河南省部分普通高中2026-2027学年高二上学期开学联考数学试题

**基本信息** 2026年河南高二开学联考数学卷，聚焦基础巩固与能力衔接，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过统计分析、概率情境等题设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数虚部、空间线面关系|基础概念辨析，如第3题线面位置关系判断| |多选|3/18|不等式性质、正三棱柱几何性质|多维度能力考查，如第10题结合体积、外接球与轨迹| |填空|3/15|统计中位数、四面体外接球、解三角形范围|数学眼光应用，如第14题锐角三角形取值范围| |解答|5/77|复数方程、三角应用、统计分析、立体几何探究、概率“巧遇”问题|分层设计，如第19题概率创新情境，考查逻辑推理与数学建模|

秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年8月河南省普通高中高二年级开学联考 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数（其中i是虚数单位）的虚部是 A． B． C． D． 3．已知，，，为三条直线，，，为三个平面．下列命题为假命题的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 5．函数在上的最大值与最小值之和为 A． B． C． D． 6．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1 次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则 A．和为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 7．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是 A． B． C． D． 8．在中，，，，，则 A．0 B． C．6 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a，b，c为实数，则 A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 10．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则 A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 11．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，．则 A．的最小正周期为4 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是　　　． 13．已知四面体的四个顶点均在球的球面上，为等边三角形，且的面积为，，则球的体积为　　　． 14．已知在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数（i为虚数单位）是关于的方程的一个根． （1）求b，c的值； （2）若，且，所对应的向量之间的夹角为钝角，求m的取值范围． 16．（15分）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求的值； （2）若线段上的一点满足，求的值． 17．（15分）某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）． （1）求a的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； （2）估计该校学生每周课外阅读的平均时间； （3）若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差． 18．（17分）如图，在三棱台中，平面平面，，，． （1）证明：平面； （2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：； （3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（17分）盒中有个标号为的小球，小球除标号外均相同，每次不放回地随机取一个球，在取球过程中的某一时刻，若取得的奇数号球与偶数号球个数相等，则称为出现了一次“巧遇”． （1）当时，求取球两次就出现“巧遇”的概率； （2）记“取出个球后，第一次出现“巧遇”，，“第一次取到的是奇数号球”． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求取球过程中至少出现一次“巧遇”的概率． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年8月河南省普通高中高二年级开学联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A A D B 题号 7 8 9 10 11 答案 C B AD AD ACD 1．C 【分析】先根据集合中的元素求出集合,再利用交集定义求出结果. 【详解】将1，2，3，4，5分别代入得到,即,所以 2．B 【详解】复数 ，所以的虚部为. 3．A 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，令，，若，则必有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行或相交，故A错误； 对于B，由线面平行的性质定理易得命题正确，故B正确； 对于C，由面面垂直的判定定理易得命题正确，故C正确； 对于D，设，，过点分别作于点，于点，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理可得， 又因为， ，则，故D正确. 4．A 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 5．D 【详解】因为. 当 时，令，则. 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，. 所以当时，，所以. 即当时，函数的值域为. 所以所求函数的最大值与最小值的和为. 6．B 【分析】A选项利用对立事件的定义判断；B选项利用相互独立事件的定义判断；C选项利用相互独立事件的定义判断；D选项利用互斥事件的定义判断. 【详解】事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，，； 事件的基本事件有，，，. 和都有事件，所以和不是对立事件，故A错误； ，， 事件的基本事件有，，则， 所以和为相互独立事件，B正确； ，， 事件的基本事件有，，则， 故和不为相互独立事件，C错误； 和都有事件，所以和不是互斥事件，故D错误. 7．C 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 8．B 【分析】根据题意，得到为的外心，取的中点，求得和，进而得到，再由三角形的面积公式和余弦定理，求得和，得到，即可求解. 【详解】由题意知：，可得为的外心， 取的中点，连接，则，所以， 又由， 同理可得， 所以， 可得， 因为在中，，，可得，解得， 又因为，由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 则， 所以，所以. 9．AD 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对 10．AD 【分析】选项A：利用线面平行，先判断点到平面的距离不变，底面积固定，所以，三棱锥的体积为定值. 选项B：先求出底面外接圆半径，再根据直三棱柱外接球半径公式，求得：外接球半径，进而计算外接球表面积. 选项C：的周长，又，所以要求周长最小值，即求的最小值，验证周长最小值. 选项D：利用空间向量法，先求平面的法向量，在利用点面距距离公式求点到平面的距离，最后转化为平面内圆得轨迹，计算圆弧长度. 【详解】选项A分析： 三棱锥的体积，其中为点到平面的距离， 在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面. 因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值. 底面是直角三角形， ，也是定值. 所以，三棱锥的体积为定值. 故A正确. 选项B分析： 设正三棱柱外接球的半径为， 底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径， 棱柱的高， 根据外接球半径公式，得： ， 外接球表面积. 故B错误. 选项C分析： 的周长. 在中， ，为定值. 要求周长最小值，即求的最小值. 如图： ，. 根据勾股定理，的最小值为 . 所以周长的最小值为. 故C错误. 选项D分析： 建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴. 则，，. 因为是边长为2的等边三角形，所以. 设：平面得法向量为， 又，， 所以，且， 即，且， 令，则，， 平面的法向量，又因为， 点到平面的距离 . 设点在平面上，且. 根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分. 侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点. 我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长. 设圆弧与交于点，与交于点. 在中，，，所以. 同理，. 因为，所以是的中点；同理是的中点. 在正方形中，是的中点，是中点，是中点. ，， 同理. 所以圆弧所对的圆心角为. 轨迹长度 . 故D正确. 11．ACD 【分析】根据已知得到的图象关于直线、对称，进而得到的最小正周期为4，利用奇偶性和周期性依次判断各项的正误即可. 【详解】因为 是定义在上的偶函数，所以， 即，函数的图象关于直线对称， 因为，所以，函数的图象关于点中心对称， 由，令，则， 因为，即， 所以，即， 进一步得，所以是函数的一个周期， 若存在更小的正周期，则，而上，， 结合其对称性，在上的唯一解是， 故不存在小于的正周期，最小正周期为，A 正确； 由，则， 由于，显然不恒为，因此图象不关于点对称，B 错误； 令，由的图象关于直线以及的最小正周期为， ， 所以的图象关于点对称，而的图象是的图象向右平移一个单位得到的， 所以的图象关于原点对称，即为奇函数，C 正确； 当时，，结合函数图象的对称性， 当时，， 当时，， 当时，， 由， 即，解得， 结合最小正周期为，解集为，D 正确. 12．10 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数， 即中位数为． 极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 13． 【分析】先根据等边三角形面积公式求的边长，即可求的外接圆半径r，确定D在平面的投影位置，通过勾股定理可算出棱锥高的长度，设外接球半径为R，球心O在高所在直线上，根据球心到A和到D的距离均为R列方程，解出R，最后用球的体积公式计算体积. 【详解】已知为等边三角形，设边长为a，其面积，解得，即； 设底面的外接圆半径为r，， 因为，所以D在底面上的投影H即为 的外心; 在直角中，高, 设四面体外接球的球心为O，半径为R，球心O必在高线所在的直线上； 设，由于D到平面的距离为，球心到平面的距离为x， 则； 同时，球心到顶点D的距离也为R，则， 故，解得，由此可知O在延长线上， 则球的体积. 14． 【分析】根据二倍角公式，将化为，再利用正弦定理得.从而，通过为锐角三角形，确定的范围，然后构造函数，利用函数的单调性求的取值范围. 【详解】由，得， 即， 根据正弦定理，上式可化为. 又. 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，得，所以. ，得， 所以，得，所以， 因此，有. 令，则， 令，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即. 15．(1)，； (2)． 【详解】（1）因为是方程的根， 将其代入方程，得. 又， 所以，即. 由，得， 解得，. （2）由题意，对应的向量为，对应的向量为， 两向量夹角为钝角，需满足，且两向量不反向共线， 由，得. 当两向量共线时，，即， 此时，两向量反向，夹角为，舍去. 综上，. 16．(1) (2) 【分析】（1）先通过正弦定理将边的比例参数化，结合余弦定理求出边后再计算； （2）第二问由向量垂直的性质将所求角的余弦转化为计算即可． 【详解】（1）根据正弦定理，可得， 设， 由余弦定理， 化简得，解得（边长为正，舍去负根）， 由余弦定理得． （2）由得，即，为直角三角形， 所以， 因此， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以． 17．(1)，估计该校达标的人数为人； (2)分钟； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再计算达标频率并估计总人数； （2）利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均数； （3）利用分层抽样方差公式，结合两组数据的频率、平均数和方差计算合并后的方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . 故估计该校达标的人数为（人）. （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）. （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. 由分层方差公式可得： . 故样本数据在内的方差为. 18．(1)证明：因为，，所以，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． (3)存在， 【分析】（1）通过平面平面结合面面垂直性质可完成证明； （2）由可得平面，然后由线面平行性质可完成证明； （3）分别取，的中点，，连接，，，由题设可得，，，四点共面，然后假设存在符合题意的点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，由题设可证明即二面角的平面角，然后由题目数据可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别取，的中点，，连接，，． 因为，所以四边形为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得． 因为平面平面，平面，所以平面． 根据棱台的性质可得，所以，，，四点共面． 假设存在符合题意的点，过点作，垂足为， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 因为，，所以，所以平面， 所以，所以即二面角的平面角． 由题意可得，，，，． 设，由，得，． 由.得． 若二面角为，则，解得， 则， 所以线段上存在点，且． 19．(1) (2)（ⅰ）因为“第一次取到的是偶数号球”， 将“奇数和偶数互换”由对称性知：事件与包含的基本事件个数相等； 所以 （ⅱ） 【分析】（1）利用古典概率模型直接求解即可； （2）（i）因为 “第一次取到的是偶数号球”与“第一次取到的是奇数号球”对称，则事件与包含的基本事件个数相等；（ii）记“取球过程中至少一次出现“巧遇”，利用互斥事件以及概率的性质求解即可. 【详解】（1）当时，盒中有个标号为的小球， 取球两次共有个样本点，样本空间为 其中出现“巧遇”的情况为种，记为 所以取球两次就出现“巧遇”的概率为 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）记“取球过程中至少一次出现“巧遇”，则， 由（ⅰ）知：， 因为盒中有个小球，当第一次取到的是偶数号球时，一定会出现“巧遇”， 所以， 所以 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $