26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）导学案 2026-2027学年 人教版数学九年级上册

课题

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（1）

学科

数学

年级

年级上册

知识目标

1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想.

2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.

重点难点

重点：会用公式法和配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴

难点：会通过图像判定a、b、c及相关代数式的符号问题

学习过程

知识链接

 1、你能从抛物线y=-4(x-2)2+1中知道什么？这种形式有什么优势？

2、你能用配方法解一元二次方程-x2+2x+1=0吗？试一试，说出具体的方法和步骤.

合作探究

问题1:能否将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式?

配方，化为顶点式

想一想：这个配方过程与一元二次方程的配方过程有何不同之处？

问题2：你能说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标吗？

问题3：二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2怎样平移得到的？

问题4：画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．

解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．

列表：

问题：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式？

y=a             (提取二次项系数）

                          ](配方）

          ）2+       ]（化为完全平方式）

          ）2+           （化为y＝a(x－h)2＋k）

顶点坐标为                     ，对称轴方程为                  。

由此可见函数y=ax²+bx+c的图象与函数y=ax2的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。

2、二次函数y=ax²+bx+c的图象特征。

（1）二次函数 y=ax²+bx+c( a≠0)的图象是一条_______；

（2）对称轴是直线x=__________，顶点坐标是为___________

（3）当a>0时，抛物线的开口向_____，顶点是抛物线上的最______点。

当a<0时，抛物线的开口向_____，顶点是抛物线上的最_____点。

（4）最值：当a>0时，x=-,函数有最____值是：_______

当a＜0时，x=-,函数有最______值是：_________

（5）增减性：

①若a＞0，当x>时，y随x的增大而_______；

   当x<时，y随x的增大而_______。

②若a＜0，当x>时，y随x的增大而_______；

当x< 时，y随x的增大而________。

例1、当x取何值时，二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？

二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：

如右图：对称轴在y轴左侧，x＜0

a1_________0      b1______0    c1______ 0

对称轴在y轴右侧，x＞0

a2________0   b2____0    c2______0

如右图：对称轴在y轴，x=0

 a3_________0      b3______0    c3______ 0

对称轴在y轴右侧，x＞0

a4________0   b4____0    c4______0

总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系