第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(一）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份一元二次函数、方程和不等式单元卷，通过基础题与综合应用题结合，全面覆盖单元核心知识，适配高中数学单元复习，提升抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式解法|基础巩固，考查抽象能力| |多选|3/18|不等式性质、二次不等式解集|分层考查，培养推理意识| |填空|3/15|取值范围、恒成立问题|聚焦重点，强化运算能力| |解答|5/77|解不等式、二次函数应用、无人机企业工资优化|综合应用，体现模型意识与创新思维|

一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 2．不等式的解为（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 6．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 8．已知正数满足， 则的最小值是(　　) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c∈R，则下列说法中，正确的是(　　) A. 若a＞b＞0，则ac＞bc B. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若b＞a＞0，c＞0，则 10.已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，则(　 　) A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集为 C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为 11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围是________． 13．设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 14．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15..解下列不等式（组）： （1）； （2）. 16．已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 17．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18．某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 19．已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷(一）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B等于(　　) A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3} 【答案】A 【解】∵A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}．故选：A. 2．不等式的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】由不等式，即， 则，解得，即， 3．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】关于的不等式的解集为. ①当时，即当时，则有恒成立，符合题意； ②当时，则有， 解得，综上所述，实数的取值范围是. 4．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设，所以解方程得：，由不等式性质可知：①，②，①+②得，即. 5．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 6．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 7．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解】， 化简得：，解得，当且仅当，即 时取等号，故的最大值为. 8．已知正数满足， 则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解】(当且仅当时取等号) 又因为已知正数满足，所以即 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知a，b，c∈R，则下列说法中，正确的是(　　) A. 若a＞b＞0，则ac＞bc B. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c C. 若ac2＞bc2，则a＞b D. 若b＞a＞0，c＞0，则 【答案】BCD 【解】对于A，当c＜0时，ac＜bc，A错误； 对于B，由c＞d可得－d＞－c，∴a－d＞b－c，B正确； 对于C，∵ac2＞bc2，故c2＞0，∴a＞b，C正确； 对于D，，∵b＞a＞0，c＞0，∴＜0，∴，D正确. 10.已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，则(　 　) A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集为 C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为 【答案】AD 【解】由题知，a＜0，且－＝－1，＝－2，即得b＝a，c＝－2a，A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，∴x＞，B错误；对于C，a－b＋c＝－2a＞0，C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，∴2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，D正确. 11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，又因为， ，即． 13．设、，若关于的不等式的解集为，则__________. 【答案】 【解】不等式可化为或， 因为不等式的解集为，所以方程的解为，不等式的解集为， 所以， ，是方程的解， 所以，，所以，所以， 14．若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解】设则，，∴∴，不等式恒成立可化为恒成立，即恒成立， 故，∴. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15..解下列不等式（组）： （1）； （2）. 【答案】(1)(2) 【解】（1）由，得，故， 所以原不等式组的解集为 （2）由，得，即， 所以，所以或. 所以原不等式组的解集为 16．已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若对，不等式恒成立，求不等式的解集. 【答案】(1)(2)或 【解】（1）由题意可知，和是方程的两个根，则，解得. （2）由题意可知：，解得， 则不等式即为，所以， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 17．已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合. (1)求集合. (2)设全集为R，集合，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)实数的取值范围为 【解】（1）因为不等式的解集为， 则是的两根，由韦达定理可得，即， 所以不等式为的解集， （2）因为是成立的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，符合题意； 当时，在上有一个或两个根，又由韦达定理可知方程两根同号， 则即解得，符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 18．某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 19．已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $