14.3 角的平分线 同步训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，以角平分线性质与判定为核心，从概念辨析到实际应用，培养几何直观与推理能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角平分线概念、性质（距离相等）|选择1-5考概念辨析，填空13-14直接应用性质，夯实基础| |中档|性质与全等结合、作图应用|选择6-10涉及尺规作图与面积计算，填空15-16结合面积比，提升推理能力| |综合|多知识点综合、实际问题|解答19-22需作辅助线证全等，联系三角形面积与实际选址，发展模型意识|

人教版（2024）八年级上册 14.3 角的平分线 同步训练 一、选择题 1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(　　) A.两条角平分线的交点在三角形内 B.两条角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两条角平分线的交点到三边的距离相等 D.两条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 2.如图，直线l1∥l2，直线AB分别交l1，l2于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与AB，l2交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点C，作射线BC交l1于点D，若∠1=27°，则∠2的度数为(　　) A.40°    B.45° C.50°    D.54° 3.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A.24 B.27 C.30 D.33 4.如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是 A.PC⊥OA，PD⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD 6.嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A.     B.   C.   D.   7.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为(　　) A.3    B.6 C.9    D.18 8.如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（   ） A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 9.如图，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是（　　） A.4.8cm B.4.5cm C.4cm D.2.4cm 10.如图，，，的平分线和的平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 11.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=16，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（　　） A.8 B.9 C.7 D.6 12.如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M，N分别为点P在，上作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有②③④ D.只有①③ 二、填空题 13.如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为        14.已知，如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=36°，则∠EAB的度数是      ． 15.如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△ECD∶S△ABE=2∶3，则S△ADE∶S△ECD=　　　　　. 16.如图，在四边形中，，，，分别平分和．点C在线段上．若，，则的长是     ． 17.如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是      ． 三、解答题 18.如图，点A是边上一点，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点B．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直接写出的大小． 19.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°. ①求∠ACE的度数； ②若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积. 20.(教材改编)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建? 21.如图，在中，． (1)用尺规完成以下作图：作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的面积． 22.如图，∠AOB＝90°，P是∠AOB的平分线上一点，以P为顶点作∠MPN＝90°，分别交OA，OB于点M，N.求证：PM＝PN. 人教版（2024）八年级上册 14.3 角的平分线 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(　　) A.两条角平分线的交点在三角形内 B.两条角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两条角平分线的交点到三边的距离相等 D.两条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 【答案】D 2.如图，直线l1∥l2，直线AB分别交l1，l2于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与AB，l2交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点C，作射线BC交l1于点D，若∠1=27°，则∠2的度数为(　　) A.40°    B.45° C.50°    D.54° 【答案】D 【解析】根据作图步骤可知BD是∠ABF的平分线， 所以∠ABD=∠DBF， 因为直线l1∥l2， 所以∠DBF=∠1=27°， 所以∠ABD=∠DBF=27°， 所以∠2=180°-∠BAD=∠1+∠ABD=27°+27°=54°. 3.如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A.24 B.27 C.30 D.33 【答案】B 【解析】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC ＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC ＝（AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC＝×18＝27（cm2）． 故选：B． 4.如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】解：∵点在第一象限角平分线上， ∴， 解得， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是 A.PC⊥OA，PD⊥OB B.OC=OD C.∠OPC=∠OPD D.PC=PD 【答案】D 【解析】由OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB得PC=PD，根据HL判定定理，A项成立； OC=OD，根据SAS判定定理，B项成立； ∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理，C项成立； PC=PD，不能判定△POC≌△POD，D项不成立. 6.嘉嘉要找到不等边三角形三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（　　） A.     B.   C.   D.   【答案】C 【解析】解：到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，选项C满足条件． 7.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC=3，OD=6，则△POD的面积为(　　) A.3    B.6 C.9    D.18 【答案】C 【解析】过P点作PE⊥OB于E点，如图， 因为OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， 所以PE=PC=3， 所以S△POD=×6×3=9. 8.如图，的角平分线为，过点D作，垂足为F，E是线段的中点．若，，，则的面积是（   ） A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 【答案】C 【解析】解：如图，作于， 平分，， ， 是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 9.如图，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm2，则DE的长是（　　） A.4.8cm B.4.5cm C.4cm D.2.4cm 【答案】A 【解析】解：如图，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于F，∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△BCD，AB=36cm，BC=24cm，∴×36×DE+×24×DF=144，即18DE+12DE=144，解得DE=4.8（cm）．故选A． 10.如图，，，的平分线和的平分线相交于点D，过D点作于E．若，则（　　） A.2 B.3 C.3.5 D.4 【答案】B 【解析】解：如图，连接，过点D作于K，于J． ∵的平分线和的平分线相交于点D， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 11.如图，在Rt△ABC中∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=16，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（　　） A.8 B.9 C.7 D.6 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=16，BD：CD=9：7，∴CD=16×=7，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=7．故选C． 12.如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M，N分别为点P在，上作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A.只有①②③ B.只有①③④ C.只有②③④ D.只有①③ 【答案】B 【解析】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M，N分别为点P在上作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③正确． 综上所述，①③④正确． 二、填空题 13.如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点M和点N为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线，作于点C，且，是射线上一个动点，则的最小值为        【答案】2 【解析】解：由作法得是的平分线， 当时，的值最小， ， ， 的最小值为． 14.已知，如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=36°，则∠EAB的度数是      ． 【答案】36° 【解析】如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，∠C=90°， ∴CE=EF， ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴BE=EF， 又∵∠B=90°， ∴AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE+∠ADE=（360°-90°×2）=90°， ∴∠AED=180°-90°=90°， ∵∠CED+∠AEB=180°-90°=90°， ∠EAB+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠CED=36°． 15.如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△ECD∶S△ABE=2∶3，则S△ADE∶S△ECD=　　　　　. 【答案】5∶2 【解析】如图，过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=90°， ∴EB⊥AB， 又∵AE平分∠BAD， ∴BE=EF， 在Rt△ABE和Rt△AFE中， ∴Rt△ABERt△AFE(HL)， ∴S△ABE=S△AFE， 同理S△EFD=S△ECD， ∵S△ECD∶S△ABE=2∶3， 设S△ECD=2k，S△ABE=3k， ∴S△ADE=S△AFE+S△EFD=S△ABE+S△ECD=3k+2k=5k， ∴S△ADE∶S△ECD=5k∶2k=5∶2. 16.如图，在四边形中，，，，分别平分和．点C在线段上．若，，则的长是     ． 【答案】9 【解析】解：如图，作于， ∵在四边形中，，，，分别平分和． ∴， 在和中， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 17.如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是      ． 【答案】①②③ 【解析】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①是正确的； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的； 连接，如图所示， ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的平分线上， 故③是正确的； ∵，平分， ∴， 平分， ∴， ∴， 故④是错误的； ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的． 三、解答题 18.如图，点A是边上一点，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点B．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直接写出的大小． 【答案】解：（1）如图，即为所作． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°. ①求∠ACE的度数； ②若AC+CD=14，AB=8.5，且S△ACD=21，求△ABE的面积. 【答案】解　①∵∠ACB=100°，∴∠ACD=180°-100°=80°. ∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°. ∵∠CEH=50°，∴∠ECH=90°-50°=40°. ∴∠ACE=80°-40°=40°. ②如图，过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N. ∵BE平分∠ABC，∴EM=EH. ∵∠ACE=∠ECH=40°，∴CE平分∠ACD. ∴EN=EH.∴EM=EN=EH. ∵AC+CD=14，S△ACD=21， ∴S△ACD=S△ACE+S△CED=AC·EN+CD·EH=(AC+CD)·EM=21， 即×14EM=21，解得EM=3. ∵AB=8.5，∴S△ABE=AB·EM=×8.5×3=. 20.(教材改编)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建? 【答案】解：如图所示，度假村的位置有1处， 点O处就是度假村的修建位置． 21.如图，在中，． (1)用尺规完成以下作图：作的角平分线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的面积． 【答案】解：（1）以为圆心，任意长度为半径作弧，分别交于，然后分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于一点，连接A和该点并延长交于点， 如图所示，即为所求． （2）过点作于，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 22.如图，∠AOB＝90°，P是∠AOB的平分线上一点，以P为顶点作∠MPN＝90°，分别交OA，OB于点M，N.求证：PM＝PN. 【答案】证明：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F. ∴∠PEM＝∠PFO＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∵OP平分∠AOB， ∴PE＝PF. ∵∠MPN＝90°， ∴∠FPN＋∠MPF＝90°， ∵∠EPM＋∠MPF＝90°， ∴∠EPM＝∠FPN. 在△PEM和△PFN中， ∴△PEM≌△PFN(ASA)． ∴PM＝PN. 学科网（北京）股份有限公司 $