第40练 数列的综合问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列综合应用，以“概念辨析-方法提炼-综合迁移”为主线，融合方程思想、构造法等解题策略，系统覆盖等差等比综合、递推数列、求和与不等式等核心考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本量计算|1-4题|方程思想、等比中项性质|从定义出发，通过列方程求解公差公比，强化量与量的关系推导| |递推数列|11、13、16题|构造新数列（如{aₙ+1}）|基于递推关系抽象出等比模型，体现数学抽象与逻辑推理| |求和与不等式|9、11、15题|裂项相消、错位相减、放缩法|从数列求和到不等式证明，构建“求和-放缩-论证”的推理链条| |实际应用|14题|数学建模|将鱼类资源问题转化为数列递推模型，培养数据观念与应用意识|

第40练　数列的综合问题 1.[2025·北京卷] 已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-20 B.-18 C.16 D.18 2.[2025·江苏常州模拟] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2S3,3S5,4S6成等差数列,则数列{an}的公比q= (　 ) A.1或- B.-1或 C.-1或2 D.1或-2 3.已知数列{an}既是公差为d的等差数列,又是公比为q的等比数列,首项a1=1,则它的前2026项和为 (　 ) A. B.2027+2027×1013d C.2026 D.0 4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7=2,a9,a5,a13成等比数列,则满足Sn>0的n的最大值为 (　 ) A.8 B.9 C.13 D.14 5.已知数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,则数列{bn}的前100项的和S100= (　 ) A.178 B.191 C.206 D.216 6.[2025·安徽马鞍山一模] 已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为 (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 7.已知数列{an}满足an=,n为正整数,则该数列的最大项是第　　　　项.  8.[2025·福建南平模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=an2-10n,且对任意的n∈N*,都有S3≤Sn,则实数a的取值范围是____________. 9.[2026·重庆巴蜀中学9月月考] 已知数列{an}为等差数列,{an}的前 n 项和为 Sn,a3=7,S6=48. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:++…+<. 10.[2025·广东汕头模拟] 已知a,b∈R,b为a和2的等差中项,则3a+的最小值为(　 ) A. B.3 C. D. 11.已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,n∈N*.记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,都有k>Tn,则实数k的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,记cn=,则下列说法正确的是 (　 ) A.an=2n-1 B.bn=n2+1 C.c4≥cn恒成立 D.若n∈N*,关于n的不等式λ≤cn恰有两个解,则λ的取值范围为 13.已知数列{an}满足a1=1,an+1=+2an,则使得>2025成立的最小正整数n的值为　　　　.  14.[2025·北京大学附中三模] 为保证某水域内鱼类资源的可持续发展,需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记an(n∈N*)为第n年年初时该水域内的鱼类总量,根据研究,第n年鱼类的自然繁殖量与lg an成正比,自然死亡量与成正比,捕捞量与an成正比,比例系数分别为a,b,c(a,b,c>0),则an+1和an的关系式为　　　　　　　　;若b=1,a1=10,要保持每年年初时鱼类总量始终不变,则一组符合条件的(a,c)为　　　　　　　　.  15.[2025·湖北十堰模拟] 已知数列an的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围. 16.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=4,bn+1=3bn-2n+1. (1)证明{bn-n}是等比数列,并求{an},{bn}的通项公式. (2)若数列{an}与{bn}中有公共项,即存在k,m∈N*,使得ak=bm成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列,得到一个新的数列,记作{cn},求c1+c2+…+cn. 第40练　数列的综合问题 1.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去),所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.故选C. 2.A　[解析] ∵2S3,3S5,4S6成等差数列,∴6S5=2S3+4S6,即6(a1+a2+a3+a4+a5)=2(a1+a2+a3)+4(a1+a2+a3+a4+a5+a6),整理得6a4+6a5=4a4+4a5+4a6,即2a6-a5-a4=0,∵a4≠0,∴2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,故选A. 3.C　[解析] 因为{an}既是等差数列又是等比数列,且a1=1,所以an=1(n∈N*)(常数数列),所以其前2026项和为2026,故选C. 4.D　[解析] 设数列{an}的公差为d,因为a7=2,a9,a5,a13成等比数列,所以 解得所以an=23-3n,所以Sn==.令Sn>0,得>0,解得0<n<,又n∈N*,所以n的最大值为14.故选D. 5.A　[解析] 数列{an}满足an=n,在an,an+1之间插入n个1,构成数列{bn}:a1,1,a2,1,1,a3,1,1,1,a4,…,所以数列{bn}中从a1到ak的项数为k+[1+2+…+(k-1)]=k+=k(k+1),当k=13时,×13×14=91,当k=14时,×14×15=105,因为ak=k,所以S100=(a1+a2+…+a13)+(100-13)×1=+87=178.故选A. 6.C　[解析] 令an=≥0,解得n≤3或n>,所以当n≤3时,an≥0,当4≤n≤8时,an<0,当n≥9时,an>0,且a1=,a2=,a3=0,a4=-,…,a8=-5,所以S8<S1,所以Sn取得最小值时n的值为8.故选C. 7.2和3　[解析] an==,∵y=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,且a2=a3=,∴该数列的最大项是第2项和第3项. 8.　[解析] 因为Sn=an2-10n,且对任意的n∈N*,都有S3≤Sn,所以≤-=≤,所以≤a≤2. 9.解:(1)设{an}的公差为d,则a3=a1+2d=7,S6=6a1+15d=48, 解得a1=3,d=2, 所以an=3+(n-1)×2=2n+1. (2)证明:因为= =×,所以++…+=×=×=-, 因为n∈N*,所以>0,所以-<, 所以++…+<. 10.D　[解析] 因为b为a和2的等差中项,所以=b,即a=2b-2,则3a+=32b-2+≥2=,当且仅当32b-2=时等号成立,所以3a+的最小值为.故选D. 11.A　[解析] 由an+1=3an+2,可得an+1+1=3(an+1),则{an+1}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an+1=3n,即an=3n-1,则== ×,所以Tn=×=×<,又对任意的n∈N*,都有k>Tn,所以k≥.故选A. 12.ACD　[解析] 当n=1时,S1=2a1-1,即a1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,所以Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),即an=2an-2an-1,即an=2an-1,因为a1=1≠0,所以=2(n≥2),所以{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1,故A正确;由(n+2)bn=nbn+1,得=,则=,所以数列为常数列,所以==1,所以bn=n(n+1)=n2+n,故B错误;cn=·(n2+n),当n≥2时,==,令>1,可得2≤n<5,令<1,可得n>5,令=1,可得n=5,所以c1<c2<c3<c4=c5>c6>c7>…,所以当n=4或n=5时,cn取得最大值,故C正确;c3=,c6=>c3,因为关于n的不等式λ≤cn恰有两个解,所以λ的取值范围为,故D正确.故选ACD. 13.6　[解析] 因为an+1=+2an,所以an+1+1=(an+1)2,则ln(an+1+1)=2ln(an+1),又a1+1=2,所以数列{ln(an+1)}是首项为ln 2,公比为2的等比数列,所以ln(an+1)=2n-1ln 2,所以an=-1.由>2025,得>2025,因为210=1024,211=2048,所以≥11,即2n-1≥22,则n≥6,则使得>2025成立的最小正整数n的值为6. 14.an+1=an+alg an-b-can(n∈N*)　(110,1)(答案不唯一) [解析] 因为第n年鱼类的自然繁殖量与lg an成正比,自然死亡量与成正比,捕捞量与an成正比,比例系数分别为a,b,c(a,b,c>0),所以an+1=an+alg an-b-can(n∈N*).若b=1,a1=10,要保持每年年初时鱼类总量始终不变,即an+1=an,则alg an--can=0,代入n=1,得a-10c-100=0,即a=10c+100,由a,c>0,不妨取c=1,a=110,经检验c=1,a=110满足题意. 15.解:(1)∵4Sn+1=3Sn-9 ①, ∴当n≥2时,4Sn=3Sn-1-9②, 由①-②得4an+1=3an(n≥2), 在①式中,令n=1,则4=--9,∴a2=-,满足=,∴=对n∈N*恒成立,∴{an}是首项为-,公比为的等比数列,∴an=-·=-3·. (2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=(n-4)·,∴Tn=(-3)×+(-2)×+(-1)×+…+(n-5)·+(n-4)· ③,∴ Tn=(-3)×+(-2)×+…+(n-6)·+(n-5)·+(n-4)· ④,由③-④得Tn=-+++…+-(n-4)·=-+-(n-4)·=-n·, ∴Tn=-4n·. 由Tn≤λbn得-4n·≤λ·(n-4)·,即(n-4)λ≥-3n. 当1≤n<4时,可得λ≤, 此时λ≤=1; 当n=4时,不等式显然成立; 当n>4时,可得λ≥,∵==-3-<-3, ∴λ≥-3.综上,-3≤λ≤1. 16.解:(1)由bn+1=3bn-2n+1,得bn+1-(n+1)=3(bn-n), 又b1-1=3,所以{bn-n}是首项为3,公比为3的等比数列, 所以bn-n=3n,所以bn=3n+n. an=2+(n-1)×3=3n-1. (2)由3k-1=3m+m,可得m=3t-1,t∈N*,即m=2,5,8,…,3t-1时为公共项,所以c1+c2+…+cn=32+35+…+33n-1+(2+5+…+3n-1)=+. 学科网（北京）股份有限公司 $