2027届高三数学一轮复习专项训练试卷（三）——数列综合

**基本信息** 高三数学一轮复习模拟卷，聚焦数列核心知识，融合高考真题与创新题型，通过等差等比基本运算、递推关系及实际应用（如黄金螺旋线），考查数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列公差、等比中项、Sn求an|基础巩固，如第1题等差数列基本量计算| |多选题|3|等差数列性质、斐波那契数列应用|能力提升，如第10题结合黄金螺旋线考查应用意识| |填空题|3|Sn与an关系、新定义数列|创新应用，如第13题通过不等式定义新数列| |解答题|5|等差等比综合、数列与不等式|综合拓展，关联2014天津等真题，如第15题等差等比交叉证明|

高三数学初步模拟测试（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．2026·河北沧州·一模已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（       ） A． B． C． D． 2．2026·广西南宁·模拟预测若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（   ） A． B． C． D． 3．2026·云南·模拟预测 已知数列的前n项和，则（     ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 4．2026·甘肃陇南·二模 已知、、、是曲线上的四个点，其中，且、、、、成等差数列，则（　　） A． B． C． D． 5．2026·山西忻州·模拟预测 某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．2026·上海·模拟预测命题：已知为无穷数列，对于任意正整数，若令首项，由递推式生成的数列，最终都会从某一项起变为同一个常数． 命题：且的公差为； 命题：数列的通项公式为． 则下列说法正确的是（        ）． A．、都是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．只有是的充分条件 D．、都不是的充分条件 7．2025·上海·高考真题 已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（   ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 8．2025·浙江专训 已知函数，若至少存在两个实数，使得，，成等差数列，则过坐标原点作曲线的切线可以作（       ） A．条 B．条 C．条 D．条 二、多选题 9．25-26高二上·重庆·期中若数列为等差数列，其公差为，为其前项和，则下列说法一定正确的是（       ） A． B． C．若存在n使得  ，则  D．若存在n使得  ，则  10．26-27高三·全国·一轮复习若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（       ） A． B．是奇数 C． D． 11．2026·江苏·模拟预测 在中，设角所对边分别为．若为锐角三角形，且，则下列说法正确的是（     ） A． B．不存在使得其边长为三个连续的正整数 C．存在使得其三边长成等比数列 D．当时，的面积存在最大值 三、填空题 12．25-26高三下·广西南宁·阶段检测记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有4个正整数n满足，则实数的取值范围是_________ . 13．2026高三·全国·专题练习 设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中最大值，则________，数列的通项公式________． 14．25-26高三下·江苏无锡·阶段检测已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 四、解答题 15.(2014·天津)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和 为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6． (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 16.（2026·浙江专训）已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6． (1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn； (2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围． 17.（2026·河北专训）已知各项均不相等的等差数列{an}的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项． (1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn； (2)设Kn为数列{anbn}的前n项和，若不等式λSnTn≥Kn＋n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值． 18.（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 19.（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高中数学错题综合卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B D D B B B AB ABD ACD 题号 12 13 14 答案 （14,18】 20/41 15．解析 (1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0． 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1．所以，Tn＝1－2 (1－2n)＝2n－1． 设等差数列{an}的公差为d．由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4． 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n．所以Sn＝2 (n＋1)． (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝1－2 (1－2n)－n＝2n＋1－n－2． 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得2 (n＋1)＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4． 所以，n的值为4． 16.解析 (1)由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，从而Sn＝2 (n（9－n）)(n∈N*)． (2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1， 设等比数列{bn}的公比为q，则q＝b1 (b2)＝2 (1)，∴Tm＝2 (1)＝8m (1)， ∵2 (1)随m的增大而减小，∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8． 又Sn＝2 (n（9－n）)＝－2 (1)4 (81)，故(Sn)max＝S4＝S5＝10， 若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ，则10<8＋λ，得λ>2． 故实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 17.解析 (1)bn＝2n，Tn＝2n＋1－2． (2)g(n)随n的增加而减小，所以g(n)max＝g(1)＝4 (5)，所以当λ≥4 (5)时不等式恒成立， 因此λ的最小值为4 (5)． 18.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 19.【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 $