湖南省怀化市2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.复数的模长为 A.-1 B.1 C.√2 D.2 2.已知等差数列{an}中，a1=2,a3=6,则公差d= A.4 B.3 C.2 D.1 3.已知集合A={e°，22}，B={1og22,0},则A∩B= A.{1) B.{0》 C.{1,4》 4已知sina-号，aE(5,,则cos(-。) A号 R青 c- 5.在(2r2-)° 的展开式中，所有项的系数和为 A.-1 B.-2 C.2 D.1 6.已知抛物线y=x2上两点A(a,a),B(b,b)处的切线互相垂直，则ab= A号 B-司 C.1 D.2 7.《九章算术》记载的“圆困”是圆柱形粮仓.现用总长L米的篱笆围成一个圆柱形粮仓的侧面（不 计上下底)，已知圆柱侧面积S=2πh,侧面用料长度满足2πr十2h=L(其中2h为两条母线的 长度和，x为底面半径，h为高，单位均为米).若要使圆柱侧面积S最大，则其高与底面半径之 比h:r的值为 A.1:1 B.π：1 C.1:π D.2:1 8.定义在R上的“关联二次函数”f(x)满足f(x十y)=f(x)+f(y)+2xy,且f(1)=1,则f(10) -f(9)+f(8)-…-f(1)= A.49 B.64 C.55 D.66 数学试卷(27Y)第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=2sin(2ax一)，则 A.f(x)的最小正周期为1 B.f(x)的最小值为一2 C.f(x)的图象关于直线x=一否对称 D.fx)的单调递增区间为[kx一吾，kx+],k∈Z 10.已知a=1og23,b=log34,c=1og45,则 A.abc=10g25 B.a<1.5 C.a>b>c n+2- 11.已知正四面体ABCD的棱长为2，点P在棱AB上（不含端点），过点P且平行于AC和BD 的平面α截四面体所得截面为四边形.则 A.截面四边形面积的最大值为1 B三校锥P-BCD的体积的最大值为2号 C.三棱锥P-BCD的外接球半径的最小值为2y3 3 D.异面直线PC与AD所成角的余弦值的取值范围是(0，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(|X|≤1)=0.3413，则P(1≤X≤3) 18双曲线千3十千7=1的焦点坐标为 14.已知两平面向量m,n满足，m==1,对任意的x∈R,有m十≥m一n恒成立.若 2|c=1,∈R,则|c-m一(1一λ)n的取值范围是 数学试卷(27Y)第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 15.(★)(13分) 已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acos C-+√3 asin C-b-c=0. (1)求A的值； (2)已知AD平分∠BAC且交BC于点D,AD=1,求BC的最小值. 16.(★)(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面 ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明：OB⊥平面PAD; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离. 17.(15分) 某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论”“实验操作”和“综合应 用”，已知某选手通过三个环节的概率分别为，是和2，且各环节之间相互独立，每个环节通 过得10分，未通过得0分，已知该选手三个环节全部参加.记X为该选手的总得分， (1)求该选手恰好通过两个环节的概率； (2)求随机变量X的分布列； (3)学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200 元，总分0分不获奖学金.记该学生获得的奖学金金额为Y元，求Y的数学期望E(Y). 数学试卷(27Y)第3页（共4页） 18.(17分) 已知椭圆C:系+茶-1(。>6>0)的离心率为5，且经过点(3,1D. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A,B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，P是椭圆上异于A,B的任意一点，直线 PA,PB的斜率分别为飞1,2.证明：1·2为定值； (3)设直线I与椭圆C交于M,N两点，坐标原点O到直线1的距离为，求△OMN面积的 最大值， 19.(17分) 已知函数f(x)=xe2一a(x+lnx),其中a∈R (1)讨论函数f(x)的零点个数； (2)若对任意x>0,不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (3)证明：对任意正整数n,都有名2k>2n(2n十1D。 数学试卷(27Y)第4页（共4页）高三数学一参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 B A C D A B C BD AC ACD 1.B【解析】攻数商的模长等于模长的商，即}=什-1故选R 2.C【解析】6=a3=a1十2d=2十2d→d=2.故选C. 3.A【解析】因为e°=1,22=4，所以A={1,4}, 同理B={1,0},故A∩B={1},故选A. 4.C【解析】os(一-a）=cosa=一√1-（号）厂=一号，故选C 5.D【解析】设(2x2-）”=at5十a1x2十a2x十…十asx,则所有项的系数和即a十a1十…十as,即为x=1 时等式右边的和，为1.故选D. 6.A【解析】对y=x2求导得y=2x,故切线lA,lB的斜率分别为：2a,2b, 因为两切线互相垂直，所以斜率来积为-1，即2a·26=-1→ab=一子故选A 7.B【解析】由题意，侧面用料总长为2πr十2h=L, 解出高h=号-r,侧面积S()=2(位-)=Lr-2xr, 法一：求导得S(r)=πL一4π2r, 令S'()=0,得r=,当r(0,)时，3(>0，S)单调递增， 当r∈（货，十∞）时，S'()<0,S()单调递减，故当侧面积S最大时r= 4π 法二：这是关于r的二次函数，二次项系数一2π2<0，图象开口向下， 故最大值在对称轴处取得：r=一2X（一2)4元， 元L L 代入A的表达式：-号一元·安一导周比A:导：长-元1，故选B 8.C【解析】法一：令y=1,得f(x十1)=f(x)+f(1)+2x=f(x)十2x十1.① 为求出f(x)的具体形式，构造新函数g(x)=f(x)一x2.则g(x+y)=f(x十y)一(x十y)2=[f(x)十f(y)+ 2xy]-(x2+2xy+y2)=[f(x)-x2]+[f(y)一y]=g(x)+g(y).即g(x)满足g(x+y)=g(x)+g(y).② 又由f(1)=1,得g(1)=f(1)-12=0. 由②令y=1得g(x十1)=g(x)十g(1)=g(x),说明g(x)以1为周期；则g(10)=g(1)=0,即f(10)=102,同理 f9)=92,,f(1)=12,∴.f(10)-f(9)+f8)-…-f1)=102-92+82-…-12=10+9+8+十1=55. 法二：令y=1,则f(x+1)=f(x)+f(1)+2x,变形得f(x+1)-f(x)=f(1)+2x,又f(1)=1, 所以f(10)-f(9)+f(8)-f(7)+…+f(2)-f(1)=[f(10)-f(9)]+[f(8)-f(7)]+[f(6)-f(5)]+ [f(4)-f(3)]+[f(2)-f(1)]=5f(1)+2(9+7+5+3+1)=55.故选C. 数学参考答案(27Y)-1 9.BD【解析】易知A错误，B正确： 对称轴满足2红一晋-受十x3=晋+经， 若x=一5，则5+经=一哥→=一专乙， 故x=一号不是f()图象的对称轴，C错误。 令2km一<2x-否<2k元十受，k∈Z,解得kr否≤<km十晋，∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为[kr一吾，kr十]，k∈Z,D正确； 故选BD. 10.AC【解析】利用对数换底公式， a=los3loeg4·log5-最·最资7-报2-l0g5,A正璃： 比较a,b与1.5的大小： 21.5=2√2=√8<3，故log23>1.5,B错误； 31.5=3√3=√27>4，故log34<1.5,因此a>1.5>b. 比较b,c与1.25的大小： 31.25=3是=243，而44=256>243，故4>3.25，即10g34>1.25; 4125=4=/1024,而54=625<1024，故4.25>5，即10g45<1.25,因此b>1.25>c. 综上，a>b>c,C正确； 由换底公式，2=l6e2,2=l0g4合=16g3,由l6g2>0.log45>be3,故日+>石-D错民。 故选AC. 11.ACD【解析】对于A:截面与四面体表面的交线满足： PQ∥AC,PR∥BD,QS∥BD,RS∥AC, 所以截面四边形PQSR是平行四边形， 又因为正四面体对棱互相垂直，即AC⊥BD,所以截面是矩形. 记AP=x,由相似关系：PR=x,PQ=2一x, 因此截面面积S=(2一x)x≤1，当x=1时取到最大值1，故A正确； 对于B,三棱锥P-BCD与四面体A-BCD同底， 高之比为器-2子，而Vm-×-2号， 3 所以Vrm=2分，29-号（2-，在0<2上单羽递减， 因此体积没有最大值，故B错误； 对于C:设△BCD的外心为O, 正三角形BCD外接圈半径1后正四西休高A= 3 令=受∈(0,1)，则P到底面BCD的距离为h(I一)，P在底面上的投影到0的距离为r, 外接球球心在过O且垂直于底面BCD的直线上.设球心到O的距离为，则外接球半径R满足R2=x2十2， 数学参考答案(27Y)一2 由到P的距离等于到B,C,D的距离，即h-)一)+t产=R2=P+,代入敢据=名，h二2后化简 可得3t-4t+1=√6k(1-t), 即(3t-1)(t-1)=√6k(1-D,可得=1-3t, √6 R=户+=专+00≥待当1=古时取等号， 所以R一2普，故C正碗 对于D取坐标A0,00,B20,0,C13,0,D(1,号，2）， 设P(x,0,0),其中0<x<2. P元=1-w5,0)ad-(1,得，2)， 所以c0s0= P心.AD 2-x 1PC·|AD2√x2-2.x+4' 令u=2-x∈(0,2)，则cos0= 2V二2w+,可得其值城为(0,2)，故D正确。 故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.0.3413【解析】根据正态密度曲线的对称性，均值两侧对称区间的概率是相等的， 即P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1)=P(1≤X≤3)=0.3413. 13.(0,士2)【解析】根据双曲线的定义可得，m十3<0，m十7>0，且焦点在y轴上， 方程可化为片7-话=1 此时a2=m十7，b2=-(m+3),则c2=a2+b2=m+7-(m+3)=4, 所以该双曲线的焦点为(0，士2). 14[,十∞）【解析】因为对任意的xER,有m十m≥mn这成立， 所以(m十m)≥(mn)恒成立，即㎡+2m·n十r≥m2-mn十子r2恒成立， 、2 又m=n=1,所以2+2m·n+m·n-≥0恒成立， 所以△=(2m·m)2-4(m·n-是）=4(m·nm2-4mn+1=(2mn-1)≤0， 所以2m·n-1=0,所以m·n= 1 设m与m的夹角为0，则m·n=m·n川cos0=cos0=, 又0e[0,],所以0=3， 不妨设m=-0i=1,0),m=0成-(2)，6=0C-(x,0 因为2引=1，所以2+=，所以点C在以坐标原点为国心，半径=合的国上， 数学参考答案(27Y)一3 设O方=m十(1-入)n=入OA+(1-)O店，则D在直线AB上， 3 又直线AB的方程为y二-1 (x-1D,即5x十y-3=0, 所以c-m-(1-)n=O元-Oò=Dd, 所以|c-m-(1-)nl=|DC, 又O到直线AB的距离d= √(W3)2+12 22 即c一m-(1-0m的取值范图是[2，+四)。 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. l5.【解析】(I)由正弦定理可知：sin Acos C+√3 sin Asin C=sinB+sinC,… ………1分 在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 2分 3sin Asin C=cos Asin C++sin C,.................................. …3分 又.'△ABC中sinC≠0， ∴W3sinA=c0sA十1， …4分 即2sin(A-）=1, sin(A-8)=2, …5分 :A∈(0，x),A-否-否，即A=5 6分 (2)由题意可知∠BAD-∠CAD-若，SAc=SAD十SACD, …7分 ∴.2 csinA=2c·|ADI sin∠BAD+2b·|ADI sin∠CAD, 9分 W3bc=c十b, ………10分 由基本不等式可得什≥2c,即36c≥2，.6c>号，…1分 当且仅当b=c时取等号. cosA-c口，a2=形+c2-bc≥2bc-bc=bc≥，当且仅当6=c时取等号.…12分 a2>号，BC的最小值为23 3 …13分 数学参考答案(27Y)一4 16.【解析】(1)连接PO,因为△PAD是等边三角形，O是AD的中点，所以AD LPO.…1分 又因为AD⊥PB,PO,PBC平面POB,PO∩PB=P,所以AD⊥平面POB.…3分 因为OBC平面POB,所以AD⊥OB.…4分 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, OB⊥AD,OBC平面ABCD, 所以OB⊥平面PAD. …6分 D (2)法一：在菱形ABCD中，AD∥BC, 由(1)得AD⊥平面POB,所以BCL平面POB.… …7分 在平面POB内，作OH⊥PB于H. 因为BC⊥平面POB,OHC平面POB,所以OH⊥BC. …9分 又因为OH⊥PB,PB,BCC平面PBC,PB∩BC=B, 所以OH⊥平面PBC,… 11分 所以OH的长度为点O到平面PBC的距离.… 12分 在Rt△AOB中，因为AB=4,AO=2,∠AOB=90°， 所以OB=2V3,同理PO=25.… ……13分 因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OB⊥OP. 在Rt△POB中，因为OB=OP=2√3，所以PB边上的高OH=√6. 即，点O到平面PBC的距离为√6.… …15分 法二：因为OB⊥平面PAD,OPC平面PAD,所以OB⊥OP. 由(1)得OP,OB,AD两两垂直， 故以OA,OB,O驴分别为x轴，y轴，之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy之，…8分 D B 则P(0,0,2√5)，B(0,25,0),C(-4,2√5,0)，…9分 PB=(0,2W3,-23),BC=(-4,0,0),O=(0,0,23). 10分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 所以 n·PB=0,23y-23z=0, 即 n.BC=0,-4x=0. ………12分 所以n=(0,1,1)是平面PBC的一个法向量.… 13分 所以点0到平面PBC的距离d=ln,0户=25-6. n√2 15分 数学参考答案(27Y)-5 17.【解析11)设事件A,表示“第i个环节通过”(i=12,3),则P(A)=号，P(A2)=亭，P(A)=7,且A1,A, A3相互独立.…】分 “恰好通过两个环节”包含三种互斥情况： 通过第1,2个，未通过第3个：A=PA)PA)PA)-号·号·号-易 …2分 通过第1,3个，未通过常2个：，=PA)PA,PA)=告号·号会 …3分 通过第2,3个，未通过常1个：B-P红)PA,)PA)-号·吕·号品 …4分 因此，恰好通过两个环节的总概率为P=P十P十P,=品十5十0一示 =6+4+3=23 …5分 (2)由题意易知，随机变量X的所有可能取值为0,10,20,30.… …6分 ①当X=0时，三个环节均未通过： P(X=0)=PA)PA,)PA)=号·号·房 7分 ②当X=10时，恰好通过一个环节，分为三种情况： 仅通边第1个，P仅A)=号·号·日费 仅通过第2个：P(收A)=号·号·号易 仅通过第3个：P(仅A)=号×号×合云 所以PX=10)=4+3+是=13 25+50+2550 …8分 ③当X=20时，恰好通过两个环节，由(1)可知P(X=20) 23 50 9分 ④当X=30时，三个环节全部通过： PX=30)=PA)PAPA)-号×号X2-号 10分 综上，随机变量X的分布列为： 0 10 20 30 13 23 6 25 5 5 11分 (3)由题意，奖学金Y与总分X的关系如下： 当X=30或X=20时（总分≥20），获得一等奖学金500元； 当X=10时，获得二等奖学金200元； 当X=0时，获得0元 因此，随机变量Y的取值为0,200,500， 12分 对应概率为：P(Y=0)=P(X=0)=宏PY=20)=PX=10)-易， PY=8a0)=PX=20+PX=30)-3+会-部-0 …13分 所以Y的分布列为： 数学参考答案(27Y)一6 0 200 500 1 P 1 2 25 50 10 E0=0×房+20×号+500×品=0+20 50 50 +350=52+350=402. 故该学生获得奖学金金额的数学期望为402元. 15分 C2 2 l8.【解析(1由离心率e三二一8，得22=3。 …1分 又c=a-,所以a2-6=号a→=3c, …2分 精圆这点(3,10，代入描圆方程得是十存=1，将8=了02代入得受+3=1>a=6,从而公=2.…3分 故椭圆C的标准方程为行十号1，……4分 (2)设A(xo,yo),则B(-x0,一yo).设P(x,y),其中x≠士xo. 5分 依题意：k1=二出，k2=y十地 …6分 x一xo x十xo 名器-第 …7分 由满围方程知：=2苦娟=2-亨， 8分 2- 代入得1k2 (2-)-(2) x2-x8 x2-x6 3 6ke=- ,为定值…10分 (3)设直线1：y=x十m,与椭圆C:x2+3y2=6联立，得x2+3(kx十m)2=6, 即(1十3k2)x2十6km.x十3m2-6=0,…11分 判别式△=36km2-4(1+3k2)(3m2-6)=24-12m2+72k2, 原点0到直线的距离d气交=9→t十，12分 将m代入△得4=24-12·多（1+)+72=24-18-18+72k=61+9)>0恒成立， 设M(c,y1),N(x2,y2), 孩长MN=+E·西-=中·￥g=1十Y69跳) 1+3k2 ,…13分 △OMN的面软S名·d·MN=名·誓.计+-是，Y题， 1+3k2 2 1+3k2 …14分 令-≥0，则s-是题】 1+3t 令以8-t即，度形得g0-牛-1中g联+1一1十 9t+6t+1 9t+6+1' 当>0时，由基本不等式：9+≥2，√9·-6，当且仅当9=，即=日时等号成立， …15分 数学参考答案(27Y)一7 当=0=0)时，S=多<5，… …………16分 当直线1斜率不存在时，由0到直线1的距离为可知1：红=士，由对称性取：- 2 比时M,)N,-)s-方·6-<， 综上可得，△OMN面积的最大值为√3. …17分 19.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，将函数变形得f(x)=e血x+x一a(x十lnx),…1分 令t(x)=x十ln,由于(x)=1十1>0，故t(x在(0，十o∞)上单调递增，其值域为R…2分 于是原函数零，点个数等于关于t的函数g(t)=e一at在R上的零，点个数. 则g'(t)=e-a. ①当a≤0时，g(t)>0,g(t)在R上单调递增. 若a=0,则g(t)=e>0,无零点；… …3分 若a<0,取=是，则g6)=e÷-1<1-1=0, 取t2=0,则g(0)=1>0, 由零点存在定理，g()在(b,0)上有唯一零点，结合单调性，f(x)共1个零点.…4分 ②当a>0时，令g'(t)=0得t=lna. 当t<lna时g'(t)<0;当t>lna时g'(t)>0,故g(t)的极小值（最小值）为g(lna)=a(1-lna).…5分 若0<a<e,则lna<l,g(t)mim>0,函数无零点； 若a=e,则g(t)mim=0,函数恰有1个零点； 若a>e,则g(t)mn<0,结合t→-∞时，e→0，-at→十∞，此时g(t)→十∞； t十∞时，e→十o∞，且远远大于at,此时g(t)→十o∞，故函数有2个零点.…6分 综上：a<0或a=e时，f(x)有1个零，点；0≤a<e时，f(x)没有零点；a>e时，f(x)有2个零，点.…7分 (2)由同构可知f(x)≥0台g(t)=e一at≥0对任意t∈R恒成立. 当a<0时，取=是，则g)=e-1<1-1=0,不成立；… …8分 当a=0时，g(t)=e>0恒成立；… …9分 当a>0时，由(1)知g(t)的最小值为a(1-lna),令a(1-lna)≥0，结合a>0解得0<a≤e. 综上所述，a的取值范围是[0，].11分 (3)由(2)知，当a=e时，e≥et(当且仅当t=1时取等).… … 12分 取t=1十lnx(x>0),得e+n≥e(1十lnx),…l3分 化简即得不等式lnx≤x一1(x>0),当且仅当x=1时等号成立.…14分 令1+品岩0且1，则瓷告←是 …15分 整得>h 对=1,2，…，n累加将2k>名2n数士n(停·号…》-2m+1D, 原不等式得证.… …17分 数学参考答案(27Y)一8