且仅当时， 即，等号成立； ∴，当且仅当， 即时等号成立， 所以的最大值为． 17．（1）若实数，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求的最大值，并求此时的值。 【答案】(1)的最小值是3，此时；(2)的最大值是-4，此时。 【分析】(1)根据给定条件进行配凑，再借助均值不等式求解即得； (2)根据给定条件利用均值不等式求出的最小值即可。 【详解】(1)因实数，则，当且仅当时取“=”， 由且解得：， 所以的最小值是3，此时； (2)因，则，当且仅当时取“=”， 由且解得：， 所以的最大值是-4，此时. 18．已知，，，求： （1）的最小值； （2）的最大值。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用均值不等式可得，即，代入可得到关于的不等式，解得的最小值； （2）化简得，再利用均值不等式，代入可得到关于的不等式，解得的最大值。 【详解】（1）， ，当且仅当时，等号成立， 又，， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值 （2）化简得， 又，当且仅当时，等号成立， ，解得 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是 19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元。 (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元。 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解。 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为 . （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式（导学案） 1、理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式结构，能运用基本不等式求解最值、进行简单不等式证明。 2、经历基本不等式推导、探究过程，体会数形结合、转化化归思想，提升代数推理与运算求解能力。 3、感受不等式的对称美，学会运用数学模型解决实际问题，养成严谨求实的数学思维习惯。 重点：理解基本不等式推导过程，掌握其结构特征，能运用基本不等式求解简单最值问题，牢记一正二定三相等条件。 难点：灵活配凑满足 “一正二定三相等”，准确判断等号能否成立，区分基本不等式求最值的适用场景。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 （1）重要不等式 ，有______________________，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，有，当且仅当___________时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的___________，叫做正数a，b的___________． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______________________它们的几何平均数． （3）基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 ①如果积等于定值P（积为定值），那么当___________时，和有最小值___________． ②如果和等于定值S（和为定值），那么当___________时，有最大值___________． 【2】知识巩固：判断正误。 （1）对于任意均成立．( ) （2）若同号，则．( ) （3）若，则恒成立．( ) （4）若，且，则．( ) 思考1：两个正数 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系? 探究一、基本不等式的构建与证明 问题1：若,，我们以，分别替代，，可得出什么结论？ 问题2：问题1的结论中， “=”何时成立？ 思考2：你能用前面所学的知识尝试证明基本不等式吗？ 【知识点拨】 基本不等式使用温馨提示： （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形式： ① ② 求集合交、并集的两种方法： (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交、并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以利用数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到。 问题3：由完全平方公式，我们推导了基本不等式。除完全平方公式外你还知道哪些常用的公式吗？ 问题4：基本不等式本质是两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数，那么三个正数的算数平均数和几何平均数的大小关系呢？个呢？ 探究二、基本不等式的几何意义 思考3：如图，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 思考：当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 【例1】已知求的最小值。 【例2】写已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 【知识点拨】 利用基本不等式求代数式最值的条件和关键： 利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等。 （2）利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. （3）基本不等式求最值模型：若，，则有，当且仅当时等号成立。 【例3】(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【例4】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 【题型1：直接法】 1、已知，求的最小值 2、设为正数，证明下列不等式成立： （1）＋ ≥； （2） 【知识点拨】 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数式，以便于利用基本不等式 【题型2：配凑法】 1、已知，求的最小值。 2、已知，求的最大值 【知识点拨】 配凑法的应用： 利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知的式子和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件。具体可归纳为三句话： 一不正，用其相反数，改变不等号方向； 二不定，应凑出定和或定积； 三不等，一般用函数的图像或性质。 3、已知，求的最大值。 4、已知,求的最大值。 5、已知，求的最大值。 【题型3：“1”的等量代换】 1、 已知，且求的最小值。 一、单选题 1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 4．已知，则的最大值是（    ）。 A． B． C．5 D．8 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 7．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 10．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 11．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若正实数，满足，则的最小值为______. 13．下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 14．正数m，n满足，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 16．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 17．（1）若实数，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求的最大值，并求此时的值。 18．已知，，，求： （1）的最小值； （2）的最大值。 19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元。 (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $