4.2.1 等差数列的概念专项训练（五大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 围绕等差数列概念构建从定义判断到递推证明的完整训练体系，通过20道题实现概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断等差数列|4题（第1-4题）|结合通项与前n项和形式辨析|从概念本质出发，强化定义理解| |定义求通项公式|4题（第5-8题）|通过递推关系转化求通项|体现定义向公式的推导过程| |验证数列中的项|4题（第9-12题）|项的存在性与位置确定|逆向应用通项公式，培养模型意识| |基本量公式应用|4题（第13-16题）|首项公差的方程求解|突出方程思想，巩固公式体系| |递推关系证明|4题（第17-20题）|构造新数列验证等差性|深化转化思想，提升推理能力|

4.2.1 等差数列的概念 题型一 判断等差数列 1．已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义判断. 【详解】假设，其中为常数 对于A： 则为常数，所以是等差数列； 对于B： 则为常数，所以是等差数列； 对于C： 则，该式随变化，不是常数，所以不可能是等差数列； 对于D：当时，为常数列，是等差数列，所以可能是等差数列. 2．已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递减数列 C．若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】根据已知的递推关系，通过变形得到相邻两项的关系，进而判断数列的类型，再根据数列的性质逐一分析选项. 【详解】因为，则. 两边同时取倒数得， 即. 所以数列是等差数列.故选项D正确. 对于选项A，由选项D可知，数列是等差数列. 所以， 则，所以，且， 所以，故A正确. 对于选项B，因为， 所以 即对任意，，所以数列为递减数列，故B正确. 对于选项C，若成等差数列，则有， 即，化简得. 当时，满足，但， 即不成等差数列，故C不正确. 3．设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 【答案】 【详解】当时，， 当时，， 由是等差数列，得时也应满足，即， ，解得，所以的通项公式是. 4．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解； （2）裂项相消法求和即可 【详解】（1）两边取倒数得， 即，又，所以， 从而为首项为，公差为2的等差数列， 所以， 故， （2）， 所以. 题型二 利用定义求等差数列通项公式 5．在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 6．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列是递增数列 D．数列的前n项积为，则 【答案】ABD 【分析】对于A，对数列递推式依次取值计算即可判断；对于B，由递推式取倒数，利用等差数列定义即可判断；对于C，利用数列通项的增减性即可判断；对于D，求出的表达式，由对依次赋值比较即可判断. 【详解】对于A，由，，可得，，，，故A正确； 对于B，由和可知，两边同时取倒数可得， 即，故数列为等差数列，即B正确； 对于C，由B可得，则得，显然随着的增大， 逐渐减小，故数列是递减数列，即C错误； 对于D，依题意， ，因为， 当时，得，当时， ，而当时， ，则，故有，即D正确. 7．数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【分析】先通过将换为得到新等式，再与原式作差并结合化简，最后根据等差数列定义求出通项公式. 【详解】已知，当时，将换为得： 两式作差可得： ， 又因为，所以， 整理得：， 因为时，两边约去得： ，即是首项、公差的等差数列， 由等差数列通项公式可得： ， 当时也满足，故. 8．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，，则，即， 因此数列是公差为的等差数列， 又，则， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以数列的前项和． 题型三 验证是否为等差数列中的项 9．60是等差数列的（   ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第31项 【答案】B 【详解】等差数列的通项公式为， 令，得，则60是等差数列的第29项. 10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（     ） A． B．是数列的第8项 C．不是数列的项 D．是数列的第9项 【答案】AB 【分析】根据题意及等差数列的基本量法求出的通项公式，得到数列与的关系，进一步判断即可. 【详解】设数列的公差为. 由题意可知，，，于是. 因为，所以，所以，则. 所以，数列的通项公式是，故A正确. 数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列， 则. 令，解得. 所以，是数列的第8项，故B正确，CD错误. 11．A是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值是__． 【答案】8 【解析】根据条件从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，列举出满足条件的集合A中元素，即可得答案． 【详解】若1∈A，2∈A，根据从A中任取3个元素， 由小到大排列之后都不能构成等差数列可得：3∉A， 令4∈A，5∈A，则6∉A，7∉A，8∉A，9∉A， 令10∈A，11∈A，则12∉A， 令13∈A，14∈A，此时A中元素个数为8， 若元素个数为9，不妨将数字从小到大排列， 则由题意得：a3﹣a1≥3，a5﹣a3≥3，且a3﹣a1≠a5﹣a3，则a5﹣a1≥7； 同理a9﹣a5≥7进而a9﹣a1≥14，与已知中A元素的极差为13矛盾， 故A中元素个数的最大值是8 故答案为：8 12．在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【答案】(1)； (2)2026是数列中的项，第507项. 【分析】（1）利用已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而求项； （2）由（1）得，再结合已知求基本量判断是否为数列中的项，即可得. 【详解】（1）因为在等差数列中，，解得，， 所以； （2）由（1）得，令，得， 所以2026是数列中的项，即2026为中的第507项. 题型四 等差数列通项公式的基本量公式 13．已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由，得，两式相减得，解得. 14．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 15．已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（）， 因为，所以，解得， 则. 16．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知数列为等差数列，直接用即可求出公差，进而可求得通项公式. （2）使用裂项相消法即可求得的前项和. 【详解】（1），则公差， 则. （2）， 则， 即， 则 . 题型五 由递推关系证明数列是等差数列 17．设数列满足，，，若表示大于x的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（    ） A．6078 B．6079 C．6080 D．4052 【答案】B 【分析】首先构造出数列是公差为2的等差数列，利用累加法求出，进而求出的通项公式，结合的定义即可得出结果. 【详解】由，得， 故数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ，，显然满足上式，则， 故，故， 当时，，故， 所以数列的前2026项和为. 18．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 【答案】BC 【分析】由数列递推式得，则数列是首项为，公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式得到，可判断A、B；根据即可判断C；根据可求即可判断D. 【详解】，， 则数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，，故A错误，B正确； ，因为函数在单调递增， 所以是递增数列，故C正确； ， ，故D错误. 故选：BC. 19．已知数列，满足，则____ 【答案】 【分析】通过构造等差数列，结合等差数列的通项公式求解即可． 【详解】解：， ，即，， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ， ． 20．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念 题型一 判断等差数列 1．已知为公差不为0的等差数列，则下列各式所确定的数列不可能是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足：，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是递减数列 C．若，，成等差数列，则p，r，q也成等差数列 D．数列为等差数列 3．设等差数列的前n项和为，且，（为常数），则的通项公式是_______． 4．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 题型二 利用定义求等差数列通项公式 5．在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C．数列是递增数列 D．数列的前n项积为，则 7．数列的前项和为，，，则______. 8．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型三 验证是否为等差数列中的项 9．60是等差数列的（   ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第31项 10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则下面选项正确的是（     ） A． B．是数列的第8项 C．不是数列的项 D．是数列的第9项 11．A是集合{1，2，3，…，14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值是__． 12．在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 题型四 等差数列通项公式的基本量公式 13．已知在等差数列中，，，则公差的值为（    ） A．2 B． C． D．3 14．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 15．已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 16．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型五 由递推关系证明数列是等差数列 17．设数列满足，，，若表示大于x的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（    ） A．6078 B．6079 C．6080 D．4052 18．已知正项数列的首项，前项积为，且，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 19．已知数列，满足，则____ 20．记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $