河南省部分普通高中2026-2027学年高一上学期开学联考数学试题

**基本信息** 2026年河南高一开学联考数学卷，以扶贫资金增长、餐厅菜品打分等现实情境为载体，通过新定义运算、几何动态问题等设计，分层考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配开学知识衔接检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/60|函数、概率、统计图表|第2题结合扶贫资金增长考查数学建模| |填空题|6/30|因式分解、新定义运算|第18题以“超过实数的最小整数”考查抽象思维| |解答题|6/60|函数应用、几何证明、抛物线综合|第24题花卉销售问题体现数学语言表达现实世界|

2026年8月河南省普通高中高一年级开学联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 D D C A B 题号 6 7 8 9 10 答案 C C C D C 题号 11 12 13 14 15 答案 D C D D A 1．D 【详解】根据相反数的定义，的相反数为3. 2．D 【分析】根据题中所给的条件，用2024年的扶贫资金为万元分别表示2023年与2025年的扶贫金额，最后再相加即可求解. 【详解】设2023年的扶贫资金为万元，2025年的扶贫资金为万元 所以3年总金额为. 3．C 【详解】∵ 是一元二次方程 的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 又， 代入，得，解得， 将 代入，得 ， ∴，即，整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 4．A 【详解】因为二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是， 由对称性可知二次函数与轴的一个交点是， 由图象可知不等式的解集是或. 5．B 【分析】根据新定义逐个运算可得答案. 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，， 若，由定义可得，当时，可得； 若，由定义可得，当时，可得，成立， 所以，，或，故②错误； 对于③，当时，，所以，， ，故③错误； 对于④，若， 当即时，得，解得， 所以； 当即时，得，解得， 所以； 综上，的取值范围为，故④正确. 其中正确的是①④. 6．C 【分析】先计算出各自的4张卡片向上一面的数字和，设甲拿了张种卡片，张种卡片，得到，结合甲的4张卡片数字和减小了1可得到方程，联立求解即可. 【详解】8张卡片数字总和为， 设各自的4张卡片向上一面的数字和为，则，解得， 即甲的4张卡片向上一面的数字和为3，则向下一面的数字和为. 设甲拿了张种卡片，张种卡片，则， 设甲的张种卡片中有张正面朝上，张种卡片中有张正面朝上， 则总减少量，正面数字和为. 又，为非负整数，则，或，. 当，时，代入减少量式子得，与联立解得，. 当，时，代入减少量式子得，与联立解得，. 均满足题意， 所以甲拿取A卡片的数量为3张. 7．C 【分析】求出用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果数，并找出“平稳数”个数即可求解 【详解】依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数可能结果有： 123，132，213，231，312，321共六种可能， 只有123，321是“平稳数”， ∴用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为. 故选：C. 8．C 【分析】计算，比较大小即可求解. 【详解】由题意有：， ，， 所以， 故选：C. 9．D 【分析】根据平均数、众数、方差、中位数等知识确定正确答案. 【详解】学生读书的册数的众数为，B选项错误. 个数据，中间两个数据是第个与第个， 所以学生读书的册数的中位数是，D选项正确. 学生读书的册数的平均数为，A选项错误. 学生读书的册数的方差为， 所以C选项错误. 故选：D 10．C 【分析】由图（1）中的人数比可得出在扇形统计图“足球”项目所占比例，即可求得其对应的圆心角度数. 【详解】由图（1）可知，篮球人数为20，扇形统计图(2)中占比为， 足球人数为10，则在扇形统计图(2)中占比应为， 整个扇形统计图的圆心角为，所以“足球”项目扇形的圆心角的度数为. 故选：C 11．D 【分析】根据平行与角度的关系可得,再设列式求解即可. 【详解】因为,易得,,故. 设,则. 故正方形的边长为. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用相似求解线段长度的方法,需要根据平行与相似分析三角形的边的比例的关系,属于基础题. 12．C 【分析】设正方形的边长为2a，，则，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】设正方形的边长为2a，，则， 由题意可得，， 在中，则， 即，解得， 因为，则， 又因为，则， 所以． 故选：C． 13．D 【分析】设与轴交于点，由题设可得坐标及，然后由射影定理及题设可得坐标，据此可得答案. 【详解】因，轴，，则， 由，可得，则， 设交轴于点,因轴，则,又， 由射影定理可得，又由题可得，则得, 又点在第二象限，从而点横坐标为，易得. 因点在反比例函数图象上，则，得. 14．D 【分析】令得，则，再求和即可. 【详解】过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； 令，可得：纵坐标为纵坐标为， ，， ， . 故选：D. 15．A 【分析】根据题意建立函数关系，结合二次函数的性质判断即可. 【详解】由题意知，为等腰直角三角形，则， 则正方形的边长为. 当正方形的底边刚好碰到时，，解得， 即两段函数的分界点. 当时，正方形完全在内部，重合面积就是正方形面积， 则，这是开口向上的抛物线，且递增，当时，. 当时，正方形一部分伸出三角形外， 重合面积为， 这是开口向下的抛物线，顶点在处，面积先增后减，最大值为，此时. 综上，当时，函数图象为开口向上且递增的抛物线，当时，； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，先增后减，当时，. 故选项A符合. 16． 【详解】由立方和公式得. 17． / 【详解】原式. 18． 【详解】由题设，等价于，即. 19． 【分析】根据已知及三角形面积的求法列方程可得，进而得到，再求出，应用三角形面积公式求面积. 【详解】由且轴，则，可得， 所以，故，所以， 由轴，，则，故， 所以. 故答案为： 20．24 【分析】设，连接，推导出，，可得，，结合三角形相似可得，进而可得，再证明，结合三角形相似的性质运算求解. 【详解】设，连接， 因为是的直径，弦与交于点，的切线与的延长线交于点， 则，，，可得， 又因为为EF的中点，则，可得， 因为，，则， 可得，， 又因为，则， 且，，则， 结合可知，则， 可得，即，解得或（舍去）， 则，， 可得，则， 又因为，，则， 可得，则， 所以． 21． 【分析】根据正五边形的性质，可求得各个角度，进而可得相似于，计算可得的长，则所求落在阴影部分概率，即为阴影面积与正五边形面积之比，即可得答案. 【详解】因为正五边形， 所以每个内角度数为， 即， 所以在中，， 因为， 所以，则， 所以， 所以， 所以， 设， 因为，， 所以相似于， 所以，即，解得（负值舍去）， 所以， 则这个点取在阴影部分的概率. 故答案为： 22．（1）；（2），-6；（3）， 【分析】（1）根据对应运算法则计算求解即可； （2）先解不等式组，再找出符合的整数，并求和即可； （3）先化简，再代入求值即可. 【详解】（1）原式. （2） 解不等式①得； 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组所有整数解的和为. （3） ， 当时，原式. 23．(1)， (2)女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据中位数，众数以及优秀的定义，即可求解， （2）根据中位数以及众数的大小比较即可求解， （3）由优秀率即可计算得解. 【详解】（1）由扇形图可知：A组和B组的人数一共有个人， 故中位数为从小到大排列的第10个数和第11个数的平均数， 且C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 故女生的20个数据中从小到大排列的第10个数和第11个数分别为76，78， 因此女生的中位数 男生数据中86出现了3次，是出现次数最多的，故， 女生中数据位于C组的比例为，故位于D组的比例为 故位于D,E两组的数据为优秀，因此女生的优秀率为，故 故答案为：. （2）女生本届数学趣味知识竞赛成绩更优异， 由于男女生竞赛成绩的平均数，优秀率相等，但女生成绩的中位数以及众数均高于男生，因此女生的成绩更加优异. （3）由于男女生成绩的优秀率均为，故该校学生成绩的优秀率为， 因此优秀的人数为（人） 24．(1)① ，其中； ② (2)年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和. 【分析】（1）①先计算每棵定价提高到元时的销售量为，进而可得销售收入即为函数关系式；②直接在函数关系式中令，可得的值； （2）根据题意可得不等式，再参数分离及换元得，构造函数，根据二次函数的性质可得，从而可得所求值的最小值. 【详解】（1）①定价为元时，相比原价元提高了元，根据“每提价元销量减少万棵”， 所以销量减少量为万棵，因此实际年销售量为： （万棵）， 因此销售总收入，整理得： ，其中. 故关于的函数关系式为，其中， ②令，代入函数得 ， 整理为一元二次方程，得，解得或. 结合，舍去，得. 因此要使提价后每年销售的总收入为万元，. （2）因为改良前的年销售收入为万元，改良培育费用为万元， 改良后的年销售收入为，根据题意，（其中）， 所以，令，由得， 所以， 函数是一个开口向下的二次函数的一部分，对称轴为， 当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， 当时，函数取得最大值， 要使不等式对所有恒成立，则. 因此年销售量至少达到万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和. 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）反比例函数的图象过点求出，把点代入反比例函数求出，再把两点坐标代入可得答案； （2）结合图象可得答案； （3）过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，根据，可得答案. 【详解】（1）反比例函数的图象过点，， 故反比例函数的表达式为， 把点代入反比例函数得，， 解得，点的坐标为， 一次函数的图象经过两点， ，解得， 故一次函数的表达式为； （2）由图象得时，； （3）点横坐标为，代入，解得：，， 当时，代入，得，解得：，， 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，   、，，，， ，， ， ． 26．(1) (2)详见解析； (3) 【分析】（1）连接OG，根据，由轴对称得到，再由求解； （2）过作，根据，结合切线长定理得到求解； （3）连接HT，HS，HA，在AT上取点V，使TV=AS，由求解. 【详解】（1）如图： 连接OG，因为 ，由轴对称得， 又， 所以，则. （2）如图： 过作，与AO交于点G，与BC交于点E， 因为，所以， 由切线长定理得：， 所以，由切线长定理得， 所以平分. （3）如图： 连接HT，HS，HA，在AT上取点V，使TV=AS，则， 因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 所以为等腰三角形， 所以. 27．(1) (2) (3)当时，点的坐标为和；当时，点的坐标为和． 【分析】（1）将点的坐标代入函数表达式求出参数即可； （2）利用平行的性质，设点结合已知条件，根据三角函数的定义得出的表达式，再利用二次函数的性质求最值； （3）根据题意表示出抛物线的解析式，然后求出点的坐标，再根据三角形相似的性质，将问题转化为二次方程根的情况分类讨论即可. 【详解】（1）将点的坐标代入函数表达式得：，解得：， 所以抛物线的表达式为：. （2）过点作轴交于点，如图所示： 则， 由直线的表达式知，，则， 则， 设点，则点， 则， 即的最小值为：，当的坐标为时取到． （3）设抛物线的解析式为， 所以， 设，当时，则， 即，所以，① 当时，则， 即，得：，② （i）当方程①有两个相等实数根时， ，解得：（舍去）或， 此时方程①有两个相等实数根，方程②有一个实数根， 则点的坐标为和； （ii）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①得：，解得：（舍去）或， 此时，方程①有两个不相等的实数根、，方程②有一个实数根， 所以，此时点的坐标为和； 综上，当时，点的坐标为和； 当时，点的坐标为和． 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年8月河南省普通高中高一年级开学联考 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的相反数是 A． B． C． D．3 2．某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到 A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为 A．5 B． C． D．1 4．如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是 A．或 B． C． D． 5．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出结论如下： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为． 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 6．有A，B两种卡片各4张，A卡片正、反两面分别写着1和0，B卡片正、反两面分别写着2和0，甲、乙两人从中各拿走4张卡片并摆放在桌上，发现各自的4张卡片向上一面的数字和相等，两人各自将所有卡片另一面朝上，则甲的4张卡片数字和减小了1，乙的4张卡片数字和增加了1，则甲拿取A卡片的数量为 A．1张 B．2张 C．3张 D．4张 7．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为 A． B． C． D． 8．某餐厅计划推出一个新菜品，在菜品研发阶段研制出A，B两种味道，为测试哪种味道更符合当地人口味，随机抽取餐厅内的5位当地顾客分别为两种味道的菜品打分，打分情况如下： 口味 顾客1 顾客2 顾客3 顾客4 顾客5 A 7 9 8 6 10 B 5 6 10 10 9 关于这组数据，下列说法正确的是 A．， B．， C．， D．， 9．在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是 A．平均数是2 B．众数是17 C．方差是2 D．中位数是2 10．为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图(1)和图(2)，则扇形统计图(2)中表示“足球”项目扇形的圆心角的度数为 A．45° B．60° C．72° D．108° 11．《九章算术》记载“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方有几何？”意思是：如图，点点分别是正方形的边的中点，过点，且步，步，则正方形的边长为 A．步 B．步 C．步 D．步 12．如图1．将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 A． B． C． D． 13．如图，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y轴，O为坐标原点，点A的坐标为（4，m），反比例函数的图象的一支过点A，反比例函数的图象的一支过点B，过点A作AH⊥x轴于点H，若△AOH的面积为12，则k2的值为 A．－24 B．－36 C．－48 D．－54 14．观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（…）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 A． B． C． D． 15．如图，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为．下列图象能反映与之间函数关系的是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 16．分解因式：　　　． 17．计算：　　　． 18．记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为　　　． 19．如图，点是反比例函数图象上的两点，过点分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，则　　　． 20．如图，AB是圆O的直径，弦CD与AB交于点E，过A作圆的切线与CD的延长线交于点F，D为EF的中点，若，则　　　． 21．几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割．毕达哥拉斯几何学中有一个关于五角星结构的问题．如图，一个边长为1的正五边形有5条对角线，这些对角线分别相交于A1，B1，C1，D1，E1五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是　　　． 四、解答题：本题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（10分）（1）计算：； （2）解不等式组：并求所有整数解的和； （3）先化简，再代入求值：，其中． 23．（8分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下： 男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98． 女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78． 男、女生被抽取的竞赛成绩统计表： 性别 男生 女生 平均数 76 76 中位数 76 众数 87 优秀率 40% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？ 24．（8分）某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为元时，年销售量为万棵． （1）基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元（），每年的销售总收入为y万元． ①求关于的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为万元，求的值． （2）该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，改良前该绿植每棵售价为元．设改良培育后每棵的售价为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 26．（12分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． （1）如图，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，边交于，求点的坐标． （2）如图，与正方形四边都相切，直线切于点，分别交轴、轴、线段于点．求证：平分． （3）若，为延长线上一动点，过三点作，交于，如图．当运动时（不包括点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 27．（12分）如图1，已知抛物线交轴于点（在点左侧），交y轴负半轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线交轴于点，交轴于点，过抛物线上一动点作于，求的最小值； （3）如图2，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点．为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点，若与相似，并且符合条件的点恰有2个，求的值及相应点的坐标． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $