专题01 全等三角形证明方法—手拉手模型（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以手拉手模型为核心，系统提炼全等三角形证明的“八字型”“截取法”等方法，构建从特殊图形到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|4类条件结论|“八字型”模型、角平分线判定|等边/等腰直角三角形→正方形，特殊到一般| |变式拓展|5道典例|三点共线构造、全等性质应用|图形变式→结论拓展，逻辑推理递进| |综合应用|15道练习题|动态问题转化、多结论证明|模型迁移→综合解题，发展模型观念与应用意识|

专题01 全等三角形证明方法——手拉手模型 （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. 【典例1】如图，等边和等边中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（    ）个 ①；②连接，则平分 ；③ ；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【典例3】如图，，，，、交于点H，连接，则_______． 【典例4】 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 【典例5】综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接，． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 1．如图，在中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，下列结论： ①；②；③；④平分． 其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在直线的同一侧作两个等边三角形和，连接与交于点H，与交于点G，与交于点F，下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥点H是线段的中点．正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．如图，A，B，E三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（    ） ①； ②是等边三角形； ③平分； ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．如图，，，，和相交于O，和相交于P，则的度数是________. 6．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点B、C、E依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____________． 7．在锐角三角形中，是边的高，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，和，与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确的是_________． 8．如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点F，连接． 求证：． 9．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，，，连结，相交于点F，与相交于点M．求证：． 10．如图，是等边三角形，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 11．如图，A，B，C三点不共线，和都是等边三角形，与交于点F． （1）可以看作是由旋转得到，其旋转中心是_____点，旋转方向是_____时针．旋转角（小于平角）的度数是_____； （2）请你求出的度数． 12．如图，在与中，，，，点D在上，连接． （1）吗？请说明理由； （2）若，点F在线段上，且，，求的长． 13．（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，于点M，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 14．综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，E是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 15．如图，的顶点C是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）在点C运动过程中． ①求，与之间的数量关系； ②是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由． 16．在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接． （1）①如图1，求证：； ②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系； （2）当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 17．【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过C作，交于点F，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 18．问题情境： 已知：射线和射线相交于点B．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，使． 任务一：当点D在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点F，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为________； 任务二：当点D是射线上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形证明方法 一一手拉手模型 模型梳理 (1)条件：如图，△ABE和△ACF均为等边三角形 结论：①△ABF≌aAEC;②∠BOE=∠BAE=60°(“八字型”模型证明)；③OA平分∠EOF(全 等三角形的性质+角平分线的判定)· E B (2)条件：如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，A、C、B三点共线， 结论：①△ACD≌△BCE:②AD=BE:③∠ACB=∠AOB=60°；④△PC卫为等边三角形( △PCD≌aOCE)；⑤PO∥AE,⑥AP=BO(△APC≌ABOC):⑦OC平分∠AOE;⑧ OA=OB+OC(在OA上截取OM=OC,证△AMC≌aBOC)⑨OE=OC+OD(在OE上截取 OH=OC,证aDOC≌aEHC). D B B P H M E A C E (3)条件：如图，△ABD和△ACE均为等腰直角三角形 结论：①△BAE≌△DAC:②BE=CD,③BE⊥CD 1/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A B C 2/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)条件：如图，四边形ABEF和ACHD均为正方形 结论：①△BAD≌△FAC:②BD=FC;③BD⊥FC, D E H ⊙ C 典例精讲 【典例1】如图，等边△ABC和等边△CDE中，B、C、D共线，且BC=3CD,连接AD和BE相交于 点F,以下结论中正确的有()个 R C D ①∠AFB=6O°；②连接FC,则FC平分∠BFD;③BF=3DF;④BF=AF+FC A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【详解】解：①：△ABC和△CDE均为等边三角形， :.∠ACB=∠ECD=6O°，AC=BC,EC=DC, :.∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE, .∠BCE=∠ACD. 在△BCE和△ACD中， BC=AC ∠BCE=∠ACD, EC=DC 3/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BCE≌△ACD(SAS). :.∠CBE=∠CAD :∠AFB=∠CBE+∠CDA,∠ACB=∠CDA+∠CAD, .∠AFB=∠ACB=60°，故①正确： ②如图所示，作CM⊥BE于M点，CN⊥AD于N点， 则∠CME=∠CND=90°， :△BCE≌△ACD, ·.∠CEM=∠CDN, 在aCEM和△CDN中， ∠CME=∠CND ∠CEM=∠CDN. CE=CD :.△CEM≌aCDN(AAS), ..CM=CN. .FC平分∠BFD,故②正确： ③如图所示，作FP⊥BD于P点， .DF..CN-jCDFP. 2 S.BCE= 1BF-CM 1BC-FP S.DCF DF-CN CD-FP 2 CM=CN, BF BC 整理得： DF CD' ·BC=3CD BF·3CD ∴DFCD =3 .BF=3DF,故③正确： ④如图所示，在AD上取点O,使得FC=FQ :∠AFB=∠ACB=60°，CF平分∠BFD, 4/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六∠BFD=1200, ∠CFD=÷∠BFD=60°， :.△FCQ为等边三角形， .∠FC0=60°，CF=C9, :∠ACB=60°， ∴.∠ACB+∠ACF=∠FCQ+∠ACF, ∠BCF=∠ACQ, 在△BCF和△ACQ中， BC=AC ∠BCF=∠ACQ, CF=CO :.△BCF≌△ACQ(SAS), :.BF=AO, AO=AF+FO,FO=FC, :.BF=AF+FC,故④正确： 综上，①②③④均正确. B CP D 【典例2】已知：如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C, D,E三点在同一条直线上，连接BD.以下四个结论：①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°：③ BD⊥CE:④∠BAE+∠DAC=180°.其中错误的个数是(). E 5/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【详解】解：∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, .△ABC和△AED为等腰直角三角形， .∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=45°， .·∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, ∴.∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠DAB=∠EAC, AD=AE :.△ABD≌△ACE(SAS), BD=CE,故①正确，不符合题意： .∠ACE=∠ABD .∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°， :∠ACE+∠DBC=45°，故②正确，不符合题意： :∠DBC+∠BCD=∠DBC+∠ACB+∠ACE=∠ACB+(∠DBC+∠ABD)=∠ACB+∠ABC=90° ∠BDC=90°. BD⊥CE,故③正确，不符合题意： ,如图，延长射线BA交CE于点M, E :.∠MAC=∠BAC=90°. ,∠EAC=∠EAD+∠DAC=∠MAC+∠EAM, .∠DAC=∠EAM, :∠BAE+∠EAM=180° :.∠BAE+∠DAC=180°，故④正确，不符合题意： 6/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，符合题意共0个， 【典例3】如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H,连接CH,则 ∠CHIE= B H 【答案】65° 【详解】解：如图，∠ACB=∠DCE, .∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ACD≌△BCE(SAS): 过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N, :△ACD≌△BCE, .∠CAM=∠CBN, 在△ACM和△BCN中， 「∠CAM=∠CBN ∠AMC=∠BNC=90°， AC=BC :.△ACM≌aBCV(AAS), ∴.CM=CW, 在RtACMH与RtACNH中， CH=CH CM=CN' .RtACMHRtACNH (HL). .∠MCH=∠NCH, 7/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CH平分∠AHE: ,△ACD≌△BCE, .∠CAD=∠CBE, :∠AFC=∠BFH, ·.∠AHB=∠ACB=50°， .∠AHE=180°-50°=130°， C亚AE130=6 B 8/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边 △CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO.以下五个结论：① AD=BE:②PO∥AE:③AP=BO:④DE=DP:⑤∠AOB=60° 恒成立的结论有 (把你认为正确的序号都填上) B 【答案】①②③⑤ 【详解】解：①，等边△ABC和等边△CDE, .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∠BCE=∠DCE+∠BCD, .∠ACD=∠BCE, 在△ADC和△BEC中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE .△ADC≌△BEC(SAS). ·.AD=BE,∠ADC=∠BEC, 故①正确： ②又：CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC, .△CDP≌aCEQ(ASA). .CP=CO, :.∠CPQ=∠C0P=60°， :.∠OPC=∠BCA. PO∥AE, 故②正确： ③：aCDP≌aCEQ, 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.DP=OE, :△ADC≌ABEC .AD=BE, ..AD-DP=BE-O, .AP=BO, 故③正确： ④DE>OE,且DP=QE, .DE DP, 故④错误： ⑤：∠ACB=∠DCE=60°， .∠BCD=60°， :△DCE是等边三角形， .∠EDC=60°=∠BCD. .BC∥DE .∠CBE=∠DEO」 :.∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故⑤正确. ,正确的有：①②③⑤. 【典例5】综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE,连接 BD.AC 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， 10138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为， 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的 位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由. (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD 与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 【答案】(1)①BD⊥AC:②BD=AC;(2)BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化，理由 见解析：(3)BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系 【详解】解：(1)理由：延长BD交AC于点F,如图， 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC. DE=CE ∴.△BED≌△AEC(SAS). .BD=AC,∠DBE=∠CAE, .∠BED=90°， .∠DBE+∠BDE=90°， :∠BDE=∠ADF, .∠ADF+∠CAE=90°， :.∠AFD=180°-（∠ADF+∠CAE)=180°-90°=90°， .BD⊥AC: (2)BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化，理由如下： 由题意得∠AEB=∠CED=90° .∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED, .∠BED=∠AEC, 11/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BED和△AEC中， 「BE=AE ∠BED=∠AEC. DE=CE .△BED≌△AEC(SAS) .BD=AC,∠DBE=∠CAE, .∠BEA=90°， 设AE与BD交于点G,如图： .∠DBE+∠BGE=90°. :∠BGE=∠AGF, :.∠CAE+∠AGF=90°， :.∠AFG=180°-（∠CAE+∠AGF)=180°-90°=90°， ,BD⊥AC, :BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化： (3)BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系，理由如下： 设∠AEB=∠CED=a, :.∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED, .∠BED=∠AEC, 在△BED和△AEC中， BE=AE ∠BED=∠AEC. DE=CE .△BED≌△AEC(SAS) .BD=AC,∠DBE=∠CAE, ∠BEA=a, 12138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AE与BD交于点H;如图： D .∠DBE+∠BEA+∠BHE=180°， .∠BHE=∠AHF, .∠CAE+∠AFH+∠AHF=180°， :.∠AFH=∠BEH≠90°， BD不垂直AC, .:BD与AC的数量关系没有发生变化：位置关系不是垂直关系. 过关专练 L.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知 EH=EB=3,AE=4,则CH的长是() H B D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【详解】解：：AD⊥BC,CE⊥AB. .∠ADB=∠AEH=90°， .'∠AHE=∠CHD 、∠BAD=∠BCE, :在△HEA和△BEC中， ∠BAD=∠BCE,∠AEH=∠BEC=9O°，EH=EB, 13138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△HEA≌△BEC(AAS). .AE=EC=4. CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1. 2.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接 AC,BD交于点M,连接OM,下列结论： ①△AOC≌△BOD;②AC=BD;③∠AMB=40°：④MO平分∠BMC. 其中正确的个数为() O A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【详解】解：：∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角， :.∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD,即∠AOC=∠BOD, .OA=OB,OC=OD. :.△AOC≌aBOD(SAS), :AC=BD,∠OAC=∠OBD,∠ODB=∠OCA,故O②正确： 过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥BD于点R,BD与OA相交于点H,如图所示： H :∠AHM=∠OHB,∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC,∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD, .∠AMB=∠BOA=40°， .∠OEC=∠OFD=90°. OC=OD,∠OCA=∠ODB, .aOEC≌aOFD(AAS), ..OE=OF. 14138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.MO平分∠BMC,故③④正确： 所以正确的个数有4个 3.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD交于点H,AE与 DB交于点G,BE与CD交于点F,下列结论：①AE=CD;②∠AHD=60°：③△AGB≌aDFB: ④BH平分∠GBF:⑤GF∥AC:⑥点H是线段DC的中点.正确的有() D B A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【答案】C 【详解】解：连接GF,过点B作BM⊥AE于M,BN⊥CD于N, B :△ABD,△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD=∠EBC=60°，BA=BD,BE=BC, ∠ABE=∠DBC, 在△ABE和△DBC中， BA=BD ∠ABE=∠DBC, BE=BC .△ABE≌aDBC(SAS), ·AE=CD,故①正确： ,△ABE≌△DBC, .∠BAE=∠BDC, ,∠AGB=∠DGH, 15138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AHD=∠ABG=60°，故②正确： 在△AGB和△DFB中， ∠BAG=∠BDF AB=DB ∠ABG=∠DBF=60° .△AGB≌△DFB(ASA),故③正确： :△AGB≌△DFB, .BG=BF, ,:∠GBF=60°， ∴△BGF是等边三角形， .∠FGB=∠ABD=60°， :.FG∥AC,故⑤正确： :△ABE≌△DBC,BM⊥AE,BN⊥CD, .BM=BN. :.BH平分∠AHC,但不一定平分∠GBF,故④错误： 根据题意，无法判断DH=CH,故⑥错误。 4.如图，A,B,E三点在同一直线上，△ABC,△CDE都是等边三角形，连接AD,BE,OC:下列 结论中正确的是() ①△ACD≌△BCE: ②aCPO是等边三角形： ③OC平分∠A0E: ④△BPO2AEDO. B D E A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【详解】解：：△ABC,△CDE都是等边三角形， 16138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°， :.∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ,∠PCD=60°， ∠ACD=∠BCE, .△ACD≌△BCE, ∴.①的说法是正确的： :'△ACD≌△BCE, ·.∠PDC=∠QEC, :∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE, :.△PCD≌△QCE ..PC=OC. :.aCPO是等边三角形： ∴.②的说法是正确的： :△PCD≌△QCE :.PD=OE,S.PCD S.OCE, 过点C作CG⊥PD,垂足为G,CH⊥QE,垂足为H, PD.CG=TOE-CE. .2 2 ..CG=CH, ∴OC平分∠AOE, ∴③的说法是正确的： 无法证明△BPO≌△EDO ∴④的说法是错误的： 故答案为①②③ 5.如图，∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD,AC=AE,BE和CD相交于O,AB和CD相交于 17138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P,则∠DOE的度数是 0 D E A ◇ B 【答案】120 【详解】解：如图所示： D E B :∠DAB=∠EAC=60° ∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC, .∠DAC=∠EAB, 在△ADC和△ABE中， AD-AB ∠DAC=∠EAB, AC=AE :△ADC2△ABE(SAS), .∠E=∠ACD. 又：∠AFE=∠OFC. :.∠EAF=∠COF=60°， .∠DOE=120° 6.两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED, 其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD.若BC=4,CE=2,则 △DCE的面积是 18138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 【答案】6 【详解】解：∠BAC=∠EAD=90° :.∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD, 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD .△ABE≌aACD(SAS), ∠ACD=∠B,CD=BE, ∠B=45°， .∠ACD=45°， :.∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°， BC=4,CE=2, .BE=6, .CD=6, S.m-CE-DC-x2x6-6 2 7.在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，,AC为边向外作正方形ABDE和正方形 ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论：①BG=CE;② BG⊥CE;③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC.其中正确的是 19138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A D H 【答案】①②③④ 【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， .∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC, 即∠CAE=∠BAG」 .△ABG≌△AEC(SAS). .BG=CE,故①正确： 设BG、CE相交于点N,AC、BG相交于点K,如图1 D K W 图1 :△ABG≌△AEC, .∠ACE=∠AGB. ∠AKG=∠NKC, ∠CNG=∠CAG=90°， :.BG⊥CE,故②正确： 过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GO⊥AM于O,如图2， 20138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 AH⊥BC, .∠ABH+∠BAH=90°， :∠BAE=90°， .∠EAP+∠BAH=90°， 、.∠ABH=∠EAP,即∠EAM=∠ABC,故④正确： :∠AHB=∠P=90°，AB=AE, .△ABH≌aEAP(AAS), .EP=AH, 同理可得G0=AH, EP=GO, :在AEPM和aGOM中， ∠P=∠MQG=90° ∠EMP=∠GMg, EP=GO :.△EPM≌aGQM(AAS), .EM=GM, ∴.AM是△AEG的中线，故③正确. 综上所述，①②③④结论都正确. &.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点（点D与A,B不重合），连结 CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转9O°得到线段CE,连结DE交BC于点卫，连接BE. 求证：△ACD≌ABCE 21138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【答案】证明见解析 【详解】证明：由旋转可知CD=CE,∠DCE=90°， :∠ACB=90°， .·∠ACD=∠ACB-∠DCB,∠BCE=∠DCE-∠DCB, ·∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中 AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE :.△ACD≌△BCE(SAS) 9.已知：如图，△ABD和△AEC都是等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=9O°，连结CD,BE相交于点F,AD与BE相交于点M.求证：BE⊥CD 【答案】证明见解析 【详解】证明：，∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠BAE=∠DAC: AB=AD,AE=AC, :.△BAE≌aDAC(SAS): :.∠ABE=∠ADC. .∠BMA=∠DMF, :.∠DFM=∠MAB=90°， .BE⊥CD 22138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I0.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，连接BD,将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE, 连接AE,DE (1)求证：AE=CD. (2)若BC=12cm,BD=8cm,求△ADE的周长. 【答案】(1)证明见解析：(2)20cm 【详解】(1)解：：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=60°， :BD绕点B时针旋转60°得到BE, BD=BE,∠DBE=60° ∴.∠ABC=∠DBE,∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD,即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中， AB=BC ∠ABE=∠CBD, BE=BD △ABE≌△CBD(SAS). .AE=CD (2)解：，BD绕点B时针旋转60°得到BE, :.BD=BE,∠DBE=6O°，△BDE是等边三角形， .DE BD =8cm. :△ABC是等边三角形， .AC=BC=12cm. 由(1)知AE=CD. C.ADE =AD+AE+DE=AD+CD+DE=AC+DE=12+8=20cm 11.如图，A,B,C三点不共线，△ABD和△AEC都是等边三角形，CD与BE交于点F 23138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是时针.旋转角（小 于平角)的度数是一： (2)请你求出∠CFE的度数. 【答案】(1)A,顺，60°；(2)∠CFE=60 【详解】(I)解：由图可知：△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是A点，旋转方向是顺 时针.旋转角的度数是60°： (2)解：设AB与CD交于点G, D G B :△ABD和△AEC都是等边三角形， :AE=AC,AD=AB,∠DAB=∠CAE=60° :.∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠BAE=∠DAC, AC=AE,AD=AB,∠DAC=∠BAE, .△ADC≌△ABE, .∠AEB=∠ACD, 根据三角形的外角的性质可知∠ACD+∠CFE=∠AEB+60°， .∠CFE=60° 12.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点D在BC上，连接 CE 24138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)△ABD≌△ACE吗？请说明理由： (2)若DF⊥AC,点F在线段CE上，且CF=2,FE=3,求BC的长. 【答案】(1)△ABD≌△ACE,理由见解析：(2)7 【详解】(1)证明：△ABD≌△ACE, 理由：∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠EAC, AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE: (2)解：设DF与AC交于点G, ·△ABD≌△ACE, .∠B=∠ACE, AB=AC. :.∠B=∠ACB .∠ACB=∠ACE, :在aCGD和△CGF中， H D ∠ACB=∠ACE CG=CG ∠CGD=∠CGF=90° 25138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.aCGD≌ACGF, ..CF =CD .BC=BD+CD=CE+CF=CF+EF+CF=7. 13.(I)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD,BE.若BE∥CD,则∠BEC的度数是 图1 图2 图3 (2)如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A,D,E在同一条直线上，连接BE,求证： AE=BE+CE (3)如图3，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一条直 线上，CM⊥AE于点M,连接BE,求∠AEB的度数以及线段CM,AE,BE之间的数量关系. 【答案】(1)120°：(2)证明见解析：(3)∠AEB=90°，AE=BE+2CM 【详解】(1)解：·△CDE都是等边三角形， :.∠DCE=60°， :BE∥CD ∴.∠BEC=180°-∠DCE=120°： (2)证明：：△ABC和△CDE都是等边三角形， :.CA=CB,CD=CE=DE,∠ACB=∠DEC=60° .∠ACB-∠DCB=∠DEC-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD≌△BCE. .AD=BE, .AE=AD+DE BE+CE (3)解：由题意得：CA=CB,CD=CE, :.∠ACB-∠DCB=∠DEC-∠DCB,即∠ACD=∠BCE, .△ACD≌△BCE. .AD=BE,∠ADC=∠BEC: 26138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△DCE为等腰直角三角形， .∠CDE=∠CED=45°， ,点A,D,E在同一条直线上， .∠ADC=∠BEC=135°， :.∠AEB=∠BEC-∠CED=9O°： .CD=CE,CM⊥DE, ∴.∠CDE=∠CED=45°： .∠CMD=∠CME=90°， ∴.DM=ME=CM, .AE=AD+DE BE+2CM 14.综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接BE,CD.同学们 发现以下结论：BE与CD的数量关系是一： 【变式思考】 (2)如图2，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°.若AB=2,AC=3,则 四边形DBCE面积的最大值是一： 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，E是BC边上一点，连接AE,以AE为边向 上作等腰直角三角形ADE且AE=AD,连接BD,用等式表示线段BE,BD,BC之间的数量关系， 并证明. B D D E 图1 图2 图3 25 【答案】)BE=CD:(2)2:(3)BE+BD=2BC,证明见解析 【详解】(1)解：：△ABD和△ACE都是等边三角形， AB=AD,AE=AC,∠CAE=∠DAB=60°， 27138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CAE+∠BAC=∠DAB+∠BAC,即∠BAE=∠DAC, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC. AE=AC .△ABE≌△ADC(SAS), .BE=CD (2)解：如图，连接BE和CD交于点F,CD和AE交于点G, E D B :△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， .AB=AD=2,AE=AC=3. :∠BAD=∠CAE=90°， ∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠BAE=∠DAC, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC, AE=AC :.△ABE≌△ADC(SAS) :.BE=DC,∠AEB=∠ACD, 又：∠FGE=∠AGC. .∠EFG=∠GAC=90°， BE⊥DC, c四边形DRCE面积BE·DC=DC。 2 :DC≤AD+AC, .DC≤2+3=5. 28138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六四达形D8CE面积的最大价是写5- 1 2 (3)解：BE+BD=2BC,证明如下： 如图，延长BC至H使得HC=BC,连接AH, D :等腰直角三角形ABC, :.∠ABC=∠BAC=45°， :HC=BC,∠ACB=∠ACH=90°，AC=AC, .△ACH≌aACB(SAS), :.∠H=∠ABC=45°，∠CAH=∠CAB=45°，AH=AB, .∠BAH=2∠BAC=90° ,等腰直角三角形ADE且AE=AD, .∠DAE=90° ∴.∠BAH=∠DAE=90°， :.∠BAH-∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠EAH=∠DAB, 在△AEH和△ADB中， 「AE=AD ∠EAH=∠DAB AH=AB :△AEH≌△ADB(SAS), .HE=BD .BE+BD=BE+HE=BH=2BC 29138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，△ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持∠ACB<120°，分别以AC,BC为边，向外作 等边三角形ACD和等边三角形BCE，,连接BD交AC于点F,连接AE交BC于点G,BD与AE交于 点O,连接OC」 备用图 (I)求证：BD=AE: (2)求∠AOC的度数： (3)在点C运动过程中. ①求OA,OC与OD之间的数量关系： OE-OC ② OB 是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由. 【答案】(1少证明见解析：(2)1200：（3)①0A+0C=0D:② 0E-OC=1 OB 【详解】(1)证明：：等边三角形ACD和等边三角形BCE, :AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°， ∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB, .△BCD≌aECA(SAS). BD=AE: (2)解：由(1)可知：△BCD≌aECA, .∠BDC=∠EAC, :∠CFD=∠AFB, :∠BDC+∠ACD=∠EAC+∠AOD. ∠AOD=∠ACD=60°， .∠E0D=120°， 如图1，过点C分别作CP,CQ垂直于BD,AE,且垂足分别为点P,点Q, 30138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 △BCD≌△ECA, .CP=CO .OC平分∠DOE, .∠DOC= ∠E0D=x120°=60°， 1 2 .∠A0C=60°+60°=120°： (3)解：①如图2，在OD上取一点M,使OM=OC,连接CM, D E 图2 :∠C0D=60°， :,△COM为等边三角形， .CM=CO,且∠OCM=∠ACD=60°， .∠MCD=∠OCA,又CD=CA, .△CMD≌aCOA(SAS). ..DM=OA ∴.OA+OC=DM+OM=OD: OE-OC ② OB 是为定值。 证明：如图3，在OE上取一点N,使ON=OC,连接CN, 31138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 .∠C0E=60°， .△CON为等边三角形， .CN=C0O,∠OCN=∠ECB=60° .∠NCE=∠OCB. .CE=CB, .aCEN≌aCBO(SAS). ∴EN=OB OE-OC OE-ON ENOB=1 OB OB OBOB 16.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点，连接AD,以AD为边向右作△ADE,使得 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE BD图1C B图2C (1)①如图1，求证：△ABD≌△ACE: ②当点D在BC边上时，请直接写出△ABC,△ACD,△ACE的面积(SBC,SACD,SACE)所满足 的关系： (2)当点D在BC的延长线上时，试探究△ABC,△ACD,△ACE的面积(SABc,SACD,SMCE) 所满足的关系，并说明理由、 【答案】(1)①证明见解析：②SBc=S。4CD+S4ACE,理由见解析；(2)SACE=SBc+S4CD,理 由见解析 【详解】(1)证明：①：∠BAC=∠DAE, 32138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即LBAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS) ②S4BC=SACD+S4CE,理由如下： ,△ABD≌△ACE, .S.4BD=S.4CE S.4BC=S.4CD+S.ABD .S.ABC=SACD+S.4CE: (2)解：SACE=SABc+S4CD,理由如下： .∠BAC=∠DAE, .∠BAC+∠I=∠DAE+∠I,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE :.△ABD≌AACE(SAS). S.4BD=S.ACE S.4BD=S.4Bc+S.4CD, .S.ACE =S.4BC+S.4CD. 3☑ c D 33138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【问题初探】 图1 图2 图3 (1)在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB,求证： CD=CE.如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过C作CF⊥OC,交OB 于点F,以此来证明阴影部分的三角形全等，得到CD=CE 请你参考小颖的解题思路写出证明过程。 【类比分析】 (2)张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平 分∠AOB,求证：CD=CE 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)证明：，OC平分∠AOB 1 .∠B0C=∠D0C=。∠A0B=45°， 2 :CF⊥OC :∠OCF=90°， .∠CF0=90°-45°=45° .∠CFE=∠COF=∠DOC=45°. .CO=CF, :∠OCD+∠OCE=∠OCE+∠ECF=90°， .∠OCD=∠ECF ∴.△OCD≌AFCE, ..CD=CE (2)证明：如图，过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N, 34138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O E N B .∠CMD=∠CNE=90° 又：OC平分∠AOB,∠AOB=2∠DCE=120°， :.CM=CN,∠AOC=∠BOC=60°， 在四边形ODCE中，∠AOB+∠DCE+∠CDO+∠CEO=360°， 又：∠A0B+∠DCE=60°+120°=180°， :.∠CD0+∠CEO=180°， 又∠CEO+∠CEN=180°， ∴.∠CDO=∠CEN, 又CM=CN,∠CMD=∠CNE. :.aCMD≌aCNE(AAS), .CD=CE 18.问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B.点D在射线CB上，作射线AD,在射线AD上取一点E,连接 CE,使∠AEC=∠ABC. 任务一：当点D在线段CB上时， (1)如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当∠AEC=∠ABC=90°，AB=CB时，连接BE.在射线AD上取一点F,使AF=CE, 连接BF。 ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由： ②∠AEB的度数为. 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）· (3)如图3，当AB=CB,∠AEC=∠ABC=a(90°<a<180),且4F=CE时，请直接写出 ∠AEB的度数（用含C的式子表示）· 35138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B /B 图1 图2 图3 备用图 【答案】(1)∠A=∠C,理由见解析；(2)①BF=BE,BF⊥BE,理由见解析：②45°：(3) ∠4B=0-0或90+4，理白见解折 1 【详解】(1)解：∠A=∠C,理由如下： :∠C+∠AEC+∠CDE=180°，∠A+∠ABC+∠ADB=180°， 又：∠ABC=∠AEC=a,∠ADB=∠CDE, .∠A=∠C: (2)①解：BF=BE,BF⊥BE,理由如下： 由(1)知：∠A=∠C, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE .△ABF≌aCBE(SAS). ∴.BF=BE,∠ABF=∠CBE. 又：∠ABC=a=90°=∠ABF+∠FBC, .∠CBE+∠FBC=90°. 即∠FBE=90°， BF⊥BE: ②解：△ABF≌△CBE, 、BF=BE, :.∠ABF=∠CBE, .∠FBE=∠ABC=90°， .∠AEB=45°： (3)解：∠AEB=90-&或90+ 2 a,理由如下： 2 36138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当点D在线段BC上时，如图3，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF, /B 图3 由(1)知：∠A=∠C, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠A=∠C AF=CE :.△ABF≌△CBE(SAS). ∴BF=BE,∠ABF=∠CBE. 又：∠ABC=a=∠ABF+∠FBC, .∠CBE+∠FBC=au, 即∠FBE=, ÷∠AEB=∠EFB=180°-&-=90°- 2 3a: 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F,使AF=CE,连接BF,如图4， B E 图4 由(I)知：∠BAF=∠ECB, 在△ABF和△CBE中， AB=CB ∠BAF=∠BCE. AF=CE .△ABF≌△CBE(SAS). .BF=BE,∠ABF=∠CBE, 37138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ABC=A=∠CBE-∠ABE, .∠FBE=∠ABF-∠ABE=C, ·.∠BEF=∠BFE=180°-C 2， :∠AEB=180-∠BEF=1800-180°-a=90°+ 2 2 1 综上所述， Ep的度数为90°-。a或90°+a 2 38138