第3章 第7节 正弦定理与余弦定理的应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的实际应用，通过基础到综合的题型设计，构建“模型抽象-边角互化-综合应用”的知识逻辑链，培养数学眼光与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题（题1-10）|方位角（灯塔）、距离测量（气球/台风）、面积计算（球体建筑）|从简单边角关系到实际情境模型构建，强化正余弦定理直接应用| |综合提升|4题（题11-14）|三角恒等变换（题11）、最值问题（题6）、跨学科应用（十三边形面积）|结合三角公式与函数思想，深化定理在复杂问题中的迁移应用|

课时冲关30　正弦定理与余弦定理的应用 学生用书　P317 [基础训练组] 1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　 ) A．北偏东10°　　　　　 B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 解析：D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.] 2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 解析：D　[由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－2×10×20×＝700.所以AC＝10(km)．] 3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：C　[因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(－1)(m)．] 4．(2024·南昌市模拟)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝(　　) A．60　　 B．80　　 C．100　　 D．125 解析：C　[如图所示： AB＝150，AC＝200，B＝α，C＝β， 在Rt△ADB中，AD＝ABsin α＝150sin α， BD＝ABcos α， 在Rt△ADC中，AD＝ACsin β＝200sin β， CD＝ACcos β， ∴150sin α＝200sin β，即3sin α＝4sin β，①， 又cos α＝cos β，②， 由①②解得sin β＝，cos β＝，sin α＝，cos α＝. ∴BD＝ABcos α＝150×＝90，CD＝ACcos β＝200×＝160，∴BC＝BD＋CD＝90＋160＝250，∴v＝＝100.] 5．(2024·江苏南通模拟)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10° ≈ 0.985)(　　) A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 解析：B　[如图， 设球的半径为R，AB＝R，AC＝. ∵BC＝－R＝100， ∴R＝＝＝＝＝＝＝.∴2R＝≈50.76.] 6．(多选)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝，若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是(　　) A．△ABC的内角B＝ B．△ABC的内角C＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3 D．四边形ABCD面积无最大值 解析：ABC　[∵(a cos C＋ccos A)＝2bsin B， ∴(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2 B， ∴sin(A＋C)＝2sin2B，∴sin B＝2sin2 B， ∴sin B＝. ∵∠CAB＝，∴B∈，∴B＝， ∴C＝π－A－B＝，因此A，B正确； 四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin∠ADC ＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC ＝(9＋1－6·cos∠ADC)＋×3sin∠ADC＝＋3sin≤＋3， 因此C正确，D错误．] 7．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min. 解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AC＝＝ ＝10(n mile)， 所以海轮航行的速度为 ＝(n mile/min)． 答案： 8．如图，在△ABC中，已知M为边BC上一点，＝4，∠AMC＝，AM＝2，△AMC的面积为3，则CM＝________；AB＝________. 解析：因为在△AMC中，∠AMC＝，AM＝2，△AMC的面积为3，则有3＝AM·CM·sin∠AMC＝×2×CM×，所以解得CM＝6.因为＝4，所以BM＝2，BC＝8，因为∠AMB＝π－∠AMC＝，所以由余弦定理可得AB＝ ＝＝2. 答案：6　2 9．(2024·河北沧州统考模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为______米． 解析：由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝CD＝300， BC＝CD＝300， 又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°， 在△ACD中，由正弦定理得，＝，所以AC＝×＝200， 在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°， 由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(200)2＋(300)2－2×200×300×＝150 000， 所以AB＝100. 答案：100 10．(2022·新高考Ⅱ卷，18)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解：(1)∵边长为a，b，c的正三角形的面积分别为a2，b2，c2， ∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝， 即ac cos B＝1， 由sin B＝，得cos B＝，∴ac＝＝， 故S△ABC＝ac sin B＝××＝. (2)由正弦定理，得＝·＝＝＝. ∴＝. 故b＝ sin B＝. [能力提升组] 11．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为(　　) A. B． C. D． 解析：B　[在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin B＝sin A∈(0,1]，所以sin A∈，所以A∈.] 12．(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos ∠CDB＝－，则(　　) A．sin ∠CDB＝ B．△ABC的面积为8 C．△ABC的周长为8＋4 D．△ABC为钝角三角形 解析：BCD　[因为cos ∠CDB＝－，所以sin ∠CDB＝＝，故A错误；设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD sin∠CDB＝×3××＝3， 所以S△ABC＝ S△DBC＝8，故B正确；因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝， 在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AD＝2， 所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，故C正确； 因为AB＝8为最大边，所以cos C ＝＝－＜0，即∠C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确．] 13．(2024·辽宁锦州渤海大学附属高级中学校考)在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块.2023年3月20日，一个由数学家和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形(如下图所示)，只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为____________． 解析：由图可知，AB＝DE＝FG＝IJ＝JK＝MA＝1，∠BCQ＝∠QCG＝∠GCP＝60°，∠ABC＝90°，△ABC≌△AQC， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝，S△ABC＝， ∴十三边形的面积为×16＝8. 答案：8 14．(2024·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝. (1)求△ABC的外接圆直径； (2)求a＋c的取值范围． 解：(1)因为角A，B，C成等差数列， 所以2B＝A＋C， 又因为A＋B＋C＝π， 所以B＝.根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝＝＝1. (2)由B＝，知A＋C＝，可得0＜A＜. 由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦定理得，＝＝＝1， 所以a＋c＝sin A＋sin C ＝sin A＋sin ＝＝sin. 因为0＜A＜，所以＜A＋＜. 所以＜ sin≤1， 从而＜sin≤， 所以a＋c的取值范围是. 8 学科网（北京）股份有限公司 $