2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心内容，构建从二次函数零点定义及与方程根的对应关系，到一元二次不等式的判定、求解（含参数分类讨论），再到分式不等式等价转化、三个二次内在联系及实际应用与恒成立问题的递进式学习支架。 资料以数形结合为核心方法，通过实例（如例8由解集反求参数、例10生产利润问题）落实转化与化归、分类讨论的数学思维，培养学生用数学语言表达现实问题的模型意识。课中助力教师系统授课，课后便于学生梳理知识、强化练习，有效查漏补缺。

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 [学习要点] 1. 理解二次函数零点的概念，掌握二次函数零点与一元二次方程根的对应关系，能根据判别式判断零点个数； 2. 掌握一元二次不等式的定义与判定标准，能准确识别一元二次不等式； 3. 熟练掌握一元二次不等式的求解步骤，能正确求解不含参数的一元二次不等式，初步掌握含参数不等式的分类讨论方法； 4. 掌握分式不等式的等价转化原则，能熟练求解各类简单分式不等式； 5. 深刻理解“二次函数、一元二次方程、一元二次不等式”三者的内在联系，能利用三者关系逆向求解参数或构造不等式； 6. 能建立一元二次不等式模型解决实际生活中的优化、决策问题，掌握实际问题的标准化求解流程； 7. 掌握一元二次不等式恒成立、能成立问题的常见解法，包括判别式法、分离参数法、数形结合法； 8. 能综合运用不等式知识解决含参数、新定义、整数解等综合问题，落实转化与化归、分类讨论的数学思想。 一、二次函数与二次方程 核心知识点 1. 二次函数的零点定义 对于二次函数，使成立的实数叫做二次函数的零点。 注意：零点不是点，是函数图象与轴交点的横坐标，本质是实数而非坐标。 2. 零点与方程根的对应关系 二次函数的零点，与一元二次方程的实数根完全一一对应。 3. 零点个数的判别方法 通过判别式判断： · ：方程有两个不相等的实数根，二次函数有 2 个不同零点； · ：方程有两个相等的实数根，二次函数有 1 个二重零点； · ：方程无实数根，二次函数没有零点。 4. 零点的求解方法 · 因式分解法：将二次式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0求解； · 求根公式法：利用直接计算根。 例1.求二次函数的零点，并判断零点个数。 例2.已知二次函数有且只有一个零点，求实数的值，并求出此时的零点。 二、一元二次不等式的判断 核心知识点 1. 一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式。 2. 三大判定特征 · 一元：仅含一个未知数，其余字母均为参数； · 二次：未知数最高次数为2，且二次项系数不为0； · 整式：不等号两边均为整式，分母、根号内不能含未知数。 3. 标准形式 、、、，其中。 例3.下列不等式中，属于一元二次不等式的是（ ） A. B. C. D. 例4.若不等式是关于的一元二次不等式，求实数的值。 三、一元二次不等式的解法 核心知识点 1. 求解核心思想：数形结合 以二次函数图象为桥梁，结合图象与轴的交点位置，直观推导不等式的解集。 2. 不含参数不等式的求解步骤 3. 化标准：将不等式整理为右侧为0、二次项系数为正的形式（系数为负时两边同乘-1并反转不等号）； 4. 判根况：计算判别式，判断对应方程根的个数； 5. 求实根：通过因式分解或求根公式求出方程的实数根； 6. 写解集：结合图象，遵循“大于取两边，小于取中间”的原则写出解集。 7. 三种判别式下的解集对比（） 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 判别式 二次函数图象 开口向上，与轴交于两点 开口向上，与轴切于一点 开口向上，与轴无交点 的解集 的解集 4. 含参数不等式的分类讨论层级 · 第一层级：二次项系数的符号（决定开口方向与解集形式）； · 第二层级：判别式的符号（决定方程根的个数）； · 第三层级：方程两根的大小关系（决定解集区间的端点顺序）。 例5.解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 例6.解关于x的不等式：。 四、分式不等式 核心知识点 1. 求解核心：等价转化 将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，依据是“商的符号与积的符号一致”，同时必须保证分母不为0。 2. 基础类型与转化规则 · · · · 3. 复杂分式的处理 若不等号右侧不为0，禁止直接去分母，需先移项、通分，将右侧化为0后再转化。 例7. 解下列不等式： (1) ； (2) 。 五、三个二次的关系 核心知识点 1. 三者的内在逻辑 一元二次方程的根 = 二次函数图象与轴交点的横坐标 = 对应一元二次不等式解集的端点；二次函数图象是连接方程与不等式的直观载体。 2. 核心应用：由解集反求参数 已知一元二次不等式的解集，可得到两个关键信息： · 由解集的区间形式，判断二次项系数的符号； · 解集的端点是对应一元二次方程的根，可通过韦达定理建立参数方程。 3. 常用结论 · 若的解集为，则，且是方程的两根； · 若的解集为，则，且是方程的两根。 例8. 已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集。 六、一元二次不等式在生活中的应用 核心知识点 1. 解题四步流程 1. 审题设元：明确已知量与未知量，合理设定变量，注意变量的实际意义； 2. 建立模型：将实际问题中的不等关系转化为一元二次不等式； 3. 求解不等式：运用一元二次不等式解法得到数学结论； 4. 检验作答：结合实际约束（如正整数、正数范围）修正结果，回归问题作答。 2. 常见场景 利润规划、面积设计、刹车距离、产量控制、费用预算等优化类问题。 例9.某文具厂生产一种笔记本，每本成本为5元，生产数量（单位：百本）与总利润（单位：元）满足关系。若工厂希望一批生产的总利润不低于500元，求生产数量的范围。 例10.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 七、一元二次不等式恒（能）成立问题 1.恒成立问题 1. 全体实数域上的恒成立 · 对恒成立 ；未说明是二次不等式时，需补充验证的情况。 · 对恒成立 ；同理需考虑的情况。 2. 给定区间上的恒成立 核心方法为分离参数法： · 恒成立 ； · 恒成立 。 2.能成立（存在性）问题 · 使成立 ； · 使成立 。 例11.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。 课堂小结 1. 核心工具：一元二次不等式解法遵循“化正、求根、写解集”的步骤，牢记二次项系数为正时“大于取两边，小于取中间”。 2. 核心关系：三个二次通过二次函数图象串联，方程的根是解集端点，图象开口决定解集方向。 3. 核心方法：分式不等式等价转化、恒成立问题分离参数、含参问题分类讨论是三大核心方法。 4. 易错提醒：解分式不等式时分母不为0、含参问题不遗漏二次项系数为0的情况、实际问题注意变量的实际意义。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 [学习要点] 1. 理解二次函数零点的概念，掌握二次函数零点与一元二次方程根的对应关系，能根据判别式判断零点个数； 2. 掌握一元二次不等式的定义与判定标准，能准确识别一元二次不等式； 3. 熟练掌握一元二次不等式的求解步骤，能正确求解不含参数的一元二次不等式，初步掌握含参数不等式的分类讨论方法； 4. 掌握分式不等式的等价转化原则，能熟练求解各类简单分式不等式； 5. 深刻理解“二次函数、一元二次方程、一元二次不等式”三者的内在联系，能利用三者关系逆向求解参数或构造不等式； 6. 能建立一元二次不等式模型解决实际生活中的优化、决策问题，掌握实际问题的标准化求解流程； 7. 掌握一元二次不等式恒成立、能成立问题的常见解法，包括判别式法、分离参数法、数形结合法； 8. 能综合运用不等式知识解决含参数、新定义、整数解等综合问题，落实转化与化归、分类讨论的数学思想。 一、二次函数与二次方程 核心知识点 1. 二次函数的零点定义 对于二次函数，使成立的实数叫做二次函数的零点。 注意：零点不是点，是函数图象与轴交点的横坐标，本质是实数而非坐标。 2. 零点与方程根的对应关系 二次函数的零点，与一元二次方程的实数根完全一一对应。 3. 零点个数的判别方法 通过判别式判断： · ：方程有两个不相等的实数根，二次函数有 2 个不同零点； · ：方程有两个相等的实数根，二次函数有 1 个二重零点； · ：方程无实数根，二次函数没有零点。 4. 零点的求解方法 · 因式分解法：将二次式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0求解； · 求根公式法：利用直接计算根。 例1.求二次函数的零点，并判断零点个数。 【答案】令， 因式分解得，解得，。 判别式，方程有两个不相等实根。 因此该二次函数有2个零点，分别为和。 例2.已知二次函数有且只有一个零点，求实数的值，并求出此时的零点。 【答案】二次函数有且只有一个零点，等价于对应一元二次方程有两个相等的实数根，即。 即，解得或。 当时，方程为，零点为0； 当时，方程为，零点为3。 二、一元二次不等式的判断 核心知识点 1. 一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式。 2. 三大判定特征 · 一元：仅含一个未知数，其余字母均为参数； · 二次：未知数最高次数为2，且二次项系数不为0； · 整式：不等号两边均为整式，分母、根号内不能含未知数。 3. 标准形式 、、、，其中。 例3.下列不等式中，属于一元二次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】A 选项：未说明，若则为一元一次不等式，不符合定义； B 选项：未知数最高次数为 3，是一元三次不等式，不符合； C 选项：只含一个未知数，最高次数为 2 且为整式不等式，符合定义； D 选项：分母含未知数，属于分式不等式，不是整式不等式，不符合。 例4.若不等式是关于的一元二次不等式，求实数的值。 【答案】根据一元二次不等式的定义，需同时满足： ① 未知数最高次数为 2：； ② 二次项系数不为 0：。 由得或；结合，得。 三、一元二次不等式的解法 核心知识点 1. 求解核心思想：数形结合 以二次函数图象为桥梁，结合图象与轴的交点位置，直观推导不等式的解集。 2. 不含参数不等式的求解步骤 3. 化标准：将不等式整理为右侧为0、二次项系数为正的形式（系数为负时两边同乘-1并反转不等号）； 4. 判根况：计算判别式，判断对应方程根的个数； 5. 求实根：通过因式分解或求根公式求出方程的实数根； 6. 写解集：结合图象，遵循“大于取两边，小于取中间”的原则写出解集。 7. 三种判别式下的解集对比（） 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 判别式 二次函数图象 开口向上，与轴交于两点 开口向上，与轴切于一点 开口向上，与轴无交点 的解集 的解集 4. 含参数不等式的分类讨论层级 · 第一层级：二次项系数的符号（决定开口方向与解集形式）； · 第二层级：判别式的符号（决定方程根的个数）； · 第三层级：方程两根的大小关系（决定解集区间的端点顺序）。 例5.解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 解　(1)对于方程x2-5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6的图象(如图)，结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}. (2)对于方程9x2-6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=. 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象(如图)，结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为. (3)不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=-8<0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图). 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 例6.解关于x的不等式：。 【答案】因式分解得，对应方程的两根为和，按两根大小分类讨论： · 当时，解集为； · 当时，不等式化为，解集为； · 当时，解集为。 四、分式不等式 核心知识点 1. 求解核心：等价转化 将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，依据是“商的符号与积的符号一致”，同时必须保证分母不为0。 2. 基础类型与转化规则 · · · · 3. 复杂分式的处理 若不等号右侧不为0，禁止直接去分母，需先移项、通分，将右侧化为0后再转化。 例7. 解下列不等式： (1) ； (2) 。 【答案】(1) 等价于，解得， 解集为。 (2) 等价于， 解得或， 解集为。 五、三个二次的关系 核心知识点 1. 三者的内在逻辑 一元二次方程的根 = 二次函数图象与轴交点的横坐标 = 对应一元二次不等式解集的端点；二次函数图象是连接方程与不等式的直观载体。 2. 核心应用：由解集反求参数 已知一元二次不等式的解集，可得到两个关键信息： · 由解集的区间形式，判断二次项系数的符号； · 解集的端点是对应一元二次方程的根，可通过韦达定理建立参数方程。 3. 常用结论 · 若的解集为，则，且是方程的两根； · 若的解集为，则，且是方程的两根。 例8. 已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集。 【答案】由解集为可知，且和2是方程的两根。 由韦达定理： 解得，。 代入所求不等式得，因式分解得， 解得，即解集为。 六、一元二次不等式在生活中的应用 核心知识点 1. 解题四步流程 1. 审题设元：明确已知量与未知量，合理设定变量，注意变量的实际意义； 2. 建立模型：将实际问题中的不等关系转化为一元二次不等式； 3. 求解不等式：运用一元二次不等式解法得到数学结论； 4. 检验作答：结合实际约束（如正整数、正数范围）修正结果，回归问题作答。 2. 常见场景 利润规划、面积设计、刹车距离、产量控制、费用预算等优化类问题。 例9.某文具厂生产一种笔记本，每本成本为5元，生产数量（单位：百本）与总利润（单位：元）满足关系。若工厂希望一批生产的总利润不低于500元，求生产数量的范围。 【答案】根据题意，令， 移项整理得， 因式分解得，解得。 因此生产数量应控制在500本到1000本之间。 例10.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 【答案】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 -20x2+2 200x>60 000. 移项整理，得x2-110x+3 000<0. 对于方程x2-110x+3 000=0，Δ=100>0，方程有两个实数根x1=50，x2=60. 画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象(如图)，结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时， 这家工厂能够获得60 000元以上的收益. 七、一元二次不等式恒（能）成立问题 1.恒成立问题 1. 全体实数域上的恒成立 · 对恒成立 ；未说明是二次不等式时，需补充验证的情况。 · 对恒成立 ；同理需考虑的情况。 2. 给定区间上的恒成立 核心方法为分离参数法： · 恒成立 ； · 恒成立 。 2.能成立（存在性）问题 · 使成立 ； · 使成立 。 例11.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【答案】当时，分离参数得： 不等式恒成立等价于。 由基本不等式，，当且仅当时取等号， 因此的最小值为，故， 即a的取值范围是。 课堂小结 1. 核心工具：一元二次不等式解法遵循“化正、求根、写解集”的步骤，牢记二次项系数为正时“大于取两边，小于取中间”。 2. 核心关系：三个二次通过二次函数图象串联，方程的根是解集端点，图象开口决定解集方向。 3. 核心方法：分式不等式等价转化、恒成立问题分离参数、含参问题分类讨论是三大核心方法。 4. 易错提醒：解分式不等式时分母不为0、含参问题不遗漏二次项系数为0的情况、实际问题注意变量的实际意义。 学科网（北京）股份有限公司 $