2026-2027学年沪科版八年级数学上册 第11章 平面直角坐标系-点坐标规律探索

**基本信息** 聚焦平面直角坐标系点坐标规律，通过循环周期、分组归纳等方法系统提炼探索策略，强化抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |循环周期|4题（如第2、5题）|变换/运动周期识别与余数计算|坐标变换→周期规律→位置确定| |分组归纳|3题（如第3、7题）|点列分组特征提取|点运动路径→组内坐标规律→通项公式| |奇偶分类|2题（如第4、16题）|下标奇偶性与坐标关系|点跳动方向→奇偶项差异→坐标公式| |综合应用|8题（如第6、10题）|多变量约束下规律整合|动点速度/方向→相遇周期→坐标综合计算|

2026-2027学年八上数学沪科版第11章平面直角坐标系-点坐标规律探索 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，……依此规律跳动下去，点A第2026次跳动至的坐标是（） A． B． C． D． 5．如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中“→”所示方向依次排列，即点，…．按照此规律排列下去，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．在平面直角坐标系中，点有以下四种移动方式． 方式①：从点移动到； 方式②：从点移动到； 方式③：从点移动到； 方式④：从点移动到． 设点，从开始，每次移动均为上述四种方式之一． （1）若按照方式①移动一次到达点，则点的坐标为________； （2）若经过15次移动后到达点，且的纵坐标为20，则横坐标的最大值为________． 11．如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 12．如图，智能机器人从平面直角坐标系的原点O出发，向上走1个单位长度到达点，再向左走1个单位长度到达点，再向下走2个单位长度到达点，再向右走2个单位长度到达点，再向上走3个单位长度到达点，…以此规律走下去，当智能机器人到达点时，它的坐标为_________________． 13．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 14．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂______个小方格． 15．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 16．如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按照这样的规律，经过2026次运动后，点的坐标是_______． 17．如图，一个点从原点出发，经过一次运动后到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，第八次运动到，依此规律，则点的坐标为_________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第11章平面直角坐标系-点坐标规律探索》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D A D A D A B A B 1．D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 2．A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 3．D 【分析】结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度，这个点是第组的第1个点，其纵坐标为1，横坐标为． 【详解】解：结合图象可将这些点每四个分为一组，每组的横向长度为2个单位长度， ∵ ∴是第组的第1个点， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，都等于1， ∵每组的横向长度为2个单位长度， ∴，，，，……，这些点的横坐标依次为，，，，……， ∴可得到的横坐标为， ∴． 4．A 【分析】观察图形及已知点坐标，分别找出下标为奇数和偶数时点的坐标规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，， 归纳可得：当为正整数时，点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标符合的规律，其中， 点的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 5．D 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出四次相遇一循环，再用的余数即可求出第2001次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为， ∴四次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 6．A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 7．B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 8．A 【详解】解：观察图形及点的坐标序列，，，，…… ∵，，，…… ∴即， ∴即． 9．B 【分析】根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图和题意可知： 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， 当点移动到时，用时秒， ， ∴点移动到时，用的时间为秒， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， 当点移动到时，向上移动秒，得到， 当点移动到时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒得到， ， ∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动秒，得到， ∴当点移动到时，用时秒，再向下移动秒，得到， 即第秒时质点所在位置的坐标是． 10． 25 【分析】（1）直接套用方式①的坐标变换公式，把代入计算新坐标． （2）设出4种移动分别执行的次数，根据总移动次数、最终纵坐标列出方程组，得到数量之间的关系；要横坐标最大，就要优先选让横坐标增加的移动方式，求出对应次数，再计算最大横坐标． 【详解】解：（1），方式①：从点移动到， ，， ； （2）设方式①移动次，方式②移动次，方式③移动次，方式④移动次． 一共移动15次， ， ∴， 按方式①或③每次纵坐标，按方式②或④每次纵坐标，纵坐标，的纵坐标为20， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∵经过15次移动后到达点，按方式①移动次，方式②移动次，方式③移动次，方式④移动次． ∴的横坐标： ，， ∴， ，， ， ，，， ， 要最大，则取最大，取最小． ，，此时，，全部次数非负，符合条件． ∴横坐标的最大值为：． 11． 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 12． 【详解】解：依题意可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴是第二象限的点， ∴的坐标是． 13． 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 14．400 【分析】根据纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数，求解即可； 【详解】解：根据题意，得，连接点和点，然后为内部与该线段相交的个小方格涂色， 故即纵坐标差的绝对值与横坐标差的绝对值的和，减去两个绝对值的最大公约数， 故连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂小方格的数量为：． 15． 【分析】由题意得到点的坐标规律，其中为正整数，当时即可得到答案． 【详解】解：由题意可得、、、、， 则，其中为正整数， 点的坐标为． 16． 【分析】观察图象，结合运动特点得出点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，，循环变化，再根据变化特点解答即可． 【详解】解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点的横坐标为，纵坐标依次按照，，，，，循环变化， 点的横坐标为． ， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 17． 【分析】由已知坐标可得点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化，据此解答即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标分别以，循环变化， ∴点的横坐标为， ， ∴点的纵坐标为， 的坐标为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $