湖南省长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 命题人：张向阳审题人：刘晖、陈朝阳、彭熹 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6 页.时量120分钟，满分150分 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.全集U={1,2,3,4,5,6},集合A=(2,3),B={xx2-6x十8=0)， 则集合(CuA)∩B= A.{4,6 B.{4} C.{2) D.{2,4} 2.设2（之十）十3（之一z)=4+6,则之= 如 A1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i 3.已知a,b是不共线的向量，且AB=a十2b,BC=一5a+6b,CD= 7a一2b,则 A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,D三点共线 D.A,C,D三点共线 4.若函数y= (3a-1)x十2a,x<1, 在R上单调递减，则实数a的 logax,x>1 取值范围是 常 A[房》 B(0,] c.o,) D[哈 5.已知的分布列如下表.若)=2十2，则D(7)的值为 0 2 P 2 6 A.3 B.5 0 C. D20 6已知双前线兰 22 B =1的一条渐近线方程为y= 2x,则其离心 率为 马 B.2W5 C.5 D.2 7.函数f(x)=x2一3lnx图象上的点到直线x十y+4=0的距离的 最小值为 A.√2 B.3√2 C.2√2 D.4√2 数学试题(27H) 第1页（共6页） 8.已知数列{an}满足a1=2,a2=5,且am+2=|a+1-an|,n∈N,记 Sn为{am}的前n项和，则S5o= A.41 B.42 C.43 D.44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C 交于A(21,y),B(x2y2)两点，O为坐标原点，则 A.抛物线C的准线方程为y=一2 B.若|AF=8,则x1=6 C.|AF1·|BF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)一f(一x)=0,f(x+2) 一f(x)=0,且当x∈[0,1]时，f(x)=一2(x一1)2.若函数y= f(x)一loga(x+1)在(0，十∞)上至少有三个不同的零点，则下 列结论正确的是 A.函数(x)的图象关于直线x=3对称 B.当x∈[4,5]时，f(x)=-2(x-5)2 C.当x∈[4,5]时，f(x)单调递减 D实数a的取值范围是(o,得) 11.“尾概率”指的是随机变量取值落在其分布“两端”极端区域的概 率，在工业生产中，尾概率常用于衡量极端情况发生的可能性， 排查异常或故障情况.现对n(n≥2)件产品逐件检测，假设每件 产品检测合格的概率均为p(0<<1),且各件产品检测结果互 不影响，记件产品中检测合格的件数为X,其相应的“尾概率” 定义为(t)=P(|X-np|≥t),t∈[0，max{n中，n(1-p)}],则 下列结论正确的有 A(0)=1 B.若0≤<t2≤max{np,n(1一p)},则p(t)≥(2） C.若≤max{np,n(1-p),则p(t)≤p+(1-p)” D若n=2,b=2,则p)<1-号 选择题答题卡 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 得分 答案 数学试题(27H)第2页（共6页） TI 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12在红-) 的展开式中，常数项为 13.已知不共线的向量a,b满足1al=a-bl,则向量a÷号b与向 量b的夹角为 14.已知函数fx)=2十的最大值为2，则实数a的值为 e2x +a 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sm,as=Sg=9. (l)求数列{an}的通项an以及Sn; (2)数列{b,》满足。二2，其前n项和为Tm,求满足T,≤ anantl 二的π的最大值 16.(本小题满分15分) 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,点P为 BC的中点 (1)证明：A1B∥平面APC; (2)求点A1到平面APC1的距离. 数学试题(27H)第3页（共6页） 17.（本小题满分15分) 肺结节良恶性辅助诊断AI系统DeepFAN可通过影像识别辅 助医生判断结节是否为恶性.某医院回顾性抽取500枚经病理 确诊的肺结节进行系统判读测试，其中实际为恶性200枚、实际 为良性300枚；其中系统正确识别恶性180枚、正确识别良性 282枚，其余识别错误 (1)从500枚结节中随机抽取1枚，已知该结节被系统判读为 “恶性”，求它实际为恶性的概率； (2)为评估系统上线后医生在AI辅助下诊断准确率的提升趋 势，统计了上线后前6个月医生的平均诊断准确率(%)与月 份x的数据： x 1 3 5 6 y(%) 90 91 93 93 95 96 求y关于x的经验回归方程y=x十a,并据此预测第8个 月的平均诊断准确率来判断是否全院推广DeepFAN系统； (若预测值超过97%，则建议全院推广) (3)研究团队进一步让12名低年资医生在“无AI辅助”与“有 A虹辅助”两种情形下，各自独立判读200枚结节，得到判断 正确情况如下： 判断正确 判断错误 合计 无AI辅助 150 50 200 有AI辅助 180 20 200 合计 330 70 400 计算x2统计量，并判断：能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关？ (参考数据：①含=21，含=558，含=91，含x: 1974,6=2y:-nx型 ,a=.-bx; n(ad-bc)2 ②X=(a+b)(c+d0(a+c)(6+d0,mo1=6.635) 数学试题(27H)第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E若+苦-1(Q>6>0)的离心率为9，E上的点到两 焦点的距离之和为4√3. (1)求椭圆的方程； (2)设点M(x0,yo)(xo≠0)在椭圆E上. (i)证明：直线xoxt4oy一12=0为椭圆在点M(xo,yo)处 的切线； (iⅱ)设O为坐标原点，直线xox+4yoy一12=0与直线y=2, y=一2分别交于点A,B.设△OAM与△OBM的面积分别 为S,S,比较2与8哈的大小，并写出必要说明过程 数学试题(27H)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xe“,g(x)=xe-x+4x2,其中e为自然对数的 底数，a∈R (1)求函数f(x)的单调区间； (2)(1)若不等式f(x)>g(x)在区间(0，十∞)上恒成立，求实 数a的取值范围； (i)设n∈N",证明：lnn+1)(n+2)(n+3)<3 6 白√2+3 数学试题(27H)第6页（共6页）高三数学一参考答案 一、二、选择题 题号 1 3 6 8 10 11 答案 B C A D C B BD ABD ABD 1.B【解析】全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3},所以CuA={1,4,5,6},又B={xx2-6x+8=0}={2,4},所以 集合(CA)∩B={4}.故选：B. 2.C【解析】设x=a十bi,则之=a一bi,则2（之十之）+3(x一之)=4a十6bi=4十6i,所以 4a=4解得a=b=1,因此， 6b=6, z=1十i故选：C 3.C【解析】假设存在实数入，使得AB=入BC,则A,B,C三点共线， 1=-5λ， a十2b=(-5a十6b),而a,b不共线，故{ 2=6, 无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数入，使得BC-1CD,则B,C,D三点共线， 0bAa2同现释后5一2弘无解，所以报登不成主款B排民】 BD=BC+CD=2a十+4b,假设存在实数入，使得AB=λBD,则A,B,D三，点共线， a十2b=1(2a十4b),同理得 一2以解得X=宁，所以假设成立，故C正确： 2=4, AC-AB+B心=一4a十8b,假设存在实数入，使得AC=入Ci,则A,C,D三点共线， -4a+8b=λ(7a-2b),同理得{ 4=71无解，所以假设不成立，故D错误。 8=-2, 故选：C (3a-1)x+2a,x<1, 4.A【解析】.函数y= 在R上单调递减， logx,x≥1 3a-1<0, ∴.0<a<1, 解得号<a< 1 3a-1+2a≥loga1, 故选：A 5.D【解析】由的分布列可得：B()=0X号+1X号+2X名-号， 所以D)=(0-号)×合+(1-号)°×3+(2-号)x日=8， 所以D=D2+2)-4D)-9 故选：D. 6.C【解折吧知风肉线号-若-1的一条商近线方程为)广壹x =2x,焦点位于y轴上，则其渐近线方程为by士ax=0.故 b=2a,又c2=a+6=5d,所以e=S=5@-5. aa 故选：C 7,B【解析】由题毫，f)=2x一，◆f)=一1，得x=1(负值已会去). 因为f(1)=1,所以曲线y=f(x)在，点(1,1)处的切线与直线x十y十4=0平行. 因为，点(1,1)到直线x十y十4=0的距离为后=3V2,所以所求最小值为3/2. √2 故选：B. 数学参考答案(27H)一1 8.C【解析】由an+2=lan+1-an得a3=3,a4=2,a5=1,a6=1,a=0,ag=1,ag=1,…, 因为a1o=0=a,a1=1=ag,a12=1=ag,且递推式a+2=|a+1一an|中每一项仅由前两项决定，由数学归纳法知数列 从第7项起以3为周期，每个周期的和为2，前6项之和为S6=2十5+3十2+1+1=14. 第7项至第50项共有50一7+1=44项，而44=3×14十2，即14个完整周期，另余2项a49,a50.由周期性可知49= 7+3×14,故a49=a,=0;50=7+3×14+1,故a5=a8=1.于是S0=S6+14×(0+1+1)+(a49十as0)=14+28+1 =43. 故选：C 9.BD【解析】由抛物线方程y=8x知其图象的开口向右，故焦，点F(2,O),准线方程为x=一2，A错误； 当直线1的斜率不存在时，A(2,4),B(2,-4),|AF·BF=16,其中|AF1=4,OA·OB=4-16=-12<0, 当直线1的斜率存在时，设其方程为y=b(x一2)， 与抛物线方程联立，得-4（皮+2）x十4k2=0,故五十=4(1+是），西西=4， 由抛物线定义知，|AF|=x1+2,|BF=x2十2，若|AF|=8,则x=6,B正确； |AF·|BF-石+2(x十)+4=8+8(1+是)>16，所以AF·BF到的最小值为16，C错误； 由OA·Oi=x十M2=4十2(G-2)(x2-2)=4十[x12-2(十x2)+4]=-12<0,所以∠AOB为钝角， D正确. 故选：BD. 10.ABD【解析】根据f(x)一f(一x)=0知f(x)是偶函数， 由f(x十2)一f(x)=0知f(x)是周期为2的周期函数， 当x∈[0,1]时，f(x)=一2(x-1)2,综上，函数f(x)的图象如图所示， -fx 对于A:由图可知f(x)图象关于x=3对称，所以A正确； 对于B:当x∈[4,5]时，x-4∈[0,1]，则f(x)=f(x一4)=一2(x-5)2,所以B正确； y=log.(x+1) 对于C:当x∈[4,5]时，由周期为2可知f(x)单调性与x∈[0,1]时f(x)的单调性相同， 易知当x∈[4,5]时，f(x)单调递增，所以C错误； 对于D:设g(x)=log(x十1)，则函数y=f(x)-log(x十1)在(0，十∞)上至少有三个不同的零点， 等价于函数f(x)与g(x)的图象在(0，十o∞)上至少有三个不同的交点， 结合图象可知，则有&C2)>f2且0Ca<1,即1g(2+1D>-2,解得0<a<号，所以D正商 故选：ABD. 11.ABD【分析】X~B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(1一)，尾概率(t)=P(X-np≥t),再逐一分析各选项. 【解析】选项A,|X-np≥0恒成立，则(0)=P(IX-npl≥0)=1，故A正确； 选项B,0≤t<t2≤max{n中，n(1-)),则事件“|X-np≥t2”包含于事件“|X-np|≥t”,所以有(t)≥(t), 故B正确； 选项C,若≤max{np,n(1一p)},则： np-t≥0，故事件X=0包含于X≤np-t,因此P(X≤np-t)≥P(X=0)=(1一)”， np十≤n,故事件X=n包含于X≥np+t,因此P(X≥np十t)≥P(X=n)=p", 相加得：p(t)=P(X≤np-t)十P(X≥np十t)≥p”+(1一p)”,故C错误； 选项D,若n=2,p=7,则X~B(2,号），np=1,[0,1],p(0)=P(X-p≥0， 当1=0时，0)=P1X-1≥0)=1,1-号-1，p00≤1-号￥号成主. 当1=1时，p1)=P1X-1≥D=PX=0)+P(X=2)=+合，1-号方p0<1-号等号成立 当0C1时，p0=P1X-1≥0=P(X=0)+P(X=2》=,而1-号>号，故00≤1-号恒成立，故D亚确， 故选：ABD. 数学参考答案(27H)一2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.240【解析】(x-)°展开式的通项T+1=C·x·(-是）广=(-4)C·, 令6-3r=0,解得r=2,则T3=(-4)2×C号=16×15=240. 13.乏【解析】已知a=a-bl,则la2=a-b2,展开得a2=a2-2a…b+b2, 整理得2a…b=b2,即a…b=之b2, 故(a-2b)·b=ab-2bb=a…b号1b12=0 由于a,b不共线，因此向量a-号b与向量b的夹角为受 14.2一)山2【分析】先排除a<0,得到分母为正，再将不等式去分母转换成根据新函数最小值为0的求参数问题，利用 2 导数求解. 【解析】若a≤0，令五=ln(1-a),则fx)=ln(1-a)十3>2，与“最大值为2”矛盾，所以a>0,fx)分母为正， 由题可知f(x)=2r3≤2，可得2z十3≤2e+2a, ear ta 令F(x)=2e+2a一2x-3>≥0，因为f(x)的最大值恰为2，所以等号能取到，故F(x)的最小值为0， 求导得F()=4e2-2,令F()=0得2=合，即x=-n2, 所以在x=-号n2时，Fx)取得漫小值F(-2h2）=2×号+2a+lh2-3=2a+lh2-2, 令2a十ln2-2=0,解得a=2-n2 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, (a1+4d=9, 因为a5=S=9,所以 0所以a十d=9, a1=1, 解得 (a1+d=3, ”d=2, 所以a,=1+(m-1）X2=2m-1,S.=nX1+m2DX2=心.5分 2 2 11 (2)由1知a,=2m-1,所以6.=ar1-2n-(2m+d-2m2m中' 2 …7分 12n 所以工=(}吉)+（合吉）++（点12）=130 ……10分 由工<8得22<03解得≤2026， 荡足T≤4052的n的最大值为2026， 16.【解析】(1)方法一（坐标法）： 取AB的中点O,根据正三棱柱性质可得OB,OC互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， …2分 则B1,0,0),A(-1,0,0,P(号，0，G(0w3,2),B,1,0,2),A(-10,2, i-(号o)AC=(1w5,2),a=00,2Ai=20,-2, 设平面APC的法向量为n=(x,y,2),则有 即学+停，o. 有n…AC=0,x+3y+2x=0, 令x=1,则y=-√3，z=1,即n=(1,-√3,1)， 数学参考答案(27H)一3 因为A1B·n=2×1+0×(-√3)+(-2)×1=0，又AB中平面APC, 所以A1B∥平面APC.… 5分 方法二（几何法）： 如图，连接AC交AC1于点O,连接PO, 易知，点O为A1C的中点，又，点P为BC的中，点，故PO∥A1B, 而POC平面APC1,A1Bt平面APC, 所以AB∥平面APC.… …5分 (2)因为AB∥平面APC,故，点A,到平面APC的距离即为点B到平面AP℃的距离，设为d, 因为AP⊥BC,BB⊥AP,BC∩B,B=B,BC,B1BC平面BCC1B1, 故AP⊥平面BCCB,PCC平面BCCB,故AP⊥PC,…7分 由题意知AP=√3，BP=CP=1,所以PC=√PC十CC=√5， S=专·AP·BP-号Se=·AP,PC=】 2, …11分 由V=Ve-8可得号·dSc=·C·SAer, 1 代入解得d=25 5 即点A到平面APC的距离为25 5 15分 17.【解析】(1)根据题意，列出如下表格： 实际恶性 实际良性 合计 识别为恶性 180 18 198 识别为良性 20 282 302 合计 200 300 500 记事件A=“抽中结节被系统识别为恶性”，事件B=“抽中结节实际为恶性”， 所求为条件概率P(B1A=PA2-AB)-180_10 P(A)-n(A)-198111 5分 （2由题意得x=3.5,y=93,6=1974二6X35X93-1.2, 91-6×3.5 7分 a=y-6x=93-1.2X3.5=93-4.2=88.8,… … 8分 故经验回归方程为y=1.2x十88.8， 当x=8时，y=1.2X8十88.8=98.4(%). …9分 因为98.4%>97%，所以建议全院推广DeepFAN系统.…10分 (3)零假设为H:“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”无关，… …12分 由列联表，a=150,b=50,c=180,d=20,n=400. n(ad-bc)2 _400×(150×20-50×180)2 X-(a+b)(c+d(a+o)(b+d 200×200×330×70 20680880议70-128802、15.58. …14分 因为15.58>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“是否使用AI辅助”与“判断是否正确”有关 (即AI辅助显著提高了判断正确率).… 25**:…5分 l8.【分析】(1)根据椭圆定义以及离心率可求出a,c,再根据a,b,c的关系求出b,即可得到椭圆方程； (2)(1)联立直线与椭圆方程得到方程组仅有一组解，即直线与椭圆仅有一个交，点且为，点M,即直线为椭圆在，点M 处的切线， (1)法一：联立立线方程求出点A,B坐标，即可求出8%，再根招-即可得出它们的大小关系。 法二：利用直线的斜率得到倾斜角之间的关系，从而得到∠AOM=∠BOM,再根据三角形的面积公式即可解出. 【解折10由满圆定又可知，2a=45,所以a=2,又6=后-号所以c=3,6=公-=3， 故椭圆E的方程为)十三l,…4分 数学参考答案(27H)一4 xx+4y6y-12=0, 去z得(2)+=12， 整理得，(4x6十16)y2-96y十144-12x6=0,① 又号+普-1，所以4+16听=48,14-12函=48， 故①式可化简为48y2-96%y+486=0,即48(y-%)2=0,所以y=%, 故方程组仅有一组解，即直线与椭圆仅有一个交点.… …7分 又点M)在直线西x十0y一12=0和描圆后十苦-1上， 所以直线xx十4y%y-12=0为椭圆在，点M(x,y%)处的切线.… …9分 （1)法-：设A国，，5，易知，当石-时，由对称性可知，含-8 ……10分 不妨设x<<,易知令=AM=西--西一五 S2|BM|x2-xoxo一x2 联主西x十4y12=0,解得-2-8%，=2， y=2, 联主西1十y12=0解得12+8，为=一2， …12分 y=-2, 12-8必-12-86一6 所以是=4二马= S4-西-12+86-8%-12' Co 又号+等-1，可得后=12-46%0， 14分 +4 √(12-86)2+4_√/12-8y6)2+48-16y6 OBI /(12+8 2 )+4 √(12+8y%)2+4 √(12+8%)2+48-16% =43V5-4%+4_2-边 4W3V/6+4+42+%' …………………]6分 -80 …17分 法二：设A(1),B(),易知，当=时，由对称性可知，一OB S:OA .. …10分 当x≠时，联立/x十46y-12=0 解得4=1280,4=2， (y=2, 联立0x十4%)—12三0，解得二12十8，=2，…12分 y=-2, 若=0，则%=号4=士5，=士8， 由对称性，不妨取=3，m=83,则A(0,2),B(8V5,-2),M(V3,名)， 3 2_3 _-2__3 8√5 -12, 3③ tan∠AOM= 1_2W3 2+12_2√ aw3tam∠B0M件kaka533 ,所以∠AOM=∠BOM, 2○12 同理，由对称性知，当x2=0时，∠AOM=∠BOM,… …14分 数学参考答案(27H)-5 当大0时，不纷设西测a要气a-边- 62+8%=2(3+2%)=边， 又+5=1，所以6十46=12， 123 ko一kw=6一4%=-6+46-6如= y=2 y 点am☑A0M-年aa1计6气会 .12-6y6=2 3x(%-2) 3x(y%-2)x0 tan∠BOM=1+kM·ka=,2=322=3+2-0' 3x(y+2)3(%+2)x y=-2 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, 。。。。。 …16分 所a是-81l8M影8器-18器 …17分 19.【解析】(1)求导得f(x)=e“(1+a.x), 因为er>0恒成立，故只需对1十ax进行分类讨论， 2分 ①若a=0,则f(x)=x,在R上单调递增；…3分 ②若a>0,则f(>09x>-afx)<0x<- 所以函数f()的单调递减区间为（一∞，一日），单调道增区间为（一是，十∞）： …4分 国若a<0,则f>0e4 <)<0>日， 所以函数f(x)的单调递减区间为（一是，十∞），单调递增区间为（一∞，一） …5分 (2)(1)当x>0时，f(x)>g(x)等价于xe>xex+4x, 两边除以x>0,得er>e2x十4x.… …7分 设o(x)=e"-ex-4x,则p(0)=0,p(x)=aer十2e2x-4, …8分 特别地，0(0)=a一2， 若a<2,则p(0)<0,在x=0右侧附近p(x)<0,不满足题意，所以必须有a≥2，…9分 当a≥2时，对x>0,有ae≥2e2, 从而0(x)≥2e2r+2e2x-4=2(e-er)2>0, 因此p(x)在[0，十o∞)上单调递增，故x>0时p(x)>p(0)=0,满足e“>ex十4x, 所以实数a的取值范围为[2，十0∞).…11分 (I)由(1)取a=2,得对任意x>0,e-e红>4，即<一e“, ,… …12分 ……13分 将共代入上式得h结3Y会V图 4 k+3 厂k W十3√R (k十3)一k 化简右边： √k一V+3√ER+3_(k+3) 3 4 4 4 4√(k+3) 于是n吉4+D即h3<—3 3 3 k√(k+3) 对=水华部骨含 )……15分 =1 左边为2n岩3=ln(停×号×…×)）=lh+1ga+》-lh+1m2》0a+2, 1×2X3 6 3 右边分母V+3)=√+3，因此2y+牛3 所以1hn+1)m叶2)n+3》<之3。，证毕.。 …17分 6 台√R+3k 数学参考答案(27H)-6