第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末测试（二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学“一元二次函数、方程和不等式”章末复习，通过基础巩固与综合应用结合的试题设计，全面考查核心知识，适配单元复习需求，如解答题17题以企业设备使用为情境，体现数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|含二次不等式解集（题2）、基本不等式求最值（题1）|基础题型梯度分布，考查运算能力| |多选题|3/18|不等式性质（题9）、基本不等式应用（题10）|选项分层设计，培养推理意识| |填空题|3/15|代数式比较大小（题12）、最值求解（题13）|聚焦易错点，强化抽象能力| |解答题|5/77|实际问题函数建模（题17）、方程根的分布（题19）|综合情境题占比高，如题19用补集法分析根的分布，提升逻辑推理与数学表达能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试（二） 限时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 4．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 6．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 7．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 8．已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 二、选择题:本题共3小题,每题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．已知关于的不等式的解集为. 则（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 把答案填在填空中的横线上. 12．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 13．已知，则的最小值为________． 14．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 16．（1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 17．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 18．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 19．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 《第二章 一元二次函数、方程和不等式章末测试（二）》参考答案 1．B 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 2．B 【解析】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．A 【解析】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 4．D 【解析】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 5．C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即，则，即， 所以，解得或． 6．C 【解析】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得， 故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 7．B 【解析】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 8．C 【解析】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则的图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 9．ABD 【解析】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 10．AD 【解析】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11．BC 【解析】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. 12． 【解析】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 13． 【解析】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 14． 【解析】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得. 15．【解析】（1）因，又，， 则，即； （2）由可得，又， 则得，即； （3）设，由， 解得，即， 因，则， 又，则， 两式相加，可得，即. 16．【解析】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3），且，      ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 17．【解析】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 18．【解析】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 19．【解析】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根， 用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $