5.4.3 正切函数的性质与图象 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现正切函数性质与图象从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象、推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|周期、定义域、对称中心等基本性质|单选形式聚焦概念辨析，如最小正周期计算，夯实基础考点| |提升层|单调性、奇偶性、图象交点综合应用|多选与填空结合，如函数值比较、对称中心判断，深化知识联系| |综合层|跨函数比较、实际应用与性质探究|解答题融合图象分析（如sinx与tanx比较）、参数讨论，培养数学思维与表达|

5.4.3 正切函数的性质与图象 1. 函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为(　 　) A. B. π C. 2π D. 4 2. 函数f(x)＝－2tan的定义域是(　 　) A. B. C. D. 3. 函数y＝3tan的图象的一个对称中心是(　 　) A. B. C. D. (0， 0) 4. 函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　 　) A. ，k∈Z B. ，k∈Z C. ，k∈Z D. ，k∈Z 5. 已知函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f等于(　 　) A. 0 B. － C. －1 D. 6. 已知a＝cos 1，b＝sin 1，c＝tan 1，则 (　 　) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜c＜a D. c＜a＜b 7. 函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　 　) A. B. C. D. 8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　) A. tan＞tan B. sin 145°＜tan 47° C. 函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 D. 函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) 9. (多选)与函数y＝tan的图象相交的直线有(　 　) A. x＝ B. y＝ C. x＝ D. x＝ 10. 已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝　 　.  11. 关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)有以下几种说法： ①对任意的φ，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 其中错误说法的序号是　 　.  12. 若f(x)＝tan，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝　 　.  13. 已知函数f(x)＝2sin x，x∈∪，g(x)＝tan x，x∈∪. (1)求函数f(x)与g(x)的图象的交点坐标； (2)在同一平面直角坐标系中，画出f(x)，g(x)的图象，并根据图象： ①写出满足f(x)＞g(x)的实数x的取值范围； ②写出这两个函数具有相同单调性的区间. 14. 已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小. 15. (多选)已知函数f(x)＝tan x＋|tan x|，则下列结论中，正确的有(　 　) A. f(x)的最小正周期为 B. 是f(x)图象的一个对称中心 C. f(x)的值域为[0，＋∞) D. 不等式f(x)＞2的解集为(k∈Z) 16. 已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈. (1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若f(x)在区间[－1，]上单调，求θ的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 练习4　正切函数的性质与图象 1. 函数f(x)＝tan，x∈R的最小正周期为(　C　) A. B. π C. 2π D. 4 【解析】T＝＝2π. 2. 函数f(x)＝－2tan的定义域是(　D　) A. B. C. D. 【解析】由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z.∴函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是 . 3. 函数y＝3tan的图象的一个对称中心是(　C　) A. B. C. D. (0， 0) 【解析】∵y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.由x＋，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，∴函数y＝3tan的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得. 4. 函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　C　) A. ，k∈Z B. ，k∈Z C. ，k∈Z D. ，k∈Z 【解析】由－＋kπ＜x＋＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f(x)的单调递增区间是，k∈Z. 5. 已知函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f等于(　A　) A. 0 B. － C. －1 D. 【解析】由题意，可知T＝，∴ω＝＝4，即f(x)＝tan 4x， ∴f＝tan＝tan π＝0. 6. 已知a＝cos 1，b＝sin 1，c＝tan 1，则 (　A　) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜c＜a D. c＜a＜b 【解析】易知＜1＜.∵函数y＝sin x在上单调递增，∴1＞b＝sin 1＞sin.∵函数y＝cos x在上单调递减，∴0＜a＝cos 1＜cos. ∵函数y＝tan x在上单调递增，∴c＝tan 1＞tan＝1，∴a＜＜b＜1＜c，即a＜b＜c. 7. 函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　D　) A. B. C. D. 【解析】当＜x＜π时，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0；当x＝π时，y＝0；当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x∈(－2， 0). 8. (多选)下列说法中，正确的有(　BD　) A. tan＞tan B. sin 145°＜tan 47° C. 函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 D. 函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞) 【解析】A错误，tan ＝tan＝tan ，∵0＜，函数y＝tan x 在上单调递增，∴tan ＜tan ，即tan ＜tan ；B正确，sin 145°＝ sin 35°＜1，tan 47°＞1，故sin 145°＜tan 47°；C错误，函数y＝tan (ωx＋φ)的 最小正周期为；D正确，∵≤x＜，∴由函数的单调性可知y＝2tan x≥2. 9. (多选)与函数y＝tan的图象相交的直线有(　ABC　) A. x＝ B. y＝ C. x＝ D. x＝ 【解析】对于A，当x＝时，y＝tan＝tan ＝1，∴直线x＝与函数y＝tan的图象交于点；对于B，由正切函数的图象可知直线y＝与函数y＝tan的图象相交；对于C，当x＝时，y＝tan＝ tan ＝－1，∴直线x＝与函数y＝tan的图象交于点；对于D，当x＝时，y＝tan＝tan 无意义，∴直线x＝与函数y＝tan的图象无交点. 10. 已知函数f(x)＝tan x＋，若f(a)＝5，则f(－a)＝　－5　.  【解析】易知函数f(x)为奇函数，故f(a)＋f(－a)＝0，则f(－a)＝－f(a)＝－5. 11. 关于x的函数f(x)＝tan (x＋φ)有以下几种说法： ①对任意的φ，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；②f(x)的图象关于对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数. 其中错误说法的序号是　①　.  【解析】①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，∴①错误；观察正切函数y＝tan x的图象，可知其关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝， k∈Z，得x＝－φ，分别令k＝1，2知②，③正确，④显然正确. 12. 若f(x)＝tan，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝　0　.  【解析】f(x)＝tan的最小正周期T＝＝3.∵f(1)＝tan，f(2)＝tan＝ －，f(3)＝tan π＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又＝675，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. 13. 已知函数f(x)＝2sin x，x∈∪，g(x)＝tan x，x∈∪. (1)求函数f(x)与g(x)的图象的交点坐标； (2)在同一平面直角坐标系中，画出f(x)，g(x)的图象，并根据图象： ①写出满足f(x)＞g(x)的实数x的取值范围； ②写出这两个函数具有相同单调性的区间. 解：(1)令f(x)＝g(x)，得2sin x＝tan x＝，∴cos x＝，或sin x＝0，又x∈∪，∴x＝，或x＝π，又f＝1，f(π)＝0，∴函数f(x)与g(x)的图象的交点坐标为，(π，0). (2)作出两函数的图象如图所示. ①由图象可知满足f(x)＞g(x)的实数x的取值范围是∪. ②由图象可知f(x)和g(x)在上具有相同的单调性，且单调递增. 14. 已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f(π)与f的大小. 解：(1)∵f(x)＝3tan＝－3tan，∴f(x)的最小正周期T＝＝4π. 令kπ－＜kπ＋(k∈Z)，得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)，∴y＝3tan在(k∈Z)上单调递增，∴f(x)＝3tan在(k∈Z)上单调递减.故函数f(x)的最小正周期为4π，其单调递减区间为(k∈Z). (2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f＝3tan＝ 3tan＝－3tan，∵0＜，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan＜tan，∴f(π)＞f.　 15. (多选)已知函数f(x)＝tan x＋|tan x|，则下列结论中，正确的有(　CD　) A. f(x)的最小正周期为 B. 是f(x)图象的一个对称中心 C. f(x)的值域为[0，＋∞) D. 不等式f(x)＞2的解集为(k∈Z) 【解析】f(x)＝tan x＋|tan x|＝ 作出f(x)的图象，如图所示.由图可知 f(x)的最小正周期为π，A错误；f(x)的图象没有对称中心，B错误；f(x)的值域 为[0，＋∞)，C正确；不等式f(x)＞2等价于当x∈(k∈Z)时， 2tan x＞2，得tan x＞1，解得＋kπ＜x＜＋kπ(k∈Z)，∴f(x)＞2的解集为 (k∈Z)，D正确. 16. 已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈. (1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若f(x)在区间[－1，]上单调，求θ的取值范围. 解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝.∵x∈[－1，]， ∴当x＝时，f(x)取得最小值－，当x＝－1时，f(x)取得最大值. (2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，其图象的对称轴为直线 x＝－tan θ.∵f(x)在区间[－1，]上单调，∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥，即tan θ≥1，或tan θ≤－.又θ∈，∴θ的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $