精品解析：安徽省蚌埠市2025-2026学年高三上学期开学调研性监测数学试卷

蚌埠市2026届高三调研性监测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 3. 若双曲线的离心率为2，虚轴长为，则的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为3的正三角形中，点，分别在边，上，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 32 C. 40 D. 80 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知随机变量，随机变量，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则边上的中线长为2 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为_____． 14. 现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达（单位：亿元）与所用时间（单位：天）的数据： 累计票房 20 40 60 80 100 用时 4 7 9 10 15 （1）利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度； （2）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理． 参考公式：经验回归方程，其中． 相关系数． 参考数据：． 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）设，若点均在球的球面上且点在平面内． （i）求四棱锥的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极大值； （3）若，求证：的所有零点之和大于且小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市2026届高三调研性监测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的含义可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，进而由模长公式得到答案. 【详解】， 故. 故选：A 3. 若双曲线的离心率为2，虚轴长为，则的实轴长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题知离心率，虚轴长，根据双曲线的性质，结合推出，从而得出双曲线实轴长. 【详解】已知离心率，虚轴长为， 所以，. 由双曲线的性质可知，， 则，解得， 因为，所以， 所以双曲线实轴长为. 故选：C 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为等价的不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简题设函数，结合平移知识求解即可. 【详解】由， ， 则将函数的图象向右平移的最小正值为个单位长度，得到函数的图象， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 如图，在边长为3的正三角形中，点，分别在边，上，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以为基底表示出，再根据向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】依题意由可得, 所以， ; 因此. 故选：D 7. 已知的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 32 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】依题令，代入原式求得，写出二项展开式的通项，赋值即可求得展开式中的系数. 【详解】根据题意，在中，令，可得，解得， 则二项式的展开式的通项为，其中， 令，则展开式中的系数为. 故选：C. 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析易得在上单调递增，，进而结合单调性解不等式即可求解. 【详解】的定义域为，所以在上单调递增， 而， 所以， 由， 则，由的单调性可得， ，即，解得或， 故不等式的解集为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】借助于长方体模型可说明A,C错误；利用线面垂直的性质，面面平行的判定定理可判断B,D正确. 【详解】 对于A，如图，在长方体中，取直线分别为，平面为平面，显然满足，但是相交直线，故A错误； 对于B，根据线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两直线互相平行，可知B正确； 对于C，如上图，取直线为直线，平面为平面，平面为平面，显然满足，但,故C错误； 对于D，根据面面平行的判定方法，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知D正确. 故选：BD. 10. 已知随机变量，随机变量，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性判断A；利用正态分布和二项分布的期望性质建立方程，求解参数判断C；结合正态分布和二项分布的方差性质判断B，D即可. 【详解】对于A，因为随机变量，且， 所以结合正态曲线的对称性可得，故A正确； 对于C，由正态分布的期望性质得， 由二项分布性质得，而， 则，解得，此时随机变量变，故C正确； 对于B，由二项分布的方差性质得， 而，则， 由方差的性质得，故B错误； 对于D，由方差性质得，故D正确. 故选：ACD 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为直角三角形 C. 若，则边上的中线长为2 D. 若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，计算可得为直角可判断A；由已知可得，进而可求得可判断B；由已知可得，结合余弦定理可得，分别在和中利余弦定理可求得判断C；由已知求得，边化角可得，可求得范围判断D. 【详解】由条件，，利用正弦定理， 可知 ， 又，因此或（舍），所以． 选项A，，则，角为直角，所以为直角三角形，故A正确． 选项B，，而，由正弦定理，， 又，所以，则， 所以角为直角，所以为直角三角形，故B正确． 选项C，取的中点，由， 则，得． 由余弦定理，， 即，所以． 由，可得， 从而在和中分别用余弦定理，， 代入数据，， 解得边上的中线长为，故C错误． 选项D，为锐角三角形， 则，解得， 而由正弦定理， ， 令，函数在上单调递增， 又，从而的取值范围是，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算. 【详解】. 故答案为：1. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过点的直线与相交于两点，则的面积的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】设，联立方程组求出面积为，令，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率不为0，， 故设，， 联立得，， 则， 则， 故的面积， 令，则，等号成立时，， 故的面积的最大值为2. 故答案为：2 14. 现有个箱子，每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球，其余为黑球，在这个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】由条件概率公式，且从箱子中依次选出3个小球，每次选到黑球的概率相等及全概率公式即可得出. 【详解】记“选到第个箱子”为事件， “从箱子中依次选出3个小球且第3个小球是黑球”为事件，则， 每个箱子均有个小球，第个箱子中有个白球和个黑球， 又因为从箱子中依次选出3个小球，每次选到黑球的概率相等， 所以第3次选出的小球恰为黑球和第1次选出的小球为黑球的概率都是， 由全概率公式， , 解得． 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 7月1日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》在中国内地电影院线正式下映，结束了自今年1月29日以来153天的线下放映．据统计，《哪吒2》在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了《哪吒2》上映前15天累计票房到达（单位：亿元）与所用时间（单位：天）的数据： 累计票房 20 40 60 80 100 用时 4 7 9 10 15 （1）利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度； （2）求关于的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理． 参考公式：经验回归方程，其中． 相关系数． 参考数据：． 【答案】（1）两个变量具有很强的相关程度 （2），预测153天时的累计票房为1151.56亿元，该预测方法不合理 【解析】 【分析】（1）先计算，代入相关系数公式计算即可； （2）先计算，进而得经验回归方程，令，代入回归方程即可求解. 【小问1详解】 由题意有， 则 所以两个变量具有很强的相关程度． 【小问2详解】 由题意有， 所求经验回归方程为， 令，得， 预测153天时的累计票房为1151.56亿元，远超过实际票房，故该预测方法不合理． 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）由题可得，利用错位相减求得数列的前项和即可. 【小问1详解】 由条件，当时，， 所以累加得 又，所以， 取也成立，所以． 【小问2详解】 由， 相减，得， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，． （1）求证：平面平面； （2）设，若点均在球的球面上且点在平面内． （i）求四棱锥的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 由条件得，，则是线段的中垂线， 所以． 又平面， 所以平面，而平面， 故平面平面； （2）（i）4；（ii） 【解析】 【分析】（1）先得到，结合得平面，故平面平面； （2）（i）解法一：作出辅助线，得到四边形的面积，由面面垂直得到线面垂直，四棱锥的高为，并求出，由锥体体积公式得到答案； 解法二：先得到四棱锥的高为，建立空间直角坐标系，设，，其中，根据半径相等得到方程组，求出，从而利用锥体体积公式得到答案； （ii）解法一：作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，由余弦定理和三角函数可得，进而由余弦定理可得，得到答案． 解法二：建立坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出平面与平面夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）解法一： 如图所示，记与交于点，连接， 由题意，为四边形的外接圆圆心，即四点共圆， 由条件，可得是线段的中垂线， 所以，故， 则是四边形的外接圆直径，点为的中点． 因为，所以， 四边形的面积为． 取的中点，连接，则． 因为为的中点，所以． 由（1）知，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，即四棱锥的高为． 又平面，则，而， 所以， 四棱锥的体积为． 解法二：记与交于点，连接，由为的中点，所以． 由（1）知，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，即四棱锥的高为． 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是正三角形，可知，， 由点在平面内，设，，其中， 设，可得方程组， 解得，． 所以，四边形的面积为． 又，四棱锥的体积为． （ii）解法一：作，垂足为点，连接． 由为公共边，则， 所以且， 即为二面角的平面角． 由， 在中，由余弦定理，，则， 所以． 又，在中，由余弦定理，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 解法二：由（i）知，， 因为， 设平面的法向量为， 由，取，则， 所以平面的法向量为． 因为， 设平面的法向量为， 由， 取，则， 所以平面的法向量为． ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． （1）求抛物线的方程； （2）过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 【答案】（1） （2） （i）如图，设直线的方程为，并记点， 联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （ii）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 【解析】 【分析】（1）结合题意先判断在的中垂线上，再利用两点间距离公式建立方程求出，进而得到，最后求出抛物线方程即可. （2）（i）联立方程组求出和，再结合平面向量的数量积得到即可. （ii）利用三点共线求出，同理得到，再结合和建立方程，得到，进而确定定点即可. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为． 【小问2详解】 略. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的极大值； （3）若，求证：的所有零点之和大于且小于． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，并求出，得切点和切线的斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）对求导，通过导函数分析函数的单调性，进而得到的极大值； （3）对求导，结合的单调性，确定的零点，从而得函数的极值点分布.根据函数的单调性，结合零点存在定理即可确定函数的零点个数及范围，利用三角函数与指数函数的单调性得到的所有零点之和与的大小关系即可证得结论. 【小问1详解】 由得，，则， ∴切点为，切线的斜率， ∴所求切线方程为，即． 【小问2详解】 由，得． 令，得，解得或； 令，得，解得. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 故的极大值为． 【小问3详解】 由，得． 记，则， 记，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． ， 所以，使得， 当时，，从而； 当时，，从而． 所以在和单调递增，在单调递减， ， 所以，使得， 当时，，从而在和上单调递减； 当时，，从而在上单调递增． ， 所以存在两个零点和，且，从而． 由，得且， 由，知，从而， 而在上单调递增， 所以，从而． 综上可知，的所有零点之和大于且小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $