精品解析：海南琼海市嘉积中学2025—2026学年度第一学期九年级随堂练习(一) 数学科试题

琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期九年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：100分钟满分：120分） 欢迎你参加这次练习，祝你取得好成绩！ 一、选择题（本大题共36分，每小题3分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故A错误； B项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故B错误； C项：该图形不能绕着某点旋转后与原图形重合，所以不是中心对称图形，故C错误； D项：该图形能绕着某点旋转后与原图形重合，所以是中心对称图形，故D正确． 2. 已知，则的值为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，即可求得． 【详解】由题意得 ∴ 故选B 【点睛】本题考查比例的性质，理解比例的性质是解题的关键． 3. 马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离．我国国庆阅兵上展示的，其速度可达到15马赫，约18360千米/小时．其中数据18360用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：18360用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象经过的象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二，四象限， ∴， ∴； 故选：． 5. 在中，，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．利用正切函数的定义和勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，设，，， ∵，，， ∴，整理得， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值已舍）， ∴，解得（负值已舍）， 故选：C． 6. 如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质是关键． 先由已知求出，再根据图形旋转的性质得到，可求得，从而可求得答案． 【详解】解：，， 绕点C旋转，得到， ， ， ， ． 故选：D． 7. 如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线所在的方位是（ ） A. 北偏西 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏北 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图，根据题意得． ∵， ∴， ∴， ∴射线的方位是北偏西，对应选项A． 8. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 9. 某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为338万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的平均增长率问题，掌握“变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，经过两次变化后的数量关系为”是解题关键，根据每月增长率依次表示出二月份、三月份的营业额，再结合三月份营业额列方程即可． 【详解】解：∵设平均每月的增长率为， ∴二月份的营业额为万元， ∴三月份的营业额为万元， 又∵三月份的营业额为338万元， ∴列方程为， 故选A． 10. 如图在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 11. 如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题（本大题共9分，每小题3分） 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 设直角三角形的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理． 根据根与系数关系求出和，再利用完全平方公式求出，最后应用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， 故，， ∴， 故直角三角形的斜边长为． 故答案为：． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 过点作于点，如图，先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，进而可利用勾股定理计算出，接着根据旋转的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后证明，利用相似比可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， 为等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， 线段逆时针旋转到线段， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：，． 三、解答题题（本大题共75分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、算术平方根、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 17. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 【答案】（1）每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为2.5元，5元 （2）a的值为2 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的二元一次方程组和一元二次方程是解题的关键． （1）根据等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为，元 由题意得， 解得， 答：每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为元，5元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，不合题意，故舍去； ∴， 答：的值为． 18. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了______名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取4名学生，其中有3名男生．若从所抽取的4名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 【答案】（1）300；108 （2）3300人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体的思想，列表求概率， 对于（1），用A的人数除以其所占的百分比可得抽测的总人数；再用D组所占的百分比乘以可得答案； 对于（2），用总人数乘以样本中优秀学生的百分比即可； 对于（3），列表得出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：，， 所以本次抽测了300名九年级学生，； 故答案为：300；108； 【小问2详解】 解：（人）． 答：体育成绩优秀学生的约有3300人； 【小问3详解】 解：抽取4名学生中有3名男生， 女生人数为（人）， 列表如下： 第二次 第一次 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中恰好抽取一男一女的结果有6种. 所以，P（恰好抽取一男一女）. 19. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， 是的中线， ． 20. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； （4）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）时，最大值为 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可； （2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可； （3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可； （4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：令，则，解得，， ∴， 当时，， ∴， 如图所示，连接， ∵，，， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【小问4详解】 解：∵对称轴为直线， ∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4， ①当时， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∴，解得（舍）． ②当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴； ③当时， 当时，最大值为4，当时，最小值为， ∴， ∴（舍），（舍） 综上所述，n的取值范围为． 22. 在矩形中，，P是射线上的动点，连接，，E是的中点，连接． （1）如图1，当P为的中点时，求证：． （2）如图2，当点P在延长线上时，设交于点N，且． ①连接，若时，判断的形状； ②过点E作交于点F，当时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解 （2）①是等边三角形，理由见详解；②，证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和中点条件，利用全等三角形判定定理证明； （2）①根据等腰三角形和平行线性质求出角度，再结合直角三角形性质判断三角形形状；②通过作辅助线构造矩形，利用相似三角形性质得出线段关系． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，P为的中点， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：①是等边三角形， 理由：∵点P在延长线上，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴是等边三角形； ②， 证明：如图，过点E作于点H，延长交于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∵E是中点，， ∴，F是中点， ∴，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期九年级随堂练习（一） 数学科试题 （时间：100分钟满分：120分） 欢迎你参加这次练习，祝你取得好成绩！ 一、选择题（本大题共36分，每小题3分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（　　　） A. B. C. D. 3. 马赫是航空航天领域里表示飞行速度的量词，1马赫就等于每秒声音传播的距离．我国国庆阅兵上展示的，其速度可达到15马赫，约18360千米/小时．其中数据18360用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在第二，四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点C旋转，得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线垂直，则射线所在的方位是（ ） A. 北偏西 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 西偏北 8. 如图，是四边形的内切圆．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为338万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ） A. B. C. D. 10. 如图在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（ ） A. 4 B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共9分，每小题3分） 13. 已知点与点关于原点对称，则_____． 14. 设直角三角形的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长为________． 15. 如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则________，________． 三、解答题题（本大题共75分） 16. （1）计算：． （2）解不等式组：． 17. 某学校为了让学生体验化学实验的乐趣，决定从市场购买氯化钠溶液和硫酸铜溶液供实验使用．第一次购买40瓶氯化钠溶液和80瓶硫酸铜溶液需要500元，第二次购买20瓶氯化钠溶液和30瓶硫酸铜溶液需要200元． （1）求每瓶氯化钠溶液与硫酸铜溶液的售价分别为多少元？ （2）为了加大培养学生对化学的兴趣，学校决定再次购买这两种溶液，调查发现配制每瓶氯化钠溶液的成本是元，每瓶硫酸铜溶液的成本是元，已知第三次购买的氯化钠溶液的数量是第一次的2倍，购买硫酸铜的数量比第一次购买硫酸铜的数量少瓶，商场获利330元，求的值． 18. 我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： （1）本次抽测了______名九年级学生，______； （2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ （3）在本次抽测的优秀学生中抽取4名学生，其中有3名男生．若从所抽取的4名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 19. 如图，在中，，是的中线，作于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形的面积； （3）若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值； （4）当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围． 22. 在矩形中，，P是射线上的动点，连接，，E是的中点，连接． （1）如图1，当P为的中点时，求证：． （2）如图2，当点P在延长线上时，设交于点N，且． ①连接，若时，判断的形状； ②过点E作交于点F，当时，猜想与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $