04 滚动习题(七)[范围：5.1～5.3] 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练（5.1~5.3），45分钟/105分，以"基础巩固-综合辨析-应用提升"分层设计，通过概念理解、运算深化到实际情境应用，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角的概念、三角函数值、圆心角计算|单选1-3考查终边相同角、sin240°等基础概念，夯实数学抽象能力| |中档|象限角符号、三角恒等变换、扇形运算|多选8结合sinθ+cosθ综合辨析，填空11考查tanα化简，发展推理意识| |提升|几何图形应用、函数综合探究|解答13以莱洛三角形考弧长面积，15结合函数化简与求值，体现模型观念与应用意识|

滚动习题(七)[范围:5.1~5.3] (时间:45分钟　分值:105分) 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角一定大于第一象限的角 C.与-2026°终边相同的最小正角是134° D.若α=-2,则α是第四象限角 2.sin 240°的值是 (　 ) A.- B. C.- D. 3.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.8 4.已知①sin θ>0;②sin θ<0;③cos θ>0;④cos θ<0;⑤tan θ>0;⑥tan θ<0.则θ为第二象限角的充要条件可以是 (　 ) A.①③ B.③⑤ C.①⑥ D.②④ 5.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边在第三象限且与单位圆交于点P,则sin α= (　 ) A.- B. C.- D. 6.若cos(-80°)=k,则tan 100°= (　 ) A. B.- C. D.- 7.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.已知以直角边AC,AB为直径的半圆的面积的比值为,记∠ABC=θ,则的值为 (　 ) A.-1 B.-2 C.0 D.1 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是 (　 ) A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 9.定义:角θ和φ都是任意角,若θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin α=,则满足下列条件的角β中,可能与角α“广义互余”的是 (　 ) A.cos(π+β)= B.tan β= C.cos(2π-β)= D.sin β= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.已知某扇形的周长为8,圆心角为6 rad,则该扇形的面积为　　　　.  11.已知tan α=2,则=　　　　.  12.如图,以Ox为始边作角α与β,它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点Q的坐标为,若OP⊥OQ,则点P的坐标为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形,它是由德国机械学家莱洛首先发现的,故而得名.如图所示,它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线,若AB=2,求: (1)莱洛三角形的周长; (2)莱洛三角形的面积. 14.(15分)已知角α的终边经过点P(a,3a)(a≠0). (1)求的值; (2)若sin α,cos α是方程x2-mx+n=0的两个根,求m2+n的值. 15.(15分)已知函数f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f(α)=-,求cos α,tan α的值; (3)若α∈,f=,求cos+2cos的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(七) 1.C　[解析] -10°<90°,但是由锐角的定义知-10°不是锐角,故A错误;100°是第二象限的角,400°是第一象限的角,但100°<400°,故B错误;因为-2026°=-6×360°+134°,所以与-2026°终边相同的最小正角是134°,故C正确;因为-π<-2<-,所以α是第三象限角,故D错误.故选C. 2.A　[解析] sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.故选A. 3.B　[解析] 设圆弧所对的圆心角为α,由半径为2的圆上圆弧长度为4,可得α×2=4,所以α=2.故选B. 4.C　[解析] θ为第二象限角的充要条件是sin θ>0,cos θ<0,tan θ<0中任意两个.故选C. 5.C　[解析] 因为点P在第三象限,所以m<0,又点P在单位圆上,所以+m2=1,解得m=-,所以sin α=-.故选C. 6.B　[解析] ∵cos(-80°)=cos 80°=k,∴sin 80°==,∴tan 80°==,∴tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°=-.故选B. 7.A　[解析] 以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为×π×=,×π×=,则=,所以=.在Rt△ABC中,tan θ=tan∠ABC==,则===-1.故选A. 8.ABD　[解析] 因为sin θ+cos θ=,所以sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ=,可得2sin θcos θ=-,又θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,所以θ∈,故A正确;由(sin θ-cos θ)2=sin2θ-2sin θcos θ+cos2θ=,可得sin θ-cos θ=,故D正确;由解得故B正确;tan θ==-,故C错误.故选ABD. 9.CD　[解析] 对于A,假设角α和β“广义互余”,则α+β=,即β=-α,所以cos(π+β)=cos=-sin α=-,与已知矛盾,故A错误;对于B,假设角α和β“广义互余”,则tan β====,解得cos α=,则sin2α+cos2α≠1,故B错误;对于C,假设角α和β“广义互余”,则cos(2π-β)=cos β=cos=sin α=,故C正确;对于D,假设角α和β“广义互余”,则sin β=sin=cos α=±=±,即满足sin β=的角β可能与角α“广义互余”,故D正确.故选CD. 10.3　[解析] 设扇形的半径为R,则2R+6R=8,解得R=1,所以该扇形的面积S=αR2=×6×1=3. 11.-　[解析] 由tan α=2,得===-. 12.　[解析] 因为点Q在单位圆上,所以x2+=1,可得x=,即Q,由三角函数定义知sin β=,cos β=.由OP⊥OQ,得sin α=sin=cos β=,cos α=cos=-sin β=-,所以P. 13.解:(1)因为AB=2,且△ABC为正三角形, 所以以A为圆心的扇形的弧长是×2=, 故莱洛三角形的周长为3×=2π. (2)因为AB=2,且△ABC为正三角形, 所以以A为圆心的扇形的面积是××2=, 又△ABC的面积是AB2=×22=, 所以莱洛三角形的面积为×3-2=2π-2. 14.解:(1)因为角α的终边经过点P(a,3a)(a≠0),所以tan α==3,所以===. (2)因为sin α,cos α是方程x2-mx+n=0的两个根, 所以sin α+cos α=m,sin αcos α=n,且Δ=m2-4n>0, 则m2+n=(sin α+cos α)2+sin αcos α=1+3sin αcos α=1+=1+=1+=. 15.解:(1)f(α)===sin α. (2)因为f(α)=sin α=-,所以α为第三象限角或第四象限角. 当α为第三象限角时,cos α=-=-,tan α==;当α为第四象限角时,cos α==,tan α==-. (3)因为f(α)=sin α,所以f=sin=. cos=cos=-sin=-,cos=cos=-cos. 因为α∈,所以α+∈,所以cos=,所以cos=-. 则cos+2cos=-. 学科网（北京）股份有限公司 $