专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以共顶点等腰三角形“手拉手”模型为核心，通过通法提炼-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统构建旋转全等问题的解题框架，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|SAS证全等、对应边角关系推导、八字倒角求夹角|从模型共性（共顶点、等顶角）抽象核心解法| |题型归纳|3题型（双等腰/等边/等腰直角），每题型含典例+2变式|针对60°/90°等特殊顶角的全等应用及结论拓展|从一般到特殊，形成“基础模型-特殊化-变式应用”链条| |压轴挑战|8道综合题|综合旋转、面积计算、动态问题的模型迁移|对接中考压轴考法，提升复杂情境下的模型识别与推理能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 “手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 题型二、 “手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 题型三、 “手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，功力能力迁移 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边：利用SAS证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形 全等；由全等导出对应边、角相等：常结合八字倒角求夹角。 。易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提； 结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）：旋转方向分析不清。 ◆◆ ◆● 夙题型归纳一精讲夹型题法，务夫解题粮基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 典例1(25-26七年级下陕西汉中~期末)【思路梳理】 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 (I)等腰△ABC和等腰△ADE的位置如图1所示，分别连接BD、EC并延长交于点F,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE=I30°. ①若BD=7,求EC的长： ②求∠F的度数， 【问题解决】 (2)某种植基地内有一个形状为等腰△ABC的种植田（周围空地可利用），AB=AC,BC=160米，现计划 对该种植田进行扩建，在AC右侧找一点D,连接BD、AD、CD,沿BD、CD、BC设置隔离栏（宽度 忽略不计)，在△BDC区域内种植土豆，∠ADB=∠ACB,过点A作AE⊥BD于点E,在BE上取一点G, 使得EG=ED,连接AG,已知BE=100米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即△BDC的周 长). 题型模版 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD:③∠ACMLBFM;④CF平分∠AFD。 变式1-1(25-26七年级下山东济南期末)己知在△ABC中，AC=BC,在△DEC中，DC=EC, ∠ACB=∠DCE=&,点A、D、E在同一条直线上，AE与BC相交于点F,连接BE 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当a=40°时，求∠AEB的度数； (2)如图2，当a=90°时，完成下列问题： ①判断AD与BE的数量关系和位置关系： ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立.若 ∠CAF=∠BAF,BE=3,求线段AF的长 变式1-2(25-26七年级下四川成都期末)如图，△ABC与△AED为等腰三角形，AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC,D为线段BC上一个动点，AC与DE相交于点G. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：CA平分∠BCE: (2)如图2，在ED延长线上取一点F，当DF=EG时，线段AC与BF有什么位置关系？并说明理由： 25 (3③)如图3，若AE⊥AB,且∠CAD=2∠CDE,ACDE的面积为4，求CD的长. 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 典例2(25-26八年级上·山东德州·期末)如图，分别以△ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和等 边三角形ACE,线段BE与CD相交于点O,连接OA, 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)求证：BE=DC: (2)求∠BOD的度数： (3)求证：OA平分∠DOE 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠AFMZBCM=60°；④CF平分∠BFD。 变式2-1(25-26八年级下江西吉安·阶段检测)如图1，点C为线段AB上一点.△ACM,△CBN是等边 三角形，线段AW,MC交于点E,线段BM,CN交于点F,连接EF. M C 图1 图2 (I)求证：AN=BM: (2)求证：△CEF为等边三角形： 3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，如图2.试判断第(1)、(2)两小题的结论 是否仍然成立（不要求证明）· 变式2-2(25-26八年级上辽宁抚顺期末)问题情境：在等边△ABC中，E为边BC中线AD上的一动点， 连接BE,在BE的下方作等边△BEF. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，当BD=DE时，连接CF」 ①∠ABE的度数为： ②猜想CF与AC的位置关系，并说明理由： (2)如图2，连接DF，BF+DF是否有最小值，若有请求出此时∠DBF的度数；若没有请说明理由. 题型三、“手拉手“模型之共顶点双等腰直角三角形模型 典例3(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠B1C=∠DAE=90° 图1 图2 (I)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由， (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由。 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD:③∠AMME∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 变式3-1(25-26七年级下·广东佛山期中)解决问题 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)问题发现 如图l,△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数： (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在 同一直线上，连接BE.求∠AEB的度数： ②如图2，记8为AM0C面积，5为60E S=S-S2,CE=n 面积，设 ”,求关于n的数量关系式。 变式3-2(25-26八年级下山东枣庄期末)综合与实践. 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰 直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按 逆时针方向旋转a(O°<C<90),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,交AC于点G,连接CF.该 数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： 4 E(F D D B B 图1 图2 图3 (①)如图2，当ED川BC时： ①则a=_: ②判断BD与AE的位置关系，并说明理由. (②)【深入探究】如图3，当点E,F重合时，探究AF,BF,CF之间的数量关系，并说明理由. 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一文克高障压轴，突破思维上保 1.(25-26七年级下山东枣庄·阶段检测)如图，在△ABC,，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,点C,D,E三点在同一直线上，连接BD. A (I)△BAD与△CAE全等吗？为什么？ (②)试猜想BD,CE有何关系？并说明理由 2.(25-26八年级下山东烟台期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE,BD和CE交于点F,连接AF. B (I)求证：△ABD≌AACE； (2)求证：FA平分∠BFE; (3)若BD平分∠ABC,判断AF和CF的数量关系，并证明. 3.(25-26七年级下·上海宝山期末)如图，己知：△ABC、△DCE都是等边三角形，连接 AE、BD,M、N分别是线段AE、BD的中点. D M E (I)求证：△BCD≌aACE: 7/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：aCMW是等边三角形 4.(25-26八年级下·安徽宿州阶段检测)如图1，B,C,E三点共线，△ABC和△DCE均为等边三角形. D H B E 图1 图2 (I)求证：∠CAE=∠CBD: (2)如图2，BD与AC交于点F,AE与CD交于点H,连接FH. ①求证：CH=CF: ②猜想FH与BE的位置关系，并说明理由. 5.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)三角形的探究与实践 D B B 图1 图2 图3 (I)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角项点连接起来， 则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，△ABC和△ADE是 顶角相等的等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,分别连接BD,CE.求证： BD=CE: (2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，B,C,D 在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由. (3)问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB,CD=CE, ∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,若 AE=4,BE=2,请直接写出四边形ABEC的面积. 6.(25-26七年级下·山东济南期中)《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理.”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象.形成一 些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题. B 图1 图2 图3 【建立模型】 (I)如图1，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，在BD的同侧以CD为边构造等边三角形CDE, 连接BE,AD交于点F.则△BCE≌_，判定依据为_，BE=-,并直接写出∠AFB的度数_ 【应用模型】 (②)如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若 B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC: (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是△ABC外一点，连接AD,BD,CD,当AD= 5,∠BDC=90°时，请直接写出四边形ABDC的面积， 7.(25-26八年级下·江西九江期中)【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在 相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.这种模型称为“手拉手模型”，如果把小等腰三角形的 腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手 B B 图1 图2 图3 (I)【模型探究】如图l,若△ACB和△DCE均为等边三角形，AB=AC=BC,CD=CE=DE, ∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，LCDE=∠DCE=∠CED=6O°，点A、D、E在同一条直线上，连接BE, 则△CAD≌ -;线段BE= ；则∠AEB的度数为 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【探究证明】如图2，己知△ABC,分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角三角形ABE和等 腰直角三角形ACD,其中∠BAE=LCAD=9O°，AB=AE,AC=AD,连接CE、BD,线段CE和BD交 于点O.请判断线段CE和BD的关系，并说明理由： (3)【模型应用】如图3，在△ACD中，∠ADC-45°，AD=9.5,将线段AC绕着点C逆时针旋转90°至线 段BC,连接BD,求△ABD的面积 8.(25-26七年级下·河南郑州期中)在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同 的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形 B B 图1 图2 图3 图4 【模型初现】 (①)如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则 ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,所以△ABD≌△ACE,以上判定全等的依据是_ A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (②)如图2，已知A、B、C三点共线，分别以AB、BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE,AE、CD交 于点，证明：AE=CD,并求出∠EOC的度数： 【模型深化】 3)如图3，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接BD、 CE,探究BD、CE的数量关系与位置关系，并给出证明： 【拓展延伸】 (4)如图4，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥AD,连接CD,请直接写出 ∠ABD、∠ADC、∠ACD之间的数量关系， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11 专题11 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，且顶点相连（通常一大一小），形成旋转全等结构。 - 解题方法：识别公共顶点与对应等腰边；利用SAS证明“左手拉左手、右手拉右手”形成的两个三角形全等；由全等导出对应边、角相等；常结合八字倒角求夹角。 - 易错提醒：找错对应边（手拉手应连接的是不同等腰三角形的腰）；忽略公共顶点处顶角相等这一前提；结论中夹角与顶角关系误判（一般夹角等于顶角或其补角）；旋转方向分析不清。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 典例1（25-26七年级下·陕西汉中·期末）【思路梳理】 (1)等腰和等腰的位置如图1所示，分别连接、并延长交于点，，，． ①若，求的长； ②求的度数． 【问题解决】 (2)某种植基地内有一个形状为等腰的种植田（周围空地可利用），，米，现计划对该种植田进行扩建，在右侧找一点，连接、、，沿、、设置隔离栏（宽度忽略不计），在区域内种植土豆，，过点作于点，在上取一点，使得，连接，已知米，请你帮助该种植基地计算隔离栏的总长度（即的周长）． 【答案】(1)①；② (2)米 【分析】（1）①由得到，证明，即可得到； ②由等边对等角得到，由全等三角形的性质得到，从而根据三角形外角的性质与角的和差求出即可； （2）由垂直平分线的性质得到，因此，由，得到，从而根据三角形的内角和定理得到，即可证明，因此，从而可推出，进而可解答． 【详解】（1）解：①因为， 所以， 所以， ∵在和中， ， 所以， 所以． ②因为，， 所以， 因为， 所以， 因为 ， ． （2）解：因为，， 所以是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 因为在和中， ∴， 所以， 因为米，， 所以米， 所以隔离栏的总长度为（米）． 题型模版 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 变式1-1（25-26七年级下·山东济南·期末）已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 变式1-2（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由； (3)如图3，若，且的面积为，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得， ，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果； （2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接， 使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案； （3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得， ∴， 在和中，， ∴，， 如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴或， ∵线段的长度为非负数， ∴． 题型二、“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 典例2（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证即可． （2）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案． （3）过点分别作，，垂足为点，．根据三角形的面积公式求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 在中， ． （3）证明：过点分别作，，垂足为点，． 由（1）知：， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 变式2-1（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 变式2-2（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边 中，E为边中线 上的一动点，连接，在的下方作等边 (1)如图1， 当时， 连接． 的度数为 ； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时 的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)有最小值， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解； ②根据等边三角形的性质可得，再由三线合一得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）连接,可得，作点D关于的对称点G，连接、、、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下: ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、、、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小， ∵轴对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 题型三、“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 典例3（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型模版 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 变式3-1（25-26七年级下·广东佛山·期中）解决问题 (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数； (2)拓展探究 ①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； ②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先证明，那么，根据全等三角形证明，求出，得出，从而得到； （2）证明，得出，进一步得到；②设的面积为，的面积为，由，可得与的面积相等，推出，进而得到为的面积，再根据，均为等腰直角三角形，且，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴； ②设的面积为，的面积为， ∵， ∴与的面积相等， ∵为面积，为面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即． 变式3-2（25-26八年级下·山东枣庄·期末）综合与实践． 【初步探究】某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（0°＜＜90°），连接，，延长交于点F，交于点G，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)如图2，当时： ①则 ； ②判断与的位置关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图3，当点E，F重合时，探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② 理由如下：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (2)， 理由如下： 和是等腰直角三角形， ，，，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①根据和等腰直角三角形的性质即可求出②根据已知条件判定，得到，再根据直角三角形两锐角互余和对顶角的性质即可证明；（2）仍是判定，则，再根据等腰直角三角形性质得到，代换即可． 【详解】（1） 解：①是等腰直角三角形， ， ， ，即． ②略 （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接． (1)与全等吗？为什么？ (2)试猜想，有何关系？并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)，，理由见解析 【分析】（1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，，通过角之间的等量代换，得出即可得到． 【详解】（1）解：全等，理由见解析： ， ， ， 在与中， ， ； （2）解：，，理由如下： 由（1）知，， ，， ∵，， ∴， 即， ， ， ∴， 则． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在和中，，，，和交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若平分，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ． (2)证明：如图，作于，作于． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴平分． (3)，证明如下： 如图，设与交于点， 设， ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可； （2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明； （3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中， ， ， ； (2) ①证明：由（1）可知，， 又． ， ； ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 5．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）三角形的探究与实践 (1)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； (2)如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：， 即， 在和中， ． (2)，；理由如下： ， ，即， 在和中， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． (3)6 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形的面积为： ． 6．（25-26七年级下·山东济南·期中）《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． 【建立模型】 (1)如图1，为等边三角形，点在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点．则 ，判定依据为 ， ，并直接写出的度数 ． 【应用模型】 (2)如图2，点为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，若三点共线，求证：平分； (3)如图3，在Rt中，，，点是外一点，连接，，．当5，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)，SAS，AD， (2)见解析 (3)12.5 【分析】(1) 观察图形可知，结合已知条件可以确定全等的判定方法，然后利用全等三角形的对应角相等，再通过进一步推导可以求出； (2) 首先结合第 (1) 问的图形结构证明 ，然后利用全等的性质和已知条件确定 的度数，进而证明即可； (3) 依据前 2 问的解题经验，构造类似的图形结构，通过作辅助线把四边形的面积进行转化而求解． 【详解】（1）解：如图1，设，交于点． ， 为等边三角形， ，，， ，即 ， ， ，， 又， ； （2）证明： 线段绕点 逆时针旋转 得到， ，， ． 为等边三角形， ，， ，即 ． 在 和 中， ， ． 三点共线，， ， ， ， ，即平分； （3）解：答案12.5．理由： 如图 2，延长到，使 ． ，， 在四边形中， ． ， ． 在 和 中， ． ，， ， ． ，， ． 7．（25-26八年级下·江西九江·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． (1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； (2)【探究证明】如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； (3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 解：，，理由如下： 如图，设交于点， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，． (3) 【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，可得，即可得，则，，可得； （2）同理证明，，根据全等三角形的性质解答即可； （3）过点作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，可得，从而证明出，，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，过点作交于E点，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南郑州·期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现：将两个顶角相同的等腰三角形的顶角顶点放在一起时，存在一对全等三角形． 【模型初现】 (1)如图1，与都是等腰三角形，其中，，，则，即，所以，以上判定全等的依据是 ． A．    B．    C．    D． 兴趣小组成员发现顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型” 【模型运用】 (2)如图2，已知、、三点共线，分别以、为边向外作等边和等边，、交于点，证明：，并求出的度数； 【模型深化】 (3)如图3，、是等腰直角三角形，，，，连接、，探究、的数量关系与位置关系，并给出证明； 【拓展延伸】 (4)如图4，是等腰直角三角形，其中，，，连接，请直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)C (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ； (3) ，且， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）通过角的和差运算得到两边的夹角相等，结合已知的两组等边，可用判定三角形全等； （2）先利用等边三角形的边、角性质证得 ，再通过角的等量代换结合三角形内角和求出； （3）由角的和差得夹角相等证得 ，再通过角的转化证明两线夹角为，得出 ； （4）利用“同角的余角相等”推出，再代入的内角和定理得到三个角的数量关系． 【详解】（1）解：，，，符合“两边及其夹角对应相等”的全等判定定理； （2）略 （3）略 （4）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $