安徽省六安市毛坦厂中学东部新城校区2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三8月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知向量a=(1,1),b=(2,0),则a·(b-a)= A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知(1-i)z=1+3i,则z的共轭复数z= A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 3.样本数据8,3,12,5,9,15,6的上四分位数为 A.8 B.9 C.12 D.15 4已知椭圆C等+茶=1（®>>0）的两个焦点分别为R,5点P是C上除长轴端点外的动 点，若△PFF2的周长恒为6，面积的最大值为√3，则该椭圆的离心率为 B 2 c D.3 2 5.在正项数列{an}中，a1,a2,a3成等差数列，a2,a3,a4成等比数列，若a1=2,a4=9,则a3= A.4 B.5 C.6 D.7.5 6.若圆台的母线与下底面成45°角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为 S,上下底面积之和为8测暖 A号 B.32 C.2 5 n.3 数学第1页（共4页） 7.已知直角坐标系中的点集U={(x,y)Ix2+y2=1},A={(x,y)∈UIx+y>1},B={(x,y)∈ Uy>√3x},则A∩B中的点形成的曲线长度为 A石 B丑 C. D牙 8.已知函数fx)=aln(x+√2+1)-2x,集合A={xff(x)=x},B={xf(x)=x},若A≠ B,则实数a的取值范围是 A.（-0,1) B.（-∞，3) C.(1,+∞) D.（3,+∞) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.记等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=3,S6=-21,则 A.{an}的公比g=-2 B.{an}是递减数列 C.an=(-2)n-1 D.Sn=1-(-2)" 10.已知函数f(x)=Isin xl cosx+|cos xlsin x,则下列说法正确的是 A.f(x)的值域为[-1,1] B.f(x)的最小正周期为π C八x)在平，引上单调递减 D.(x)的图象关于直线x=T对称 4 11.定义：过曲线上一点且垂直于曲线在该点处的切线的直线，称为曲线在该点处的“法线”. 已知A,B,C是抛物线E:x2=y上不重合的三个点，且E在A,B,C三点处的法线交于一点 P,若点A的横坐标为-1，则下列说法正确的是 A.E在点A处的法线方程为x-2y+3=0 B.B,C两点的横坐标之和为1 C点P的纵坐标最小值为 D.若点P在y轴上，则△ABC一定是等腰三角形 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 122-的展开式中，常数项为 13.已知函数f(x)=e-ax,若曲线y=f(x)的任意一条切线都与直线y=x相交，则a的取值 范围为 14.已知正四面体ABCD的棱长为2√3，球O与正四面体ABCD的四个面分别相切于点E,F, G,H,P为球0的球面上一点，则PA2+PE2+PF2+PG+P的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2B+sin2C-sin2A=√3 sin Bsin O. (1)求A; (2)若6=4，mC-3求△0c的面积 16.(15分) 如图，在三棱维0-ABC中，棱OA,OB,OC两两互相垂直，且OA=OB=2,OC=4.点P是 AB的中点，点Q是棱OC上的一个动点. (1)证明：PO LAB; (2)若直线AQ与平面ABC所成角的正弦值为？， ,求线段0Q的长. 0 C2- 数学第3页（共4页） 17.(15分) 已知双曲线C:若-冷1(a>0,6>0)的离心率为2，过C的右顶点T作七轴的垂线，与C 的两条渐近线分别交于点M,N,且IMNI=2√3. (1)求C的方程； (2)过点T作两条互相垂直的直线1，l2,分别交C于点A,B(A,B均异于T),证明：直线 AB过定点. 18.(17分) 已知an=2n-1,集合2={a1,a2,…,a2m},其中m是不小于3的正整数，从2中随机抽取 3个不同的元素a:,ak,a(i<k<j). (1)若m=3,记a:,@,a中数值大于6的元素个数为X,求X的分布列； (2)对于任意的m,求a:,ak,a成等差数列的概率； (3)对于任意的m,若已知a:,ak,a;成等差数列，求a:+ak+a>6m的概率. 19.(17分) (1)分析函数fx)=n(x+1)-2x,的单调性； x+2 (2)证明：当0<x<1时，tanx<x+x3; (3)证明：amn十+am月 1 ann+2+…+an2n 1<I2,nEN'. 数学第4页（共4页）》 高三8月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查平面向量的坐标运算. 解析a·(b-a)=(1,1)·(1,-1)=1×1-1×1=0. 2.答案D 命题透析本题考查复数的基本概念与四则运算， 解折产得二得骨1+2所以1-2 3.答案C 命题透析本题考查上四分位数的概念与计算 解析这组数据从小到大排序为3,5,6,8,9,12,15，由7×75%=5.25知上四分位数为第6个数，即12 4.答案A 命题透析本题考查椭圆的几何性质. 解析由题意得2a+2c=6,bc=5且a2=b2+c2,联立得(c-1)2(2c+1)=0,解得c=1(负值舍去)，则a=2, c 1 e=a-2 5.答案C 命题透析本题考查等差数列与等比数列的概念， 设4,4，a是公比为qq>0)的等比数列，则a,号4，=号又因为a,+a=2a,所以2+ 99 2,解得9=子，则4-号=6 6.答案B 命题透析本题考查圆台的结构特征及相关计算. 解析圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r,则下底面半径为2r,由圆台的母线与下底面成45°角，可知 圆台的商为，则线长为1=2，所以8+2)）=32f,8=2+4r=5m,所以受-3号 7.答案A 命题透析本题考查直线与圆的方程、集合的表示与交运算 解析集合U表示单位圆上的，点集，A表示单位圆在直线x+y=1上方的圆弧，B表示单位圆在直线y=√3x上 方的圆弧，如图，4门B表示的圆孤如图中实线部分，圆心角为石，弧长为若×1=石 y=√5x x+=1 8.答案C 命题透析本题考查导数与逻辑关系： 解析若x∈B,则f代x)=x,则必然有f(f代x))=f(x)=x,故x∈A,即BCA.若A≠B,则B是A的真子集，即集 合A中存在不属于集合B的元素.设存在1，使得ff(x1)=x1,但f(x)≠x1,此时我们记f(x)=x2（x1≠x2), 因为ff代x1))=f代x2)=x1,所以f(x1）+x1=f(x2)+2.构造函数F(x)=f(x)+x=aln(x+x2+1)-x, ()L.若a≤1，由于+1≥1，所以“三，F'()0.)单调递减.不可能有()于 x+1 F(x2),矛盾.若a>1,F'(0)=a-1>0,当x→+0时，F'(x)<0,则F'(x)在(0，+∞)存在零点，可得F(x)在 (0,+∞)存在极值点，F(x1)=F(x2)可能成立.所以a的取值范围是(1，+∞). 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题透析本题考查等比数列及其前n项和. 解析对于A,由等比数列前n项和的性质可得S6=S3+gS,即-21=3+3g3,得g=-8,解得q=-2,故A 正确； 对于B,由A知，数列的项正负交替出现，所以{an}是摆动数列，不是递减数列，故B错误； 对于C,由S1二g代人g三-2，S=3,可得a=1,所以a,=a·9=(-2)-,故C正确； 对于D51-劣12少，放D指误 1-g 1-(-2) 10.答案ACD 命题透析本题考查三角函数相关知识， 解析对于A,当xe[0,]时，f(x)=2 2sin=sin2xe[0,1],当xe[受，m]时，f(x)=sin xcos 2 in xco=0,当xe[m,]时)=-m2xe[-1,0],当xe[m,2]时)=--sin+nsx 0,根据上述分析易得A正确； 对于B,f代x)的最小正周期为2π，故B错误； 对于C,当xe[平，]时，2x∈[，m]x)=in2x单调递减，故C正确； 对于D,分段作出()的图象，可知该图象关于直线=平对称，也可以由f受-sm(受-儿： cos(牙-x+cos(牙-xsim(牙-x=lcos sin+1 sin=x),知x)的图象关于直线x=牙对 称，故D正确。 11.答案ABD 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系， 解析对于A,由已知得A(-1,1),抛物线方程为x2=y,求导得y'=2x,所以E在点A处的切线斜率为-2， 法线斜率为分，可知法线方程为y-1=(x+1),即x-2+3=0,故A正确； 对于B,由A项知点P在直线x-2y+3=0上，可设P(2m-3,m),设B(xB,x),C(xc,x2),xg≠xc≠-1，根据 法线的定义，可得E在点B处的法线方程为x+2xgy=2x+xg,将P(2m-3,m)代人，得2m-3+2mxB= 2x8+xg,整理得2m(xB+1)=2x日+xB+3=（xB+1)(2x8-2xg+3),因为xg≠-1，所以2m=2x8-2xg+3,同 理可得2m=2x2-2xc+3,于是xB,xc是关于x的一元二次方程2x2-2x+3=2m的两个不同的实根，由根与 系数的关系可知xB+xc=1,故B正确； 对于C,若点P的纵坐标为子，即m=子，由B项的分析知k是关于x的一元二次方程2x-2x+3=2m 的两个不同的实根，当m=子时，4=0，。==7，不符合题意，放C错误； 对于D,若点P在y轴上，则m=号，由方程22-2x+3=2m,解得x=1或x=0,则点B和C中-个点与原点 重合，另一个点为(1,1)，易知此时△ABC一定是等腰三角形，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案60 命题透析本题考查二项式定理的应用， 解析展开式的道项又1=C(2x)-(-方=2-(-1)C-寺，令6-k-兰=0，得k=4,所以常数项 为T,=22C6=4×15=60. 13.答案(-0，-1] 命题透析本题考查导数的几何意义， 解析。原条件等价于f'(x)=1无实数解，因为f(x)=e-a,所以e=a+1无实数解.又因为e>0,所以a+ 1≤0，即a≤-1. 3 14.答案12 命题透析本题考查立体几何与向量相关知识 解析设球0的半径为，正四面体的高为，易知r=冬，记O成=a,0示=b,0心=c,0i=d,亦=e,由对称性 可知a+b+c+d=0,PE2+Pr2+PG+Pf=(0-0i)2+(O-O)2+(O-0元)2+(O-0i)2=41e12+ Ia2+Ib2+Ic2+Id2-2e·(a+b+c+d)=8r2,为定值，所以要求PA2+PE2+PF2+PG+P的最大 值，即求PA的最大值，又因为PA的最大值为，故所求的最大值为82+2=弓.正四面体的棱长为2万， 则=√25)2-(25×】 =22,所以PA2+PE2+PF2+PG2+P的最大值为12. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用， 解析（1)将正弦定理品品B代人已知条件， b 得62+c2-a2=5bc. …(2分） 由余弦定理得cosA=6+c-d=5c-区 2be Γ2 (4分) 因为Ae(0,π)，所以A=T (5分) 6 2由wc-,可得血c=(可-资 …(7分) 又mB=sn(g-(=sincsC-cwnc 6 6 14 2 14-7, (9分) 所以c=sinC 4x⑦ 14_23 I EEEEE I EE EEEEEEEEE I EE I EEEEE S EE I E (11分) sin B /21 3 7 放△Bc的面积5=csnA=之×4×2x分-25 3×2= 3 …(13分) 16.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用. 解析(1)如图，连接OP 因为OA=OB,P是AB的中点，所以OP⊥AB. (1分) 因为OC1OA,OC⊥OB,且OA∩OB=0,所以OC⊥平面OAB, 因为ABC平面OAB,所以OC⊥AB.… …(4分) 又因为OPnOc=O,所以AB⊥平面OPC, 因为PQC平面OPC,所以PQ⊥AB. (6分) (2)如图，以0为坐标原点，0元，0,0的方向分别为x,y,2轴的正方向建立空间直角坐标系.…(7分) 一4 Oi- 由已知可得A(0,0,2),B(0,2,0),C(4,0,0),P(0,1,1) …(8分)》 设10d1=m(0≤m≤4)，则Q(m,0,0),40=(m,0,-2),A店=(0,2，-2)，A元=(4,0，-2).…(9分) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), rn·AB=0,ny-z=0, 由 得 m·A元=0,12x-z=0, 取n=(1,2,2）.… (11分) 设直线AQ与平面ABC所成的角为0， 则sim0=1n·A0=m-41 …(13分) 1nl·1A013√m2+4 令1m-4L- 3m2+4 号，解得m1 故线段0Q的长为1.… …(15分) 17.命题透析本题考查双曲线的几何性质及双曲线与直线的位置关系. 解析(1)C的渐近线方程为y=么x和y=-么x, 0 a 将x=a分别代人渐近线方程，得y=±b,所以1MW1=2b. 又1MW1=23,所以b=√5， (3分) 又C的离心率e=合+B=2,得a=L, a 故C的方程为-气三山.…（⑤分） (2)易得T(1,0),设AB:x=my+(t≠1)，A(x1y1),B(2,y2). x2_ l得(3m2-)y+6my+3-3=0, (7分) [x=my +t, -6mt 32-3 则3m-1≠0,4>0→3m2+-1>0,且1+为=3m-h=3m-i 所以=m+m(+)+2=3m2- 3m2-1,5+x2=m(y1+y2)+2t=3m2. …(10分) 则T.T店=(x1-1)(x2-1)+yy2=x2-(x+2)+1+12 =-3m2--,2+1+ 32-3 3m2-13m2-13m2-1 -5 =2(2+t-2) …(（12分） 3m2-1 因为12，所以2+t-2=0,解得t=1(舍去)或t=-2,…(13分) 所以AB:x=my-2,故直线AB过定点(-2,0).…(15分) 18.命题透析本题考查等差数列的基本性质，随机变量及其概率的计算 解析(1)当m=3时，2={1,3,5,7,9,11}，共有6个元素，且其中大于6的元素有3个.…(1分) 所以X的所有可能取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布，P(X=r)= …(3分) 故X的分布列为 0 2 3 1 9 9 1 20 20 (5分) (2)设事件“a:,ak,a成等差数列”为A. 从2中随机抽取3个不同的元素，有C2种情况 (6分) 若a,4吗成等差数列，则a,品士兰，可得k-生，因为k为正整数，所以+7为偶数必须同为奇数或同 为偶数 因为1,2,3，…，2m中奇数和偶数各有m个，所以满足事件A的取法有2C2种.…(8分) 2C2 故P(A)= m(m-1) 3 2m(2m-1)m-1D-2(2m-1) …（10分） 3 (3)设事件“a:+a:+a>6m”为B,所求概率为P(B1A)=PAB ΓP(A) 由(2)知，满足事件A的取法种数为2C2=m(m-1),下面只需要求出满足事件AB的取法种数. 当a,a,4,成等差数列时，a+a:+a;=3a:=6k-3,由6k-3>6m,得k>m+2 (12分) 因为i<k<j,所以m+2<k<2m,即k的所有可能取值为m+1,m+2,…,2m-1,当k的值确定时i的可能 取值有(2m-k)种，再由i=2k-j确定i. 所以符合事件AB的取法种数为 [2m-(m+1)]+[2m-(m+2)]+…+[2m-(2m-1)]=(m-1)+(m-2)+…+1=m(m-1） 2 …（15分） m(m-1)】 故所求概率为P(B1A)=m(m-)=2 2 (17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式. 解析（1)f(x)的定义域为(-1，+0)，…(1分) 6 '(x)=1-2x+2)-2-1-4 +灯(x+2y2+1(x+2)(x+1）0x+220.…（3分） 故f(x）在(-1，+∞)上单调递增。…(4分)） (2)设u(x)=x+x3-tanx, 因为(tamx）'=(血=osx+mx=1+tam2x, cos coS'x 所以u'(x）=3ax2-tan2x=(5x-tanx)(3x+tanx）.… (5分) 设v(x)=√3x-tanx,则v'(x)=√3-1-tan2x, 当0<x<1时，anx单调递增，且anxe(0,an1),注意到平<1<牙，所以1<ian1<万， 所以'(0)=√3-1>0，'(1)=√5-1-tam21<√3-2<0， 故存在唯一的xo∈(0,1)，使得'(x）=0, 则(x)在(0，xo)上单调递增，在(o,1)上单调递减. ……(7分) 又v(0)=0,x(1)=3-tan1>0,所以当0<x<1时，v(x)=√3x-tanx>0,…(8分) 又当0<x<1时，显然有3x+tanx>0,所以w'(x)>0, 所以u(x)在(0,1)上单调递增。… (9分) 所以当0<x<1时，u(x)>u(0)=0,即tanx<x+x3.…(10分) (3)①在(2)所证的结论中，令x=(keZ,且≥2)，得m方<有+ 11,1 ，…(11分) ②当k≥2时，+<229(2k-0(2+1)<2台-(6-12<0.…(2分》 ③油(1)知，当x>0时，f(x)>f0)=0,即h(x+1)>2x x+2 2 令=ez.且≥2)，得（六+）小可 了+2 整理得72<h合=n长-h(么-1.… (14分) 综合①②③，得tan 1↓<lnk-n(k-1）.…(15分） 1 n+2+…+iam2元 <n(n+1)-nn+ln(n+2)-ln(n+1)+…+ln(2n)-n(2n-1) =ln(2n)-hn=ln2.…(17分） 一7 高三8月数学答题卡 班级 姓名 考场号 座位号 考生号 贴 1.答题前，务必先认真核对条形码上的个人信息，无误后将本人信息填写在 注 相应位置。 2.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写；作图时，可用2B铅笔： 意 条形 笔迹要清晰；选择题填涂时，必须用2B铅笔按■图示规范填涂。 象 3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效：在草稿 码 项 纸上答题无效。 4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上作任何标记，严禁使 区 用涂改液和修正带。 此栏禁填禁影☐由监考员贴条形码，并用28铅笔填涂左边的缺考标记。 选择题 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 9[A][B]【C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]【D] 10[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4【A]【B][C][D] 8[A][B][C][D] 非选择题 三、填空题 12. (5分) 13. (5分) 14. (5分) 四、解答题(77分) 15.（13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第1页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 续15 16.(15分) ! Q 0 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第2页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第3页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第4页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 续18 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第5页共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 续19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色边框的答案无效 数学第6页共6页