河南鹤壁市高中2025-2026学年高二上学期规范化考试数学试卷(一)(宏奥A卷)

2027届上学期规范化考试数学试卷（一） （宏奥A卷） 2025.09.07 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，设甲：“”；乙：“向量的夹角为锐角”，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 3. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，则到直线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ） A. 若，则∥平面 B. 若，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 8. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 我们称：两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角；由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”.则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 12. 正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 13. 如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（　　） A. B. 点必在线段上 C. D. 平面 14. 在正方体中，，，则（ ） A. 若，则点的轨迹为线段 B. 若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 15. 在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 对于任意给定的点，存在点使得 B. 对于任意给定的点，存在点使得 C. 当时， D. 当时，平面 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 16. 已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 _________ . 17. 在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______. 18. 已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 19. 一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿，将这两个三角形折起到与平面垂直（如图2），连接，，，，若点满足且，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 20. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 21. 已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 22. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 23. 如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面； （II）求二面角的正弦值； （III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长. 2027届上学期规范化考试数学试卷（一） （宏奥A卷） 2025.09.07 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 【13题答案】 【答案】BD 【14题答案】 【答案】BCD 【15题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 ①. ②. 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【20题答案】 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【21题答案】 【答案】（1）详见解析（2） 【22题答案】 【答案】（1） （2）①；②2 【23题答案】 【答案】 （I）依题可知，以D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图所示），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0）， E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）． ［方法一］：向量法 依题意得=（0，2，0），=（2，0，2）． 设=(x，y，z)为平面CDE的法向量， 则 即 ，不妨令z=–1，可得=（1，0，–1）． 又=（1，，1），可得， 又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE． ［方法二］：几何法 如图2，取的中点K，联结，根据题意，得． 所以平面，平面． 而平面平面，所以平面平面． 而平面，所以平面． （II）； （III）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $