湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题

长沙市南雅中学高三年级2023年下学期入学检测 数学 时量：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 集合且，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（ ）（，） A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年 6. 等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 150 7. 某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（ ） A. 96 B. 110 C. 112 D. 128 8. 过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若a，b，，，则下列不等式恒成立是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 11. 某通信工具在发送､接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（ ） A. 已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为 B. 在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49 C. 在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.96 D. 在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为 12. 如图，棱长为2的正方体的内切球为球O，E､F分别是棱AB和棱的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有（ ） A. 存在点G，使 B. 对于任意点G，平面EFG C. 直线EF的被球О截得的弦长为 D. 过直线EF的平面截球О所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，，若∥，，则______. 14. 若为偶函数，则实数______. 15. 设双曲线的右焦点为，以线段（为坐标原点）为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点，且，则双曲线的离心率为__________． 16. 已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为______. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知为等差数列，且公差，是和的等比中项. （1）若数列的前m项和，求m的值； （2）若，，，，…，成等比数列，求数列通项公式. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角的大小； （2）设边上的高，求面积的最小值． 19. 如图，圆锥的高为3，是底面圆的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知动圆过定点，且在y轴上截得弦长为4. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）过点的直线l与轨迹C交于A，B两点，若点满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，求的值. 21. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为．解不等式． 22. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩近