精品解析：湖南省怀化市第三中学2025-2026学年高三实验班上学期开学数学综合能力检测试卷

2025-2026学年湖南省怀化市第三中学高三年级上学期 开学理科实验班数学综合能力检测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘除法运算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D. 3. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（ ） A. 49h B. 56h C. 64h D. 76h 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，建立方程组，结合指数式的运算性质，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则. 故选：C. 4. 已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设甲题答对为事件，乙题答对为事件， 由题意， 所以. 故选：D. 5. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可. 【详解】对于集合A：由题意，得， 所以， 对于集合B，，则， 所以， 因此. 故选：A 6. 已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面及面面的位置关系，应用平面的基本性质及线面平行的判定判断各项的正误. 【详解】A：，，则平行或异面，错； B：，，则或，错； C：，，则可能平行、相交、异面，错； D：，则平面中必存在一条直线， 而，则，，，故，对. 故选：D 7. 某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B. 第60百分位数估计值为71 C. 众数的估计值为75 D. 随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中的数据，结合平均数，百分位数，众数和频率的计算方法，逐项计算求解，即可得到答案. 【详解】对于A中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的平均数为： ，所以A不正确； 对于B中，由前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以数据的60百分位数落在第4个矩形，设为，则，所以B错误； 对于C中，根据频率分布直方图中的数据，可得数据的众数为，所以C正确； 对于D中，根据频率分布直方图，可得位于的频率为， 则，所以随机选取这100名学生中只有30名学生物理成绩不低于80分，所以D错误. 故选：C. 8. 已知，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 存在两条不同直线a，b，使，，， B. 存在两条不同直线a，b，使，，， C. 存在两条异面直线a，b，使，，， D. 存在两条平行直线a，b，使，，， 【答案】C 【解析】 【分析】对于A、B、D，结合各项前提，举反例说明，对于C，应用反证思想说明，即可得. 【详解】对于A，若交于直线，空间存在直线都平行于，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 对于B，若交于直线，在内取两条直线都平行于直线，则，，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 对于C，若交于直线，，，则（否则相交），同理，，则，故不可能异面，与前提矛盾，此时，是充分条件； 对于D：若交于直线，在内取，在内取，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，共15分） 9. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出，从而得到双曲线C的焦距；B选项，双曲线定义得；C选项，举出反例；D选项，设，则，故，D正确. 【详解】A选项，双曲线C：（）的渐近线方程为， 又一条渐近线方程为，故，解得， 故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确； B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确； C选项，，当直线l与轴垂直时， 中，令时，，故，C错误； D选项，， 设，则，即， ，D正确. 故选：ABD 10. 在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ） A. B. 角B的范围是 C. 若的平分线交BC于D，，，则 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可得，化简得，再结合题意可对A判断；由A可得，再结合为锐角三角形即可对B判断；利用正弦定理可求得，从而可得，从而可对C判断；由，再令，结合在上单调递增，可对D判断. 【详解】A、B：由正弦边角关系有， 所以，又且，，所以，故A正确； 由上，可得，故B错误: C：如下图示，设，则，， 由，则，且，则， 所以， 而，且，则，所以，故C正确； D：由， 而，且在上单调递增，则值域为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设，则（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，可得，可得出，令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断B选项；利用二项式系数的增减性可判断C选项；利用赋值法可得出，可判断D选项. 【详解】令，可得，代入题干等式得. 令. 对于A选项，展开式通项为， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由A选项可知，， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，，且， 结合二项式系数的增减性可知，中最大的是和，C错； 对于D选项，因为， 故，D对. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 【答案】-60 【解析】 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是-60. 13. 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用正弦定理求得，将的面积表示出来，利用三角恒等变换化成正弦型函数，根据正弦函数的图象性质即可求得面积最大值. 【详解】设,则，因，则，， 在中，由正弦定理，，解得, 故的面积为: ， 因，则，故当时，即时，的面积取得最大值为. 故答案为：. 14. 在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】将原方程分解为两个二次方程，分别求出四个根对应的复平面点，观察四个点的对称性，推测圆心位置（可能在轴上），通过距离公式建立方程，求解参数，最终确定圆的半径． 【详解】方程的根分为两部分： 第一部分：解，得根，对应点和； 第二部分：解，得根，对应点和， 因为四点共圆，设该圆的圆心为， 所以即在线段的垂直平分线上，也在线段的垂直平分线上， 所以圆心的坐标为，所以圆的半径， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共80分） 15. 如图，和所在平面垂直，且，，求： （1）直线与平面所成角的大小； （2）平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于，连接，证得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可求出结果； （2）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 过点作交的延长线于，连接， 因为，，所以， 因此， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以,， 因此两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，则， 由于平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为线面角的范围是，所以， 因此直线与平面所成的角为； 【小问2详解】 ，则, 设平面的法向量为， 所以， 令,可得，则， 则， 故平面和平面的夹角的余弦值为. 16. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且 （1）求角C； （2）求； （3）已知在中，若点P为平面上任意一点，求的最小值； 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得； （2）由题设、，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得； （3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得. 【小问1详解】 因为，又， 所以，又大于0，故，所以， 又，结合三角形内角性质，所以. 【小问2详解】 由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：，整理得， 则； 【小问3详解】 在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 由题意知，当点为的费马点时，取最小值， 在等腰中，，，， 因此，的最小值为. 17. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关， 则， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则， ， 故. 18. 已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同.现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为. （1）若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率； （2）求的数学期望； （3）信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法.编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟.现有个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元.若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源.现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式.若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了种不同的信号.求证：. 【答案】（1） （2）1 （3）证明：依题意， 要证，只要证， 即证，两边取自然对数有， 即证. 令， 当时，， 当时，① ，② 由①-②得 ， 令，则， ∴在上单调递增，∴， ∴，即， ∴，∴， 令，则，此时， ∴是单调递减数列，∴， 综上，即. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可. （2）法一：依题意可得可能取值为0，1，2对应的概率分别为，，，则，故，先求出，再利用概率关系求得，进一步有. 法二：先求出，然后推出时，，进一步有. （3）要证，即证，即证.令，当时，当时，，令，利用导数法证，即，进而，则，即可证明. 【小问1详解】 假设一次交换后甲的黑球为0个，1个、2个的事件分别为，，， 再从甲口袋任取一个球为黑球的记为事件. 则 . 【小问2详解】 法一：依题意可得可能取值为0，1，2对应的概率分别为，，， 则，故. 当时，，，，所以. 又∵；；. . 故有. 法二：设重复进行次这样的操作，口袋中黑球个数的数学期望为 当时 0 1 2 . 当时， . 综上，. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件求，再由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程并化简； （2）条件可转化为在上恒成立，利用导数求的最小值，由此可得结论. 【小问1详解】 时，，， 函数的导函数为，故， 所以函数在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由任意，知恒成立． 因为，所以， 故在上恒成立． 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，也是最小值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省怀化市第三中学高三年级上学期 开学理科实验班数学综合能力检测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（ ） A. 49h B. 56h C. 64h D. 76h 4. 已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线a和平面，若，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 某学校为了调查高一年级学生期中物理考试的情况，随机选取了100名学生成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 平均数的估计值为70（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） B. 第60百分位数估计值为71 C. 众数的估计值为75 D. 随机选取这100名学生中只有25名学生物理成绩不低于80分 8. 已知，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A. 存在两条不同直线a，b，使，，， B. 存在两条不同直线a，b，使，，， C. 存在两条异面直线a，b，使，，， D. 存在两条平行直线a，b，使，，， 二、多选题（本大题共3小题，共15分） 9. 已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A. 双曲线C的焦距为 B. C. D. 10. 在锐角中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（ ） A. B. 角B的范围是 C. 若的平分线交BC于D，，，则 D. 的取值范围是 11. 设，则（ ） A. B. C. 中最大的是 D. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 的展开式中的系数是______（用数字作答）. 13. 如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________. 14. 在复平面中，方程四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆的半径为______. 四、解答题（本大题共5小题，共80分） 15. 如图，和所在平面垂直，且，，求： （1）直线与平面所成角的大小； （2）平面和平面夹角的余弦值. 16. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且 （1）求角C； （2）求； （3）已知在中，若点P为平面上任意一点，求的最小值； 17. 随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ （2）现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色和编号外，其它均相同.现从甲乙两袋中各取一个球交换放入对方袋中，重复进行次这样的操作，记甲袋中黑球的个数为. （1）若进行一次交换后，从甲袋中任取一个球，求这个球是黑球的概率； （2）求的数学期望； （3）信息传递与整合模拟是一种用于研究信息在系统中如何流动、组合以及形成新信息的方法.编号的黑白小球实验可以在一定程度上对信息传递与整合进行简单的信息模拟.现有个不同的袋子，每个袋子装有一黑一白两个小球，这些小球除颜色和编号外，其它均相同，袋中的黑白小球代表该信息源所拥有的基础信息单元.若将每个黑球和白球看作不同的信息单元，每个袋子代表一个信息源.现将袋中的所有球取出串成圆环，可模拟信息在个信息源之间传递与整合的过程，圆环上小球的排列顺序和组合方式反映了信息的组织和整合形式.若这串圆环上的小球黑白相间且同个袋子中的黑白两球相邻，这样产生了种不同的信号.求证：. 19. 已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $