河南省2026-2027学年高二上学期开学考试数学模拟卷（人教A版）

**基本信息** 聚焦必修全册知识，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，检测高二学生数学眼光、思维与语言的核心素养发展水平 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|不等式解集、函数性质、复数运算等|单选注重基础，多选结合随机事件独立性等提升推理能力| |填空题|3题/15分|方差计算、向量投影、立体几何折叠|第14题折叠问题考查空间观念，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|统计图表分析、函数对称性、立体几何证明等|15题统计题培养数据意识，19题生成函数问题发展创新意识，契合开学检测知识综合与能力衔接需求|

2026-2027学年高二上学期开学考试模拟卷 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由不等式的解集可得, 令，得，得或， 由不等式的解集可得、是方程的解， 所以，所以. 2．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】先代入已知点求出值，再结合函数图象的平移及函数的性质分析平移后函数图象所在的象限. 【详解】将点代入，得，解得. 因此所求函数为， 该函数的图象可由反比例函数的图象向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度得到，渐近线为和. 分区间讨论： 当时，，则，故： 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象经过第一象限及第四象限. 当时，，则，故， 当趋近于时趋近于，当趋近于时趋近于，即由时，由. 因此该区间图象位于第一象限及第二象限. 如图： 综上，函数图象经过第一、二、四象限. 3．复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的分母实数化进行化简求得，利用公式求解模长即可. 【详解】， 所以1. 4．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式展开待求式，构造关于、的二次齐次分式，代入的值计算. 【详解】 ， 由可得：分子为， 分母为， 因此原式. 7．在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得. 所以， 因为，， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 8．如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（     ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】将三棱锥展开，采用将军饮马模型确定的位置以及的最小值． 【详解】由题意得三棱锥每个面都是等边三角形，将三棱锥展开，    作B点关于的对称点，连接，交延长线于点，连接，交于点，交于点R，连接BQ，交AC于点P， 此时的最小值， ， ， ， ， ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件、满足，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若、相互独立，则 【答案】CD 【分析】利用，可判断A选项；取事件，相互独立时，结合独立事件的概率公式可判断B选项；若，则，可判断C选项；即；利用独立事件的概率公式可判断D选项. 【详解】对于选项A，， 只有当事件、互斥时，，才有， 题意没说明、互斥，所以不一定为，故A错误； 对于选项B，当事件、相互独立时，，故B错误； 对于选项C，若，则，所以，故C正确； 对于选项D，若、相互独立，则、相互独立， 又因为，， 所以，故D正确. 10．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】由奇偶性的定义确定为奇函数，由此得与奇偶性相异，结合“同偶异奇”分情况讨论即可. 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 11．已知函数在上单调递增，且对任意，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】AD 【分析】先赋值求出排除常函数，构造转化为指数型函数，得到，再分别代入验证ABC个选项，对于D，利用变形即可证明函数是奇函数． 【详解】对于A，令，得： 整理得，解得，或， 若，令， 得，即， 解得，这与在上单调递增矛盾， 所以，A正确； 对于B，由， 得， 令，则，且， 由在上单调递增，得在上单调递增， 由指数函数性质，单调递增且满足的函数为， ，B错误； 对于C，由，得， 不恒等于， 所以不是奇函数，C错误； 对于D，令，得， 所以，即， 所以函数是奇函数，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________． 【答案】 【详解】数据，，，，的方差为； 已知，则数据，，，，的标准差为. 13．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】向量在向量上的投影向量为. ， 已知，，， 代入得 . 将，代入投影向量公式： . 14．在正方形中，，，分别为边，的中点，分别沿，，将，，折起，使点，，重合于点，形成四面体，则以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为_____________． 【答案】/ 【分析】由题意先求得四面体的外接球的半径，再用勾股定理求得两球相交圆的半径，从而求得其相交圆的周长，即两球相交形成的交线的长度. 【详解】如图，， 所以在四面体中，， 所以四面体的外接球为以为棱长的长方体的外接球，记球心为， 其半径为. 设以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交于圆，其半径为 则，解得. 所以圆的周长为， 即以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为 (3) 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数在内，为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . （3）由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 16．（15分） 已知函数. (1)若，，求函数的值域； (2)若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)①证明：把，代入函数，得 ， 所以， 故， 所以曲线关于中心对称. ② 【分析】（1）把，代入函数，应用分离变量即可求得值域； （2）把，代入函数， ①利用中心对称与函数图象表达式的关系证明； ②用指数与对数函数运算法则化简整理即可求解. 【详解】（1）把，代入函数，得 ，定义域为 由，得,那么, 即， 所以，函数的值域为. （2）①略 ②把，代入函数，得 由于，故, 所以即可化为 又，在上单调递减， 所以，， 设，那么在上单调递增， 又， 所以原不等式可化为，得， 所以原不等式解集为. 17．（15分） 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，．    (1)若，请用向量，来表示向量，； (2)若，，求的面积； (3)若，，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，及向量的加减、数乘运算即可求解； （2）先根据二倍角的余弦公式求出，从而求出，再根据数量积的定义求出，进而根据三角形的面积公式即可求解； （3）先分析当和时的情况，从而得到，，再结合题意推出，从而根据三点共线的性质，及基本不等式即可求解． 【详解】（1）由是线段的中点，且， 则； 又， 所以． （2）由，得， 又，则为锐角，所以， 又，则，所以， 所以． （3）由，， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意， 则，，所以，， 又，且， 则， 所以， 即， 由题意得，，三点共线，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，取得最小值，最小值为． 18．（17分） 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为且为的中点，所以， 因为，所以且．因为，所以且， 所以且．所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据题意，证明四边形是平行四边形得到即可； （2）过点作交于点，连接，利用三角形全等证明或其补角即为平面与平面所成角的平面角，等面积法求出，再利用余弦定理求出，即可求出； （3）取的中点为，连接，，首先证明平面，然后利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知，直线平面，同理可得平面， 由于交于点，平面，所以平面平面， 因此平面与平面所成角即为平面与平面所成的角， 如图所示，过点作交于点，连接， 由于，，所以，所以， 则或其补角即为平面与平面所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则， 因为，解得， 在中，由余弦定理得， 所以平面与平面所成角的正弦值为. （3）取的中点为，连接，， 因为为等腰三角形，为等边三角形，所以，， 所以，， 因为，所以，， 因为，，，，平面，所以平面， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 19．（17分） 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)能， 【分析】（1）根据偶函数的概念可求的值. （2）先确定函数的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的值域问题求解. （3）先确定函数的解析式，根据函数的奇偶性确定，再结合对勾函数的单调性，结合函数在上的最小值可确定，的值，得到函数的解析式. 【详解】（1）因为，故， 因为为偶函数，故，，故. （2）由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 因为，所以. 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最小值，故. （3）设，则． 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以．所以 ． 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，，且当时取到“”． ，又在区间上的最小值为， ，且，此时，． . 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高二上学期开学考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二册全册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 2．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象经过（    ） A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 3．复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 4．已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，三棱锥的各棱长均为1，点分别在棱上，则的最小值是（     ）    A． B． C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件、满足，，则（    ） A． B． C．若，则 D．若、相互独立，则 10．已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 11．已知函数在上单调递增，且对任意，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D．函数是奇函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一组数据，，，，满足，则这组数据的方差为__________；记，则数据，，，，的标准差为__________． 13．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为__________． 14．在正方形中，，，分别为边，的中点，分别沿，，将，，折起，使点，，重合于点，形成四面体，则以为球心，1为半径的球面与四面体的外接球相交形成的交线的长度为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 16．（15分） 已知函数. (1)若，，求函数的值域； (2)若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 17．（15分） 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，．    (1)若，请用向量，来表示向量，； (2)若，，求的面积； (3)若，，求的最小值． 18．（17分） 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 19．（17分） 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． (1)设，，，生成函数是偶函数，求的值； (2)设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $