4.8 三角形中的高线、中线、角平分线 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角形高线、中线、角平分线，通过选择、填空、解答题分层设计，实现从单一概念到综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|高线计算、中线性质|单选题1-2题，直接应用定义与等面积法，强化概念理解| |提升层|角平分线定理、中线综合|单选题3-4题及解答题7-8题，结合余弦定理与面积公式，培养运算能力| |综合层|三线交点、多知识点融合|解答题9-10题，涉及重心性质与三角函数综合，发展逻辑推理与模型观念|

第8节　三角形中的高线、中线、角平分线 一、单选题 1. (2025高三下·宁波月考) 在中，，记为边上的高，若，则（ ） A.  B.  C.  D.  2. △ABC中，，，，则BC边上的高为（ ） A.  B.  C.  D.  3. (2026高二上·杭州月考) 已知△ABC面积为1，边AC上的中线为BD，边AB上的中线为CE，且，则边AC的最小值为（ ） A.  B.  C.  D.  4. 在中，，的角平分线交边于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A.  B.  C.  D.  二、填空题 5. 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知B = 60°,A = 45°,c - a = 3，∠B的平分线BD交边AC于点D,AB边上的高为CF,BC边上的高为AE,BD∩CF = P，AE∩CF = R,BD∩AE = Q，则∠PQR = ______ ；PQ = ______ . 6. (2025高一下·龙马潭期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则 ________. 三、解答题 7.(2026·乐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2. (1)求B; (2)若a＝2，c＝＋1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD. 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c. (1)求A; (2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD. 9.(2026·聊城模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B＋btan Bcos A＝2bsin C. (1)求B; (2)若a＝3，且AC边上的高为，求△ABC的周长. 10.(2026·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c. (1)求B. (2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M. ①求BE; ②求cos∠EMF. 第8节　三角形中的高线、中线、角平分线 一、单选题 1. (2025高三下·宁波月考) 在中，，记为边上的高，若，则（ ） A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　如图所示，作交于， 设， 因为，，所以，， 又因为，所以，， 由勾股定理可得，， 由等面积法得，即， 解得，其中（舍），所以，， ， 因为，所以， 所以， 故选：C. 2. △ABC中，，，，则BC边上的高为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　在△ABC中，设，，， 则，， 且， ， ， ， ， ， ， 设BC边上的高为，在△ABC中利用等面积法， 则， ， . 故答案为：C. 3. (2026高二上·杭州月考) 已知△ABC面积为1，边AC上的中线为BD，边AB上的中线为CE，且，则边AC的最小值为（ ） A.  B.  C.  D.  答案　B 解析　设，易知为△ABC的重心， 因为，结合重心性质，可得：， 又因为， 设，， 所以， 则， 所以， 由余弦定理，可得：， 令，整理得到， 又因为，其中，得到， 即，当且仅当时取得等号， 又因为，所以， 则. 故答案为：B. 4. 在中，，的角平分线交边于点，的面积是的面积的倍，则（ ） A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　因为，的角平分线交边于点， 则， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 则. 故答案为：C. 二、填空题 5. 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知B = 60°,A = 45°,c - a = 3，∠B的平分线BD交边AC于点D,AB边上的高为CF,BC边上的高为AE,BD∩CF = P，AE∩CF = R,BD∩AE = Q，则∠PQR = ______ ；PQ = ______ . 答案　60° , 解析 在△ABC中，可知∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 75°， 因为∠B = 60°且BD为∠B的平分线，可知∠ABD = ∠CBD = 30°， 则∠ADB = ∠ACB + ∠CBD = 105°， 在Rt△ACE中，可得∠CAE = 180° - ∠ACB - ∠AEC = 15°， 在△ADQ中，可得∠AQD = 180° - ∠ADB - ∠CAE = 60°， 所以∠PQR = ∠AQD = 60°， 因为sin105° = sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = ， sin15° = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30° = ， 在△ABC中，由正弦定理 = ，可得c =  = a， 则c - a = a = 3，解得a = 3 + 3， 由正弦定理 = ，可得b =  = a且BD为∠B的平分线， 则 =  = ，可得AD = a， 在△ADQ中，由正弦定理 = ，可得QD =  = ， 在△BCD中，可知∠BDC = ∠BCD = 75°，则BD = BC = 3 + 3， 在Rt△BCF中，可知BF = BC = ， 在Rt△PBF中，可知BP =  = 3 + ， 所以PQ = BD - BP - QD = ． 故答案为：60°；． 6. (2025高一下·龙马潭期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为，则 ________. 答案　3 解析 由，可得， 若，则，与矛盾， 则，即，因为，所以， ，解得， 由余弦定理可得，代入，， 可得，化简可得， 即，解得. 故答案为：3. 三、解答题 7.(2026·乐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2. (1)求B; (2)若a＝2，c＝＋1，∠ABC的角平分线交AC于D，求BD. 解　(1)由cos B＋sin B＝2， 得cos B＋sin B＝1， 所以cos＝1， 因为0<B<π，所以－<B－<， 所以B－＝0，即B＝. (2)法一(等面积法) 因为a＝2，c＝＋1，由(1)知B＝， 所以S△ABC＝×2×(1＋)×sin 60°＝， S△ABD＝×BD×(1＋)×sin 30° ＝BD， S△BCD＝×2×BD×sin 30°＝BD， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 即BD＋BD， 解得BD＝2. 法二　在△ABC中，因为a＝2，c＝＋1， 由(1)知B＝， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，解得b＝， 由余弦定理， 所以sin A＝，即A＝45°或A＝135°(舍)， 所以C＝75°. 又∠BDC＝30°＋45°＝75°， 所以△BDC是等腰三角形，所以BD＝BC＝2. 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c. (1)求A; (2)若c＝，a＝，D为BC的中点，求AD. 解　(1)在△ABC中，由题意及正弦定理得， sin A(sin B＋cos B)＝sin C， 由A＋B＋C＝π，得sin C＝sin(A＋B)， 所以sin Asin B＋sin Acos B ＝sin Acos B＋sin Bcos A， 化简得sin Asin B＝sin Bcos A， 因为sin B≠0，所以tan A＝1， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)在△ABC中，由余弦定理得， 5＝b2＋2－2b××， 所以b2－2b－3＝0， 又b>0，所以b＝3， 因为D为BC的中点， 所以()， 两边平方得||2＝(c2＋b2＋2bccos∠BAC)＝，所以||＝， 即中线AD的长度为. 9.(2026·聊城模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B＋btan Bcos A＝2bsin C. (1)求B; (2)若a＝3，且AC边上的高为，求△ABC的周长. 解　(1)因为asin B＋btan Bcos A＝2bsin C. 由正弦定理，可得sin Asin B＋sin B·cos A＝2sin Bsin C， 又因为B∈(0，π)，可得sin B>0， 所以sin A＋cos A＝2sin C， 即＝2sin C， 因为C∈(0，π)，可得sin C>0， 所以cos B＝， 又因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由AC边上的高为， 可得S△ABC＝b·， 又由a＝3且B＝，可得△ABC的面积为S△ABC＝acsin B＝c×c， 所以c＝b·， 解得4b2＝7c2，即c＝， 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 可得b2＝9＋－3×， 整理得b2＋2b－21＝0， 解得b＝或b＝－3(舍去)，此时c＝2， 所以△ABC的周长为3＋＋2＝5＋. 10.(2026·郑州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(cos A＋sin A)＝a＋c. (1)求B. (2)若a＝2，c＝5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M. ①求BE; ②求cos∠EMF. 解　(1)由题意及正弦定理得sin B·(cos A＋sin A)＝sin A＋sin C， ∴sin Bcos A＋sin Bsin A ＝sin A＋sin(A＋B)， ∴sin Bsin A＝sin A＋sin Acos B， ∵sin A≠0，∴sin B＝1＋cos B， ∴sin. ∵－<B－<，∴B－，即B＝. (2)①∵()， ∴||＝ ＝. ②在△BCF中，由余弦定理得CF2＝BC2＋BF2－2BC·BFcos∠FBC＝， 则CF＝. 法一　由题知M是△ABC的重心， ∴CM＝CF＝，BM＝BE＝， 在△BMC中，由余弦定理的推论得cos∠BMC＝， 即cos∠EMF＝. 法二　∵， ∴··||2－·||2＝3. ∴cos∠EMF＝cos<>＝. 学科网（北京）股份有限公司 $