海南省陵水县民族中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟卷

**基本信息** 海南省陵水县民族中学九年级开学数学模拟卷，100分钟120分，覆盖分式、函数、几何等核心知识，通过基础题与实践应用题结合，检测暑期学习效果，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题36分|分式识别、科学记数法、统计量、函数性质|基础概念辨析，如第5题结合篮球队身高数据考中位数| |填空题|4题12分|反比例函数取值、一次函数性质、勾股定理|聚焦易错点，如第16题结合方程根求斜边长| |解答题|6题72分|分式方程应用（物流分拣）、中位线综合实践、统计图表分析、函数综合、人脸识别几何计算|情境具时代性，如第22题以人脸识别考解直角三角形；分层设计，第19题从证明到应用再探究，培养推理意识与创新思维|

海南省陵水县民族中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟卷 时间：100分钟 满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（12题，每题3分，共36分） 1．在中分式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若分式的值为0，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．纳米是非常小的长度单位，．已知某流感病毒的直径是87纳米，该病毒直径用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 5．某校篮球队有9名队员，他们的身高（单位：cm）数据如下：172，170，172，176，174，176，176，180，190这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．174，175 B．175，176 C．176，176 D．176，177 6．一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，、交于点，为中点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 9．对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 10．如图，，点在线段BC上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段向右平移到，若四边形为菱形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．关于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标是 C．图象经过第二、三、四象限 D．y随自变量x的增大而减小 二、填空题（4题，每题3分，共12分） 13．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 14．在一次函数的图象上有两点，，则用“”号将，连接起来的结果是______． 15．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流______A． 16．设直角三角形的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长为________． 三、解答题（6题，第17-21题每题11分，第22题17分，共72分） 17．计算与化简： (1) (2) 18．为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的5倍．用一条A型自动分拣流水线分拣4000件包裹比1名工人分拣同样数量的包裹少用8小时．求一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ 19．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 20．为培养学生艰苦奋斗的精神，树立正确的消费观，某校发出倡议，不乱花零花钱．同学们为了解全校2000名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查采用的调查方式是__________（填“抽样调查”或“全面调查”）； (2)本次接受随机调查的学生有__________人； (3)本次调查获取样本数据的众数是__________，中位数是__________． (4)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生是__________人． 21．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点B的坐标为．    (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的的自变量x的取值范围； (3)点在反比例函数的图象上，求的面积． 22．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，若要小杜能被摄像头识别，则他最少要下蹲_____； (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据：sin，cos，tan，sin，cos，tan） 试卷第4页（共5页） 试卷第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《海南省陵水县民族中学2026-2027学年九年级数学上学期开学模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C C B C D D 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，逐一检查各分母是否含字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母为，含字母，是分式； ，分母为2，不含字母，不是分式； ，分母为，不含字母，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，不是分式； ，分母为，含字母，是分式， ∴ 分式有2个， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．C 【分析】结合科学记数法的形式（其中，n为整数），进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 5．C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，数据个数为奇数时取最中间的数，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，根据定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：170，172， 172，174，176， 176，176，180，190 ∵这组数据共9个，为奇数个，中位数是排序后第个数， ∴中位数为176； ∵176在这组数据中出现次数最多，共出现次， ∴众数为176． 6．C 【分析】本题考查了正比例函数的性质．本题可先设正比例函数的解析式为（），再将已知点坐标代入解析式求出的值，进而得到函数表达式，匹配选项即可 【详解】解：∵正比例函数的一般形式为（） 又∵该函数图象经过点 ∴将，代入中，得 ∴ ∴该正比例函数的表达式为 故选：C． 7．B 【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】反比例函数的图象经过第一、三象限 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：当时，图象分别分布在第一、三象限；当时，图象分别分布在第二、四象限. 8．C 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由E为边中点可得是的中位线，利用三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵在中，， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 10．D 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而求出，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 11．C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 设与轴交于点，由，则，，，再通过菱形的性质可得，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 12．B 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的性质，根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵一次函数与直线的k相等， ∴一次函数图象与直线平行，故本选项不符合题意； B、令，则， ∴一次函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项错误，符合题意； C、∵， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵， ∴一次函数中，y随自变量x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：B． 13． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，即自变量x的取值范围是． 故答案为：． 14． 【分析】在一次函数中，当，则y随x的增大而减小，根据点，在此函数的图象上，即可得出结论． 【详解】解：在一次函数中，， 随的增大而减小， 点，在一次函数的图象上，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的性质． 15．3 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案． 【详解】解：设电流I与电阻R的函数关系式为． 把代入中，得，解得，                     ∴电流I与电阻R的函数关系式为， ∴当时，， ∴电流I为， 故答案为：3． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理． 根据根与系数关系求出和，再利用完全平方公式求出，最后应用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， 故，， ∴， 故直角三角形的斜边长为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2000件包裹 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及用一次不等式解决实际问题． 设1名工人每小时分拣x件包裹，则一条A型自动分拣流水线每小时分拣5x件包裹．根据题意列出分式方程，解分式方程求出x，进一步即可求出设1名工人每小时分拣x件包裹，则一条A型自动分拣流水线每小时分拣包裹数． 【详解】解：设1名工人每小时分拣x件包裹， 则一条A型自动分拣流水线每小时分拣5x件包裹． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解，并且，符合题意． 答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2000件包裹． 19．(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 20．(1)抽样调查 (2)50 (3)10，15 (4)720 【分析】（1）根据抽样调查和全面调查的特点判断； （2）以5元组的4人占求出调查的总人数； （3）根据中位数，众数定义分析求解； （4）用2000乘以20元和30元总人数占比求解． 【详解】（1）略 （2）解：本次接受随机调查的学生有（人）， （3）解：， 本次调查获取样本数据的众数为10， 中位数为按顺序排列后第位与第位的平均数， 又，，即第25个，第26个数落在15元组， 中位数为15元； （4）解：（人）， 答：该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数为720人． 21．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比函数及一次函数性质是解题关键． （1）根据点B在正比例函数图象上，先求出点B坐标为，依据求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出的自变量x的取值范围即可； （3）先求出直线的解析式得到点D坐标，利用计算面积即可． 【详解】（1）解：∵点在直线的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： ； （2）， 由反比例函数图象的中心对称性质可得， 根据两个函数图象，不等式的解集为：或； （3）∵点在反比例函数的图象上， ， ∴，    设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴即， ∴． 22．(1)13.0 (2)能，证明见解析 【分析】 (1)过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度； (2)过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点交水平线于点F，如图2， 则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴小杜下蹲的最小距离为， 答：小杜最少需要下蹲才能被识别； （2）解：能，计算如下： 过点B作的垂线分别交仰角、俯角线于点G，H，交水平线于点P，如图3， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 小若踮起脚尖后头顶超出点H的高度为， ∴小若能被识别． 答案第2页（共11页） 答案第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $