第二章一元二次函数、方程和不等式章末训练（一）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式章末训练卷，通过生活情境（如加油方案比较）与梯度问题设计，覆盖单元核心知识，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|不等式性质、充要条件等|第3题结合加油方案比较，体现应用意识| |多项选择|3/18|不等式真假判断、解集等|第11题结合韦达定理，考查推理能力| |填空|3/15|最值求解、条件判断|第13题用基本不等式求最值，强化运算能力| |解答题|5/77|代数式比较、函数模型应用等|第18题仓库费用优化，构建函数模型，落实模型意识|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末训练（一） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 4．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知且，则“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 11．已知a，b是关于x的方程的根，且，，则（    ） A．或 B． C．的最小值为16 D．的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．的最小值为_____________． 13．设，则的最小值为__________． 14．设都是正实数，则是的_________条件. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）比较下列两组代数式的大小 (1)和 (2)与 16．（15分）（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 17．（17分）设命题，；命题， (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； 18．（17分）某商贸公司计划租地建造仓库储存货物，仓库到车站的距离为千米，经调查了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与成反比，每月的库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则每月的土地占地费和每月的库存货物费分别为3万元和12万元. (1)求与的解析式； (2)该公司把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 19．（17分）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二章� 一元二次函数、方程和不等式� � 章末训练（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C D A C CD CD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 2．D 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 3．A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 4．B 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 5．C 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 6．D 【分析】只需举反例推翻充分性和必要性即可得出结论. 【详解】若且，则方程有解， 但此时不等式的无解，故充分性不成立， 对于必要性，当且时， 关于的不等式的解为全体实数， 但是关于的方程无实数解，故必要性也不成立. 所以“关于的方程有解”是“关于的不等式有解”的既非充分又非必要条件. 故选：D 7．A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 8．C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出、的值，进而求出的值. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两个根， 所以，，所以，. 所以. 故选：C. 9．CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10．CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 11．BCD 【分析】由题意并结合韦达定理得，对于A，由根的分布即可求得的取值范围；对于B，联立即可得到，对于C，设，解有关的二次不等式，即可得到的最小值，进而得到的最小值，对于D，由题得，对使用基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意并结合韦达定理得，且，， 对于A，由题意得两根之和为正，两根之积为正，判别式非负， 即，解得，故A错误； 对于B，联立，整理得，故B正确； 对于C，，即， 设，则有，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为4，进而的最小值为16，故C正确； 对于D，由得，易得， 故，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】根据题意，利用绝对值的三角不等式，即可求解. 【详解】由绝对值的三角不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立. 13． 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 14．充分不必要 【分析】充分性用基本不等式证明，必要性用特殊值排除. 【详解】由基本不等式可知：， 三式相加得：，即， 又因为，所以，取等条件为，所以是充分条件； 取，可知不等式成立，此时，所以必要性不成立. 故答案为：充分不必要 15．(1)； (2). 【分析】（1）利用作差比较法进行求解即可； （2）利用作差比较法，结合配方法进行求解即可. 【详解】（1） （2） 16． （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 17．(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知 ， 是真命题，则，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若是真命题，则 ，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则 ， 是真命题， 由 解得，即实数的取值范围是. 18．(1)， (2)4千米 【分析】（1）设，，根据条件列方程求出，即可 （2）直接写出费用之和为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）（1）设，， 则，，解得，， 所以，. （2）设两项费用之和为，则， 从而， 当且仅当，即时等号成立， 所以把仓库建在距离车站4千米处，两项费用之和最小. 19．(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $