精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的分布列如下表．若，则的值为（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 10. 已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. 实数的取值范围是 11. “尾概率”指的是随机变量取值落在其分布“两端”极端区域的概率，在工业生产中，尾概率常用于衡量极端情况发生的可能性，排查异常或故障情况．现对件产品逐件检测，假设每件产品检测合格的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记件产品中检测合格的件数为，其相应的“尾概率”定义为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为__________. 13. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 14. 已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，． （1）求数列的通项以及前项和； （2）数列中，前项和为，求满足的的最大值． 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． （1）从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； （2）为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） （3）研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 18. 已知椭圆的离心率为，上的点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上． ①证明：直线为椭圆在点处的切线； ②设为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．设与的面积分别为，，比较与的大小，并写出必要说明过程． 19. 已知函数，，其中为自然对数的底数，． （1）求函数的单调区间； （2）①若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； ②设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用补集运算求得集合A的补集，再利用交集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 又， 所以集合 故选：D 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 3. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 4. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 解得. 故选：C. 5. 已知的分布列如下表．若，则的值为（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列，求得，结合方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得， 则， 因为，可得. 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，得， ，， 所以，化简得， 所以. 7. 函数图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求与直线平行的切线到该直线的距离求解答案. 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 8. 已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系式，先写出数列若干项，找出数列的周期；分开计算前非周期部分、周期部分，再求和. 【详解】由，，，得，， ，，， ，，， 从第5项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，，所以. 【点睛】方法归纳：绝对值递推数列，多为周期数列，通过列举法找周期，分段求和. 易错归纳：找准周期起始位置，本题周期不是从第1项开始，从第5项开始才是周期为3的周期数列，不能直接拿50除以周期. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】求抛物线准线方程判断A；利用抛物线定义求解判断B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求解判断CD. 【详解】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则， 结合，则为钝角，D正确. 10. 已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 当时， C. 当时，单调递减 D. 实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案． 【详解】根据题意得：由知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设， 则函数在上至少有三个不同的零点， 等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点， 若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示， 结合图象可知，有， 即，解得，所以D正确． 11. “尾概率”指的是随机变量取值落在其分布“两端”极端区域的概率，在工业生产中，尾概率常用于衡量极端情况发生的可能性，排查异常或故障情况．现对件产品逐件检测，假设每件产品检测合格的概率均为，且各件产品检测结果互不影响，记件产品中检测合格的件数为，其相应的“尾概率”定义为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用“尾概率”的定义，结合二项分布和不等式的性质，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，当时，恒成立，所以，所以A正确； 对于B，根据概率的性质，若事件，则， 所以，即，所以B正确； 对于C，若，则当时，事件包含于， 可得； 当时，事件包含于，可得， 两式相加得，所以C不正确； 对于D，若，则， 可得，，， 且，所以， 当时，，此时成立； 当时，， 此时成立； 当时，， 此时成立； 综上可得，若，则有，所以D正确. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中常数项为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】因为的展开式中，通项公式为， 令，可得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：240. 13. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】 将两边平方化简后可得，于是推出，从而得解． 【详解】解：，，即， 与的夹角为． 故答案为：． 14. 已知函数的最大值为2，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先排除，取一个特殊点使分母为1，确定此时函数值大于2，与最大值条件矛盾，确定后，将转化为，求导找最小值点，代入后解方程即可确定参数． 【详解】若，令，则，与“最大值为2”矛盾，所以，分母为正， 由题可知，可得， 令，因为的最大值恰为2，所以等号能取到，故的最小值为0， 求导得，令得，即， 当时，解得，当时，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时，取得最小值，， 令，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，． （1）求数列的通项以及前项和； （2）数列中，前项和为，求满足的的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消法可求得，解不等式，可求的最大值． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 由，得，解得， 所以满足的的最大值为． 16. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 17. 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅助医生判断结节是否为恶性．某医院回顾性抽取枚经病理确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性枚、实际为良性枚；其中系统正确识别恶性枚、正确识别良性枚，其余识别错误． （1）从枚结节中随机抽取枚，已知该结节被系统判读为“恶性”，求它实际为恶性的概率； （2）为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋势，统计了上线后前个月医生的平均诊断准确率（%）与月份的数据： 1 2 3 4 5 6 90 91 93 93 95 96 求关于的经验回归方程，并据此预测第8个月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统；（若预测值超过，则建议全院推广） （3）研究团队进一步让名低年资医生在“无AI辅助”与“有AI辅助”两种情形下，各自独立判读枚结节，得到判断正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ （参考数据：①，，，，，； ②，） 【答案】（1） （2），建议全院推广DeepFAN系统 （3），认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出表格，再利用条件概率公式计算即可； （2）根据题意，利用公式得到经验回归方程，然后代入即可求解； （3）根据公式计算统计量，再对比结果即可判断. 【小问1详解】 根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 识别为良性 合计 记事件“抽中结节被系统识别为恶性”，事件“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率． 【小问2详解】 由题意得，，，， 故经验回归方程为， 当时，（）． 因为，所以建议全院推广DeepFAN系统． 【小问3详解】 零假设为：“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关， 由列联表，，，，，， ， 因为， 所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关． 18. 已知椭圆的离心率为，上的点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上． ①证明：直线为椭圆在点处的切线； ②设为坐标原点，直线与直线，分别交于点，．设与的面积分别为，，比较与的大小，并写出必要说明过程． 【答案】（1） （2）①联立消去得， 整理得，，① 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 故方程组仅有一组解，即直线与椭圆仅有一个交点． 又点在直线和椭圆上， 所以直线为椭圆在点处的切线． ②法一：设，，易知，当时，由对称性可知，． 不妨设，易知， 联立解得，， 联立解得，， 所以， 又，可得，， ， ， 故． 法二：设，，易知，当时，由对称性可知，． 当时，联立解得，， 联立解得，， 若，则，，， 由对称性，不妨取，，则，，， ，， ，，所以， 同理，由对称性知，当时，， 当时，不妨设，则，，， 又，所以， ， ， 则，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义结合离心率为即可求得椭圆的方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，得到一元二次方程，通过方程的根来证明直线为椭圆的切线； （ⅱ）方法一：由对称性可知，当时，；当时，，设，，联立直线与直线，，利用化简转化，再利用，最终化简证明； 方法二：设，，易知，当时，由对称性可知，； 当时，，联立直线与直线，，通过证明，得到,最终证明. 【小问1详解】 由椭圆定义可知，，所以，又，所以，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数，，其中为自然对数的底数，． （1）求函数的单调区间； （2）①若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； ②设，证明：． 【答案】（1）若，在上单调递增； 若，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）①；②由①取，得对任意，，即， 对每个正整数，令，则， 将其代入上式得， 化简右边：， 于是，即． 对，2，，求和得， 左边为， 右边分母，因此， 所以，证毕． 【解析】 【分析】（1）先求的导函数，因为导数的正负决定函数单调性，所以分、、三种情况讨论的正负，进而得到单调区间； （2）①，将不等式变形为，构造对应的辅助函数，求出导数，讨论以及，结合在上不等式恒成立，进而求解a的范围；②取，得对任意，，即得，对每个正整数，令，可得，将其代入上式得， 化简即可证明，再结合累加求和即可证明不等式. 【小问1详解】 ，求导得， 因为恒成立，故只需对进行分类讨论， ①若，则，在上单调递增； ②若，则，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； ③若，则，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）当时，等价于， 两边除以，得． 设，则，， 特别地，， 若，则，在右侧附近，不满足题意，所以必须有， 当时，对，有， 从而， 因此在上单调递增，故时，满足， 所以实数的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $