26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）导学案 2026-2027学年 人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质，引导学生掌握一般式转化为顶点式的方法，理解图像的顶点坐标、对称轴及性质。通过知识链接回顾顶点式优势和一元二次方程配方法，搭建新旧知识支架，实现平稳过渡。 导学案以合作探究为核心，对比配方过程、分析图像平移培养转化思想与几何直观（数学眼光），结合例习题训练a、b、c符号推理（数学思维），分层设计的自主尝试与检测题帮助学生构建知识体系，发展模型意识（数学语言），提升学习效率与学科素养。

《26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（1）》导学案 课题 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（1） 学科 数学 年级 年级上册 知识目标 1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想. 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想. 重点难点 重点：会用公式法和配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴 难点：会通过图像判定a、b、c及相关代数式的符号问题 学习过程 知识链接 1、你能从抛物线y=-4(x-2)2+1中知道什么？这种形式有什么优势？ 2、你能用配方法解一元二次方程-x2+2x+1=0吗？试一试，说出具体的方法和步骤. 合作探究 问题1:能否将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式? 配方，化为顶点式 想一想：这个配方过程与一元二次方程的配方过程有何不同之处？ 问题2：你能说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 问题3：二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2怎样平移得到的？ 问题4：画二次函数y＝x2－6x＋21的图象． 解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________． 列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y＝x2－6x＋21 … … ( 问题 5 ： 抛物线y＝ x 2 向 平移 单位，再向 平移 单位得到抛物线 y＝ x 2 － 6x ＋ 21． 从图象可知： 当x 时，y随x的增大而减小； 当x 时，y随x的增大而增大 ) 问题：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式？ y=a (提取二次项系数） ](配方） ）2+ ]（化为完全平方式） ）2+ （化为y＝a(x－h)2＋k） 顶点坐标为 ，对称轴方程为 。 由此可见函数y=ax²+bx+c的图象与函数y=ax2的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数y=ax²+bx+c的图象特征。 （1）二次函数 y=ax²+bx+c( a≠0)的图象是一条_______； （2）对称轴是直线x=__________，顶点坐标是为___________ （3）当a>0时，抛物线的开口向_____，顶点是抛物线上的最______点。 当a<0时，抛物线的开口向_____，顶点是抛物线上的最_____点。 （4） 最值：当a>0时，x=-,函数有最____值是：_______ 当a＜0时，x=-,函数有最______值是：_________ （5）增减性： ①若a＞0，当x>时，y随x的增大而_______； 当x<时，y随x的增大而_______。 ②若a＜0，当x>时，y随x的增大而_______； 当x< 时，y随x的增大而________。 例1、当x取何值时，二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？ 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 如右图：对称轴在y轴左侧，x＜0 a1_________0 b1______0 c1______ 0 对称轴在y轴右侧，x＞0 a2________0 b2____0 c2______0 如右图：对称轴在y轴，x=0 a3_________0 b3______0 c3______ 0 对称轴在y轴右侧，x＞0 a4________0 b4____0 c4______0 总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 例2、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 自主尝试 1、填一填 2、二次函数中，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时， y随x的增大而减小. 3、二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4） 4、根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 5、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图关于该二次函数，下列说法错误的是(　 　) A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x＝ C. 当x＜，y随x的增大而减小 D. 当－1＜x＜2时，y＞0 6、已知函数y=x2-3x+，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。 7、 已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是(　　) 8、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 当堂检测 1、已知函数y=-2x2+x-4,当x=_________时，y有最大值_________. 2、在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数 y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是(　　) 3、 已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( ) A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 4、将抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，则b＝____　，c＝_____　. 5、已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，在下列5个结论中： ①2a-b＜0 ②abc＜0 ③a+b+c＞0④a-b+c＜0 ⑤4a-2b+c＞0，正确的有______ 6、如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ 小结反思 1、函数的图象在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 2、函数的解析式类型： 一般式： 。 顶点式：。 《26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（1）》导学案 课题 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（1） 学科 数学 年级 年级上册 知识目标 1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想. 2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想. 重点难点 重点：会用公式法和配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴 难点：会通过图像判定a、b、c及相关代数式的符号问题 教学过程 知识链接 1、你能从抛物线y=-4(x-2)2+1中知道什么？这种形式有什么优势？ 2、你能用配方法解一元二次方程-x2+2x+1=0吗？试一试，说出具体的方法和步骤. 我们已经知道二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质，那么能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质呢？ 合作探究 问题1:能否将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式? 配方，化为顶点式 想一想：这个配方过程与一元二次方程的配方过程有何不同之处？ 二次函数是提出二次项系数a,而方程是两边同时除以二次项系数a 问题2：你能说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.也就是说y=x2-6x+21对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3） 问题3：二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2怎样平移得到的？ 答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 问题4：画二次函数y＝x2－6x＋21的图象． 解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________． 列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y＝x2－6x＋21 … … ( 问题 5 ： 抛物线y＝ x 2 向 平移 单位，再向 平移 单位得到抛物线 y＝ x 2 － 6x ＋ 21． 从图象可知： 当x 时，y随x的增大而减小； 当x 时，y随x的增大而增大 ) 问题：对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？学生有难度时可启发：通过变形能否将y=ax²+bx+c转化为y = a(x+m)2 +k的形式？ = 由此可见函数y=ax²+bx+c的图象与函数y=ax2的图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数y=ax²+bx+c的图象特征。 （1）二次函数 y=ax²+bx+c( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=-，顶点坐标是为(-，) （3）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 （5） 最值：当a>0时，x=-,函数有最小值是： 当a＜0时，x=-,函数有最大值是： （5）增减性： ①若a＞0，当x>时，y随x的增大而增大； 当x<时，y随x的增大而减小。 ②若a＜0，当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大。 例1、当x取何值时，二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？ 解法一（配方法）： y=2x2-8x+1=2(x2-4x)+1=2(x2-4x+4-4)+1 =2(x-2)2-7≥-7 所以当x＝2时，y最小值=-7 。 解法二（公式法）： 因为a＝2＞0，抛物线y=2x2-8x+1有最低点，所以y有最小值， 所以当x＝=2时，y最小值=-7。 总结：求二次函数最值，有两个方法：(1)用配方法；(2)用公式法。 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0 )的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： 如右图：对称轴在y轴左侧，x＜0 a1_________0 b1______0 c1______ 0 答案：＞、＞、＞ 对称轴在y轴右侧，x＞0 a2________0 b2____0 c2______0 答案：＞、＜、= 如右图：对称轴在y轴，x=0 a3_________0 b3______0 c3______ 0 答案：＜、=、＞ 对称轴在y轴右侧，x＞0 a4________0 b4____0 c4______0 答案：＜、＞、＜ 总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 例2、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)D A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 自主尝试 1、填一填 答案：（1,1） 、 直线x=1、 1 （0， -1）、 y轴、 -1 （-，-6）、 直线x=-、 -6 2、二次函数中，当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时， y随x的增大而减小.答案：＜-2、 ＞-2 3、二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　）A A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4） 4、根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 答案：对称轴：直线x=-1，顶点坐标（-1,3） 答案：对称轴：直线x=2，顶点坐标（2,1） 答案：对称轴：直线x=2，顶点坐标（3，-5） 5、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图关于该二次函数，下列说法错误的是(　 　)D A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x＝ C. 当x＜，y随x的增大而减小 D. 当－1＜x＜2时，y＞0 6、已知函数y=x2-3x+，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。 解：∵a=＜0 ∴抛物线开口向下， ∵x==-3 ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 7、 已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示,其中正确的是(　　)D 8、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）A A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 当堂检测 1、已知函数y=-2x2+x-4,当x=_________时，y有最大值_________.答案：、- 2、在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数 y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是(　　)D 4、 已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： 则该二次函数图象的对称轴为( )D A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 4、将抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，则b＝____　，c＝_____　.（答案：2、0） 5、已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，在下列5个结论中： ①2a-b＜0 ②abc＜0 ③a+b+c＞0④a-b+c＜0 ⑤4a-2b+c＞0，正确的有______ 答案：①②④ 6、如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确（ ）B A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ 小结反思 1、函数的图象在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 2、函数的解析式类型： 一般式： 。 顶点式：。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $