5.4.3正切函数的性质与图象 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 正切函数性质与图象同步练，分层覆盖基础概念到综合应用，通过题型梯度实现知识巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、周期性等单一性质|选择填空直接考查概念，如第1题定义域判断，夯实基础| |中档|性质综合应用|通过辨析（第3题对称性）、简单计算（第4题周期）深化理解| |提升|跨知识综合|解答题（第15题单调性范围）、多选题（第13题性质判断）实现能力迁移，体现推理与应用|

5.4.3　正切函数的性质与图象 考点一　正切函数的定义域 1.函数f(x)=tan 2x的定义域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.函数f(x)=3tan的定义域为　　　　.  考点二　正切型函数的周期性、奇偶性、对称性 3.函数y=tan x的图象 (　 ) A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.不是对称图形 4.函数y=2tan的最小正周期是 (　 ) A. B. C. D.π 5.若函数f(x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=　　　　.  考点三　正切函数的单调性及值域 6.函数y=tan,x∈的值域为 (　 ) A.(-,1) B. C.(-∞,-)∪(1,+∞) D. 7.下列各式中正确的是 (　 ) A.tan 1>-tan 2 B.tan 735°>tan 800° C.tan>tan D.tan>tan 8.(多选题)已知函数f(x)=tan,则 (　 ) A.f(x)的图象关于点对称 B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)的定义域为 D.f(x)在上单调递增 9.函数f(x)=tan的单调递增区间为　　　　　.  10.已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)试比较f(π)与f的大小. 11.[2026·衡阳高一期末] 已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 12.[2026·重庆八中高一检测] 函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得的线段长为,则f的值是 (　 ) A.- B. C.1 D. 13.(多选题)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中错误的是 (　 ) A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)的值域为(-∞,+∞) C.点是f(x)图象的一个对称中心 D.不等式f(x)>2的解集为(k∈Z) 14.函数y=tan2x-tan x+2,x∈的值域为　　　　.  15.已知函数f(x)=tan,其中ω>0. (1)若ω=2,求函数f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心; (2)若f(x)在区间[0,π]上单调递增,求正实数ω的取值范围. 16.已知tan α≥且α∈∪,则α的取值范围为 (　 ) A. B.∪ C. D.∪ 17.已知函数f(x)=2tan+1. (1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)设函数g(x)=[f(x)]2+mf(x)-2m+,对任意的x∈,g(x)≥0恒成立,求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3　正切函数的性质与图像 1.A　[解析] 由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故函数f(x)=tan 2x的定义域为.故选A. 2.　[解析] 令4x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故函数f(x)的定义域为. [易错点拨] 求正切型函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. 3.A　[解析] 函数y=tan x的定义域关于原点对称,又tan(-x)=-tan x,所以函数y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.故选A. 4.B　[解析] 函数y=2tan的最小正周期是.故选B. 5.(k∈Z)　[解析] 若x=0在定义域内,由当x=0时,y=0,得φ=kπ(k∈Z);若x=0不在定义域内,由当x=0时,tan φ无意义,得φ=+kπ(k∈Z).综上,φ=(k∈Z). [感悟提升] 正切型函数周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=,常常利用此公式来求周期. (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其定义域是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性;若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系. 6.A　[解析] 设z=x-,因为x∈,所以z∈,因为正切函数y=tan z在上单调递增,且tan=-,tan=1,所以tan z∈(-,1),所以函数y=tan,x∈的值域为(-,1).故选A. 7.C　[解析] 对于A,由0<1<,<2<,及正切函数y=tan x的性质,可得0<tan 1<tan=,tan 2<0且tan 2<tan=-,所以-tan 2>,所以tan 1<-tan 2,故A不正确;对于B,tan 735°=tan 15°,tan 800°=tan 80°,由正切函数y=tan x的单调性可得tan 15°<tan 80°,即tan 735°<tan 800°,故B不正确;对于C,正切函数y=tan x在上单调递增,因为<,所以tan>tan,故C正确;对于D,tan=tan=tan,由正切函数的单调性,可得tan<tan,即tan<tan,故D不正确.故选C. 8.ABD　[解析] 对于A,令2x-=(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=1时,x=,所以f(x)的图象关于点对称,故A正确;对于B,f(x)的最小正周期T=,故B正确;对于C,令2x-≠+kπ(k∈Z),得x≠+(k∈Z),故C错误;对于D,若x∈,则2x-∈,又y=tan x在上单调递增,所以f(x)在上单调递增,故D正确.故选ABD. 9.(k∈Z)　[解析] 令-+kπ<x+<+kπ(k∈Z),解得2k-<x<2k+(k∈Z),所以该函数的单调递增区间为(k∈Z). 10.解:(1)函数f(x)=3tan=-3tan, 所以f(x)的最小正周期T===4π. 由kπ-<-<kπ+,k∈Z, 解得4kπ-<x<4kπ+,k∈Z, 所以f(x)=3tan的单调递减区间为,k∈Z. (2)因为f=f=f,且-<π<<,函数f(x)在上单调递减, 所以f(π)>f,即f(π)>f. 11.D　[解析] 依题意得4a+=,k∈Z,解得a=-+,k∈Z,又a>0,所以当k=1时,a取得最小值.故选D. 12.A　[解析] 由题意可知,函数f(x)的最小正周期T==,解得ω=2,所以f(x)=tan 2x,所以f=tan=tan=-tan=-.故选A. 13.ABC　[解析] f(x)=tan x+|tan x|=作出f(x)的图象,如图所示.对于A,f(x)的最小正周期为π,故A中结论错误;对于B,f(x)的值域为[0,+∞),故B中结论错误;对于C,f(x)的图象没有对称中心,故C中结论错误;对于D,不等式f(x)>2,即当x∈(k∈Z)时,2tan x>2,即tan x>,解得+kπ<x<+kπ(k∈Z),所以f(x)>2的解集为(k∈Z),故D中结论正确.故选ABC. 14.　[解析] 由x∈,得tan x∈[-1,1],y=tan2x-tan x+2=+,故当tan x=时,y取得最小值,当tan x=-1时,y取得最大值4.故函数y=tan2x-tan x+2,x∈的值域为. 15.解:(1)∵ω=2,∴函数f(x)的最小正周期T==. 令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z, ∴函数图象的对称中心为点,k∈Z. (2)∵f(x)在区间[0,π]上单调递增,∴ωx+∈⊆, ∴ωπ+<,又ω为正实数,∴ω∈. 16.B　[解析] 当α∈时,tan α∈(0,+∞),则由tan α≥,得tan2α≥1,可得tan α≥1,所以α∈;当α∈时,tan α∈(-∞,0),则由tan α≥,得tan2α≤1,可得-1≤tan α<0,所以α∈.综上可得,α的取值范围为∪.故选B. 17.解:(1)f(x)≥1,即2tan+1≥1,则tan≥0,则kπ≤2x+<kπ+,k∈Z, 解得-≤x<+,k∈Z,故不等式f(x)≥1的解集为. (2)因为x∈,所以2x+∈,所以tan∈[-1,1], 所以2tan+1∈[-1,3],即f(x)∈[-1,3]. 设t=f(x),则t∈[-1,3], 设函数h(t)=t2+mt-2m+(-1≤t≤3),其图象的对称轴方程为x=-=-. 当-<-1,即m>2时,h(t)在[-1,3]上单调递增, 则h(t)min=h(-1)=1-m-2m+≥0,解得m≤, 又m>2,无解,所以不符合题意. 当-1≤-≤3,即-6≤m≤2时,h(t)在上单调递减,在上单调递增, 则h(t)min=h=--2m+≥0,解得-9≤m≤1, 又-6≤m≤2,所以-6≤m≤1. 当->3,即m<-6时,h(t)在[-1,3]上单调递减, 则h(t)min=h(3)=9+3m-2m+≥0,解得m≥-, 又m<-6,所以-≤m<-6. 综上,m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $