第十九讲 直线与圆的位置关系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判定、弦长计算、切线方程及最值问题等核心知识点。通过衔接直线与圆的方程，从几何特征（交点个数、d与r关系）和代数方法（联立方程判别式）构建知识支架，引导学生逐步深入。 资料特色在于系统梳理必掌握知识点，汇总12个易错点及九类必考题型，结合几何直观与代数推理。帮助学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维分析问题，提升推理意识与应用能力，适合课堂教学与学生自主学习。

第十九讲 直线与圆的位置关系 【学习目标】1.能根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能根据图形的几何特点，利用直线、圆的方程解决与圆相关的度量问题； 3.能根据已知条件求圆的切线． 【学习重点】运用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系. 【学习难点】运用直线和圆的方程解决数学问题和实际问题. 必掌握知识点 一．直线与圆的位置关系及判定方法 1.直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 2.直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 二．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 1，几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. 2.代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 三．解与圆有关的最值问题 1.利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. 2.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 四.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 五.易错点汇总 易错点 1：求切线漏斜率不存在的情况 错因：设，只讨论斜率存在，漏掉垂直 x 轴的竖直切线。 易错点 2：垂径定理弦长公式丢掉系数 2 错因：；正确：，根号里面是半弦长！ 易错点 3：过圆内定点弦长整数计数 错因：最短弦、最长弦也当成两条；最长弦（直径）、最短弦只有 1 条，其余每个弦长对应两条，计数容易算错。 易错点 4：切线长、切点弦概念混淆 1.切线长：，不是； 2.切点弦不是切线！是两个切点连成的弦，很多同学当成切线。 易错点 5：定点问题区分：直线过定点 vs 切点弦过定点 动直线过定点：整理参数等于 0；切点弦过定点，要代入 P 点满足的直线，再分离参数，不能直接代 P 坐标。 易错点 6：圆上点到直线距离最值 如果直线和圆相交，最小距离是 0，不是；先判断位置再算。 易错点 7：“存在点 P，两条切线互相垂直” 转化条件 条件：，不是，几何模型直角四边形。 易错点 8：代数法联立方程，忘记判别式 大题联立直线与圆，用韦达定理，必须写，否则参数会取到让直线和圆无交点的解。 易错点 9：恒过定点的直线，直接默认一定相交 定点在圆外时，直线可以相切、相离；只有定点在圆内部，直线才一定相交。 易错点 10：圆心角为锐角、钝角判断 是锐角，但是要排除重合（相切），要额外限制。 易错点 11：切线直线系，误认为所有直线都过同一个定点 圆的全部切线组成的直线系，不过同一个定点；圆内部的点不在任意一条切线上 易错点 12：大题审题陷阱 1.“以 AB 为直径圆过原点” 等价，不要写成（斜率不存在会漏掉）； 2.求轨迹方程，要剔除取不到的点。 必考题型全归纳： 题型一、直线与圆位置关系判定 1．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 2（多选）．已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B ．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 3．已知直线与圆：（为参数），试判断它们的公共点个数. 题型二、弦长、弦的最值（垂径定理核心） 4．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 题型三、圆的切线问题 7．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型四、定点弦、切点弦动直线过定点 11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 13．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 题型五、圆上点到定直线距离的最值 14．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 15．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 题型六、与圆有关的几何最值（斜率、截距、距离平方） 16．已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 题型七、向量、三角形综合（相交弦，角度，面积） 17．已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 18．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 19．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 题型八、直线系、圆的全部切线集合 20．设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 21．设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______． 22．已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 题型九、综合大题（轨迹、相关点法，存在性） 23．已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线C 的方程； (2)若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 24．已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 巩固提升： 1．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 3．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 5．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知直线与圆交于两点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 8（多选）．下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 9（多选）．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 10（多选）．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 11（多选）．已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 12（多选）．已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 13（多选）．已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 14（多选）．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 15（多选）．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 16．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 17．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 18．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 19．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 20．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 21．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 22．已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 23．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 24．已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 25．单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 26．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 27．经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 28．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 29．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 30．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九讲 直线与圆的位置关系 【学习目标】1.能根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2.能根据图形的几何特点，利用直线、圆的方程解决与圆相关的度量问题； 3.能根据已知条件求圆的切线． 【学习重点】运用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系. 【学习难点】运用直线和圆的方程解决数学问题和实际问题. 必掌握知识点 一．直线与圆的位置关系及判定方法 1.直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组 解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 2.直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 二．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： 1，几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. 2.代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 三．解与圆有关的最值问题 1.利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. 2.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 四.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 五.易错点汇总 易错点 1：求切线漏斜率不存在的情况 错因：设，只讨论斜率存在，漏掉垂直 x 轴的竖直切线。 易错点 2：垂径定理弦长公式丢掉系数 2 错因：；正确：，根号里面是半弦长！ 易错点 3：过圆内定点弦长整数计数 错因：最短弦、最长弦也当成两条；最长弦（直径）、最短弦只有 1 条，其余每个弦长对应两条，计数容易算错。 易错点 4：切线长、切点弦概念混淆 1.切线长：，不是； 2.切点弦不是切线！是两个切点连成的弦，很多同学当成切线。 易错点 5：定点问题区分：直线过定点 vs 切点弦过定点 动直线过定点：整理参数等于 0；切点弦过定点，要代入 P 点满足的直线，再分离参数，不能直接代 P 坐标。 易错点 6：圆上点到直线距离最值 如果直线和圆相交，最小距离是 0，不是；先判断位置再算。 易错点 7：“存在点 P，两条切线互相垂直” 转化条件 条件：，不是，几何模型直角四边形。 易错点 8：代数法联立方程，忘记判别式 大题联立直线与圆，用韦达定理，必须写，否则参数会取到让直线和圆无交点的解。 易错点 9：恒过定点的直线，直接默认一定相交 定点在圆外时，直线可以相切、相离；只有定点在圆内部，直线才一定相交。 易错点 10：圆心角为锐角、钝角判断 是锐角，但是要排除重合（相切），要额外限制。 易错点 11：切线直线系，误认为所有直线都过同一个定点 圆的全部切线组成的直线系，不过同一个定点；圆内部的点不在任意一条切线上 易错点 12：大题审题陷阱 1.“以 AB 为直径圆过原点” 等价，不要写成（斜率不存在会漏掉）； 2.求轨迹方程，要剔除取不到的点。 必考题型全归纳： 题型一、直线与圆位置关系判定 设圆的圆心，半径，圆心到直线距离为。 1.判定依据（几何法，优先用） ：相离，无交点； ：相切，1 个公共点； ：相交，2 个公共点。，点到直线距离公式 2.代数法（联立方程） 联立直线与圆方程，消元得到一元二次方程，判别式： 相交；相切；相离。缺点：计算量大，适合题目明确要求联立、韦达定理题型 3.直线恒过定点判断位置 直线含参数，整理为参数式子式子，解方程组求出定点； 定点在圆内：直线一定和圆相交； 定点在圆上：直线相切或相交； 定点在圆外：三种位置都有可能。 1．已知圆，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由辅助角公式可知，，其中，所以，即，由于圆的半径，所以圆心到直线的距离，当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确. 2（多选）．已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 3．已知直线与圆：（为参数），试判断它们的公共点个数. 【答案】2 【分析】将圆的参数方程化为普通方程以确定圆心和半径，然后计算圆心到已知直线的距离，最后通过比较该距离与半径的大小关系来判定直线与圆的公共点个数. 【详解】由，，平方后相加得，即，其圆心为，半径为2，由于圆心到直线的距离，故直线与圆的公共点个数为2. 题型二、弦长、弦的最值（垂径定理核心） 垂径定理：圆心与弦中点连线垂直这条弦 1.弦长公式：，是圆心到直线距离。 2.过圆内定点的弦： 最长弦：直径，过圆心； 最短弦：过且垂直于（圆心）； 3.弦长为整数：利用对称性，除最长、最短弦各 1 条，其余每个长度对应两条弦。 4.（圆心，弦）面积：；（圆心角）；当面积最大。 4．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：；设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 5．已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则，当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为，所以的最小值为. 6．直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 题型三、圆的切线问题 1.点在圆上（求切线） 已知在圆上； 几何：半径切线，算出，切线斜率，点斜式写方程。 重要结论：圆上处切线：。 2.点在圆外（求切线） 过圆外一点，可以作两条切线；一定要分：斜率存在、斜率不存在两种情况，容易漏斜率不存在的切线。 条件：圆心到直线距离，解参数。 3.切线长公式 是圆外一点，圆心，半径；切线长。切线长最小等价于最小；当点所在定直线时，取最小值 4.切点弦（极线）方程 圆外一点，两条切线切点，直线叫切点弦； 圆，，切点弦：。 做题技巧：两圆方程相减得到公共弦 、切点弦。 5.切线夹角：设两条切线夹角，。 7．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 8．过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以，而切线与垂直，则切线斜率为，可得所求切线方程为，即. 9．已知点是圆上一点，则过点且与圆相切的直线的方程为（ ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆上，代入可得m值，根据圆的几何性质可得过点P的直线l与直线CP垂直，根据斜率的关系，求出直线l的斜率，即可得答案. 【详解】因为点在圆上， 所以，解得，即圆C的方程为， 则圆心，所以直线CP的斜率， 则过点P与圆相切的直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 10．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 题型四、定点弦、切点弦动直线过定点 1.动直线过定点：把方程整理成 ，令解出定点。 2.圆外动点在一条定直线上运动，则它对应的切点弦恒过定点。 解题：写出切点弦方程，代入满足的直线，分离参数求定点。 11．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出以线段为直径的圆的方程，再与圆方程作差得到直线的方程为，再结合点所在直线方程得到直线所过定点，从而得到最小值. 【详解】设，则以线段为直径的圆的方程是， 与圆的方程相减，得，即直线的方程为， 又点在直线上，所以，则，代入直线的方程， 得，则，解得，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为．故选：B.    12．已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得，当时，即，无论如何变化，恒等于0，所以直线过定点.    13．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 题型五、圆上点到定直线距离的最值 圆心到直线距离，圆半径 圆上点到直线最大距离： 圆上点到直线最小距离： 注意：如果直线与圆相交，最小距离是。 14．已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 15．圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 题型六、与圆有关的几何最值（斜率、截距、距离平方） 已知在圆上： 1.：圆上点和定点连线斜率，直线与圆相切取到最大、最小值。 2.：直线纵截距，平移直线，相切得最值。 3.：圆上点到定点距离，最大值，最小值。 16．已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得．或．的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是，最小值是． 题型七、向量、三角形综合（相交弦，角度，面积） 1.（是直线与圆交点），联立直线圆，韦达定理，坐标展开计算。 2.（圆心）： 等价于弦长； 锐角：；钝角：。 3.存在点使得两条切线互相垂直：，转化条件：直线上存在点满足到圆心距离等于。 17．已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，，则 ， 所以，解得.故选：B 18．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以，所以， 所以四边形面积的最大值. 19．已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 题型八、直线系、圆的全部切线集合 直线系：一个方程含有参数，代表一族直线； 若原点到直线距离恒等于定值，则该直线系就是圆的全部切线。 性质：圆内部所有点，都不在这族的任意一条直线上；可以做圆的外切正多边形。 20．设直线系，对于下列四个命题，正确的是（   ） A．M中所有直线均经过一个定点 B．不存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【答案】C 【分析】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，据此可判断选项正误；对于BC，由题设可得直线系表示圆：的全体切线，据此可得答案；对于D，由BC分析结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A，假设所有直线过定点，则定点为任意两直线交点，令，又令，故此时两直线的交点为，将其代入方程得：，而此式不是恒成立的，故所求的定点不存在，故A错误； 对于BC，注意到到直线：距离为，则该直线系表示圆的全体切线，则圆内部所有点均未在M中的任一条直线上，故B错误； 又对于任意整数，该圆存在外切正边形，满足其所有边均在M中的直线上，故C正确； 对于D，如下图，与均可构成正三角形，但显然正三角形面积不等，故D错误.    21．设直线系，其中．若正方形的四条边都在中的直线上，则该正方形的面积是______． 【答案】4 【分析】由点到直线距离公式可得，原点到该直线系中任意一条直线的距离恒为1，因此这组直线是单位圆的全部切线. 正方形的四条边均为该圆的切线，说明单位圆是正方形的内切圆，由此便可求出正方形的边长和面积. 【详解】由直线方程，可知点在直线上，因此直线与圆有公共点； 又原点到直线的距离为，可知直线系中的每一条直线与圆相切；故直线系为单位圆的所有切线组成； 所以当正方形的四条边都在直线系内时，可知单位圆为正方形的内切圆，所以正方形边长为2，其面积为4． 【点睛】识别直线系为圆的切线是突破口，利用内切圆半径快速得到正方形边长. 22．已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】该直线方程为以圆心，以1为半径的圆的切线方程，由此判断各结论是否正确. 【详解】点到动直线的距离为, 所以动直线为以为圆心，以1为半径的圆的所有切线. ①，因为动直线表示以为圆心，以1为半径的圆的所有切线， 这些切线与圆相切，不过定点，故①错 ②，当，即斜率存在时，直线化成一般形式得， 所以斜率，存在不同的实数，，使得，相应的直线，平行，如，，直线平行，故②正确 ③，动直线表示圆的所有切线，圆内部的点都不在任何一条切线上，至少两个显然满足，故③正确 ④，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是除，的所有直线，故④错误 ⑤，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是坐标平面上的所有直线，故⑤错误. 题型九、综合大题（轨迹、相关点法，存在性） 1.相关点法（中点轨迹）：设动点，反解原圆上点的坐标，代入原圆方程，注意范围。 2.存在性：假设存在，列条件，判别式，检验解。 3.以弦为直径的圆过原点：等价，即，韦达定理转化。 23．已知线段的端点 B 的坐标是，端点 A 在圆 上运动，C是线段的中点，记C点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线C 的方程； (2)若直线l过点，且被曲线C截得的弦长为4 ，求直线l的方程； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线C相交于 M，N两点，O为坐标原点，直线分别与直线相交于 P，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）设，又C是线段的中点，，即， 又点 A 在圆 上，，即， 故曲线C 的方程为. （2）因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为， 若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为，直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或. （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在的直线不重合，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或，则点的坐标为， 由题可知：，故， 又因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 24．已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程； （2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程. 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 巩固提升： 1．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 2．已知圆与直线相交于两点，若为等边三角形，则k的值为（　　） A． B．±2 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 由为等边三角形，得点到直线距离为， 因此，解得，所以的值为. 3．若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数得到取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为；当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示，易得直线 经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为．故选：D． 4．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．故的最小值为． 5．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式化简得，解得或. 6．已知直线与圆交于两点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知为等腰三角形，当底边最小时最小.又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短，进而由余弦定理求出即可. 【详解】由题意作图如下： 可知为等腰三角形，为顶角，当底边最小时最小. 又直线恒过定点，则当弦垂直于该定点与圆心的连线时，弦长最短， 此时平行于轴，即圆心到距离为2，， 在中，由余弦定理，， 又，所以.故选：A 7．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ） A．16条 B．17条 C．32条 D．34条 【答案】C 【分析】点在圆内，可求得最短弦长和最长弦长，即弦长的取值范围，再利用圆的对称性即可. 【详解】由可得， 点在圆内，且点A与圆心间的距离， 则过点A的最短弦长为，最长弦长为， 由此可得过点A的弦长的范围为，在间的整数共有15个，由 圆的对称性可知过点A弦长在间的弦长为整数的直线共有条， 则弦长在间且为整数的直线共有条． 8（多选）．下列结论正确的是（　　） A．若直线l：与圆O：相交，则点在圆O的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆O：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【分析】对于A，利用点到圆心的距离大于该圆的半径即可求解，对于 B，通过求出直线恒过的圆内定点，确定过该定点的最短弦长为，对于C，将距离条件转化为圆必须与两条特定的平行直线均产生交点，从而推导出圆的半径必须大于圆心到较远平行线的距离，对于D，由点在圆上即可确定切线的斜率，进而使用点斜式方程即可求解. 【详解】对于A，圆O的圆心为，半径， 其圆心到直线的距离为， 即到圆心的距离，所以点在圆O的外部，A正确， 对于B，整理直线得，令，解得，则直线过定点， 已知圆心为，半径，则， 所以定点在圆内， 经过圆内一点的最长弦即为该圆的直径，长度为， 最短弦长为与垂直的弦，其长度为，故B错误， 对于C，圆上的点到直线的距离为1，则有， 即这些点位于两条平行线上，即， 整理得或， 这两条直线到原点的距离分别为和， 要使圆上有4个不同的点满足条件，则两条直线都应与圆交于两点， 则有，故C错误， 对于D，由题意得在圆上，且，所以过的切线的斜率， 所以切线方程为，整理得，故D正确. 9（多选）．已知圆，圆，圆.、的圆心分别记为、， 直线与圆、、均有两个交点，则（    ） A．圆的半径为 B． C． D．直线可以是 【答案】ABC 【详解】圆的圆心为，半径为，故A正确； 圆的圆心为，半径为，故B正确； 圆的圆心为，半径为， 则，故C正确；因圆的圆心到直线的距离，则直线与圆相离，没有公共点，所以直线不可以是，故D错误. 10（多选）．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，下列选项中，圆的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，根据题意求出圆的面积的最小值，再逐一判断即可. 【详解】设，则,且半径， 所以圆必过坐标原点，又因为圆与直线相切，所以, 又因为坐标原点到直线的距离，所以的最小值为， 所以圆的面积的最小值为，对于A，因为，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，满足题意；对于D，，满足题意. 11（多选）．已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且，当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 12（多选）．已知圆与y轴正半轴的交点为A，过点A且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为B，若的中点P恰好落在x轴上，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，点，，直线方程为，直线交轴于点， 由点为线段的中点，得，由点在圆上， 得，而，解得，因此， 对于A，直线的斜率为，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 13（多选）．已知，，成等差数列，点在直线外，作，垂足为点.为坐标原点，则（   ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】对于A，由，，直线过；对于B，设，则；对于C，知点的轨迹为以为直径的圆，所以的最大值为：到圆心的距离加半径；对于D,设，求出其轨迹方程，.，令，即,当直线与圆相切时取最值，即可求解. 【详解】由题意得，，成等差数列，所以， 所以直线过，故A正确； 设，的最大值为，故B错误； 由题意得点的轨迹为以为直径的圆， 该圆的圆心为，半径为，如图，作出符合题意的图形，    所以的最大值为，故C正确； 设，因为的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 展开得，， 得到. 令，即，当直线与圆相切时取最值， 得到，解得或，所以的最大值为4，故D正确. 14（多选）．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 15（多选）．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 16．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 【答案】BD 【分析】A.先求出点到圆心的距离，则点到圆上点最大距离是；B.把点代入圆的方程，，所以点在圆内部；C. 先由弦长公式求出圆心到直线的距离，接着分斜率存在和斜率不存在设出对应的方程，求解方程 ； D.由为中点的弦得到弦所在的直线与直线垂直，从而得到斜率，由点斜式求出直线方程. 【详解】已知点，圆 ，则圆心 ，半径 ， 选项 A，， 则点到圆上点最大距离是，故 A 错误； 选项 B，因为，所以点在圆内部，故B 正确； 选项 C，弦长 ，由弦长公式， ，即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是， 即，圆心到直线距离， ， ， 所以直线的方程是即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是 ，圆心到它的距离 ，也满足条件， 所以的方程为： 或 ，故 C 错误； 选项 D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率 ，又过，所以该直线方程为， 即，故D 正确. 17．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 【答案】2 【分析】利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 18．已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 19．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 20．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时. 21．记为坐标原点，若直线与圆交于A，B两点，且，则__________. 【答案】/1.5 【分析】求出圆与轴的交点，利用三角形相似可得，即可得解. 【详解】令，代入圆的方程中，可得， 即圆与轴的两个交点为， 直线过原点且与圆交于两点， 由，可知和相似， 可得，即， 从而， 故答案为： 22．已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，为的中点，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】由圆与直线相交可求解，，再由中点坐标公式求解，令，求解，再由两点间的距离公式求解即可. 【详解】直线与圆联立，，，解得，所以，， 则中点横坐标为，纵坐标为，所以，当时， ，所以， 所以.故答案为：. 23．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式，即可计算结果． 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 24．已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，，将问题转化为求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值，利用直线与圆的位置关系及点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 25．单位圆 与 轴交于 过圆上一点(异于， )作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形的对角线交点的轨迹方程为_________. 【答案】（，） 【分析】先设圆上动点 的参数方程，写出过 的切线方程，再与两条固定切线（）联立求出 的坐标，接着联立梯形对角线 与 的方程求得交点，得到交点坐标关于参数的表达式，最后消去参数，得到轨迹方程，注意排除与 重合情形. 【详解】设单位圆上点 坐标为，，， 当时，直线的斜率为，为坐标原点， 故过点的切线斜率为， 所以过点的切线方程为， 当时，， 若，切线方程为，满足关系， 若，切线方程为，满足关系， 则 点切线方程为， 与两条竖直切线 、 的交点分别为 、, 所以直线方程为：， 直线方程为：， 设交点的坐标为， 联立两直线方程可解得， 因为不与重合，所以，所以， 所以，， 所以， 即交点的轨迹方程为（，）. 26．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 27．经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，由直线与切线垂直得出切线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 28．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 29．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 30．过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即，故答案为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $