1.2 集合间的基本关系教学设计--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集概念。通过复习集合元素特性，结合三组具体集合实例引导学生观察共同特征，搭建从集合概念到集合关系的学习支架。 资料亮点在于以数学眼光抽象概括子集定义，用Venn图实现数形结合，通过含参集合关系讨论培养数学思维的分类讨论能力。如例3中对B⊆A分B=∅与B≠∅讨论，清晰突破难点，助力学生理解符号语言，也为教师提供直观教学策略。

数学 必修第一册 高一 教学设计-2026-2027学年 人教A版 1.2 集合间的基本关系 教学目标 下表呈现本课的课题与教学目标。 课题 集合间的基本关系 教学目标 语言 能准确说出子集、真子集、集合相等、空集的定义，正确使用符号A⊆B、A⫋B、A=B与∅描述集合间的包含关系。 素养 素养 能借助Venn图直观表示集合间的包含关系，体会数形结合与抽象概括的数学思想。 素养 素养 能区分属于关系a∈A与包含关系{a}⊆A，在含参集合关系讨论中做到分类不重不漏。 素养 （1）理解子集、真子集、集合相等、空集的概念，掌握子集与真子集的符号表示及读法。（2）能用Venn图表示集合间的包含关系，会按元素个数有序写出一个集合的所有子集与真子集。（3）区分元素与集合的属于关系及集合与集合的包含关系，体会分类讨论与抽象概括的数学思想。 教学目标 本课的重点与难点如下表所示。 教学重点 教学难点 子集、真子集、空集的概念与符号表示 ∈与⊆的区别（元素与集合的关系 vs 集合与集合的关系） 集合相等的判定（双向包含A⊆B且B⊆A） 空集是任何集合的子集这一规定 Venn图表示集合间的包含关系 含参集合关系中端点取舍与分类讨论 （1）重点分析：子集是刻画集合间包含关系的基础概念，真子集与集合相等均在此基础上派生。Venn图将抽象的包含关系转化为直观的图形，是学生理解概念的重要工具。教学中应引导学生从具体实例出发，归纳出子集的定义，再通过符号化与图形化加深理解。（2）难点分析：学生容易将元素与集合的属于关系a∈A和集合与集合的包含关系{a}⊆A混淆。空集作为不含任何元素的集合，规定它是任何集合的子集，这一规定的合理性需要通过实例说明。含参集合关系中端点的取舍涉及等号是否成立，需要学生具备较强的逻辑推理与分类讨论能力。 教学过程 一、复习导入 教师提问：上一节课我们学习了集合的概念与表示，请同学们回顾，集合中的元素有哪些确定性？（1）互异性：集合中的元素互不相同。（2）无序性：集合中的元素没有先后顺序。（3）确定性：一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合。 教师追问：给定两个实数，我们可以用不等号比较它们的大小关系。那么给定两个集合，它们之间是否也存在类似的关系呢？教师给出三组集合让学生观察：（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；（2）C={x|x是等腰三角形}，D={x|x是三角形}；（3）E={2,4}，F={x|x是偶数}。 预设学生回答：在第（1）组中，集合A的元素1、2、3都在集合B中；在第（2）组中，集合C的元素（等腰三角形）都是集合D的元素（三角形）；在第（3）组中，集合E的元素2和4都是集合F的元素。教师引导：这三组集合的共同特征是，前一个集合的每一个元素都属于后一个集合。这就是本节课要研究的集合间的基本关系。 二、新授探究 1. 子集概念的引入与理解 教师活动：基于刚才观察的三组集合，引导学生抽象概括出子集的定义。一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集（subset），记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 教师强调定义中的关键词“任意一个”，即集合A中的所有元素都必须在集合B中，不能有例外。教师示范Venn图的画法：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。若A⊆B，则表示集合A的封闭曲线画在表示集合B的封闭曲线的内部。 学生活动：学生动手画出上述第（1）组集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}的Venn图，用大小两个圆分别表示集合A和B，将小圆画在大圆内部，直观感受包含关系。 设计意图：从具体实例到抽象定义，符合学生的认知规律。Venn图的引入将符号语言转化为图形语言，帮助学生建立数形结合的意识。 2. 集合相等的概念 教师提问：如果集合A={x|x是小于5的正整数}，B={1,2,3,4}，集合A与集合B之间有什么关系？预设学生回答：集合A的元素1、2、3、4都在集合B中，集合B的元素1、2、3、4也都在集合A中，即A⊆B且B⊆A。 教师归纳：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。教师指出，集合相等实质上是双向包含，这也是证明两个集合相等的基本方法。 3. 真子集的概念 教师提问：回到第（1）组集合A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}，A是B的子集，但B中是否存在不属于A的元素？预设学生回答：存在，元素4和5在B中但不在A中。 教师归纳：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。教师强调真子集与子集的区别：真子集要求B中至少有一个元素不在A中，即A是B的子集但A不等于B。 4. 空集的概念 教师提问：我们把不含任何元素的集合叫做空集（empty set），记为∅。请举出空集的例子。预设学生回答：方程x²+1=0在实数范围内的解集是空集；大于5且小于3的实数构成的集合是空集。 教师规定：空集是任何集合的子集。教师追问：空集有真子集吗？预设回答：空集没有真子集，因为空集中不存在任何元素可以取出。教师进一步说明：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C，包含关系具有传递性。 5. 属于关系与包含关系的区别 教师提问：设A={1,2}，下列关系正确吗？（1）1∈A；（2）{1}⊆A；（3）{1}∈A。预设学生回答：（1）正确，1是集合A的元素，属于关系用∈；（2）正确，{1}是A的子集，包含关系用⊆；（3）错误，{1}是集合而不是A的元素。 教师总结：包含关系{a}⊆A是集合与集合之间的关系，属于关系a∈A是元素与集合之间的关系，两者有本质区别，不能混用。 三、巩固练习 例1 写出集合A={a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。 解析：按元素个数从少到多有序写出。0个元素的子集：∅；1个元素的子集：{a}，{b}，{c}；2个元素的子集：{a,b}，{a,c}，{b,c}；3个元素的子集：{a,b,c}。因此集合A的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}，共8个。真子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，共7个（除去集合{a,b,c}本身）。 教师追问：含有n个元素的集合有多少个子集？多少个真子集？预设学生回答：含有n个元素的集合有2ⁿ个子集，有2ⁿ−1个真子集。 例2 判断下列命题的真假，并说明理由。（1）空集没有子集；（2）任何一个集合至少有两个子集；（3）若A⊆B，且B⊆C，则A⫋C。 解析：（1）假命题。空集是任何集合的子集，空集是空集本身的子集，即∅⊆∅。（2）假命题。空集只有一个子集，即它自身。（3）假命题。若A⊆B且B⊆C，则A⊆C，但不一定是真子集。例如当A=C={1}，B={1}时，A⊆B且B⊆C成立，但A=C，A不是C的真子集。 例3 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|m≤x≤m+2}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 解析：由于B⊆A，需要分B=∅和B≠∅两种情况讨论。 情况一：当B=∅时，需m>m+2，即0>2，无解。故B不可能为空集。 情况二：当B≠∅时，需满足区间B整体落在区间A内，即左端点不小于A的左端点且右端点不大于A的右端点，列不等式组：m≥1且m+2≤3。解得m≥1且m≤1，故m=1。 答案：实数m的取值为m=1，即取值范围是{1}。 教师追问：若将条件改为B⫋A，结果是否变化？预设学生回答：当m=1时，B={x|1≤x≤3}=A，此时B是A的子集但不是真子集。因此若要求B⫋A，则m=1不满足，此时不存在满足条件的m，取值范围为∅。 练习1 写出集合{p,q}的所有子集及真子集。答案：所有子集为∅，{p}，{q}，{p,q}；真子集为∅，{p}，{q}。 练习2 设集合M={1,2,3}，N={1,2}，下列关系正确的是（ ）。A. M⊆N B. N⫋M C. N∈M D. M⫋N。答案：B。解析：N的元素1、2都在M中，且M中有元素3不在N中，故N是M的真子集。 四、课堂小结 教师引导学生回顾本节课的主要内容：（1）子集：A⊆B表示集合A的任意一个元素都是集合B的元素；（2）集合相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B；（3）真子集：A⫋B表示A⊆B但A≠B；（4）空集∅是任何集合的子集；（5）包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A的区别。 思考题：已知集合A={x|x²−3x+2=0}，B={x|0<x<3，x∈N}，判断集合A与B的关系。答案：A={1,2}，B={1,2}，故A=B。 五、布置作业 1. 教科书习题1.2第1—3题。 2. 拓展题：设集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a−1}，若B⊆A，求实数a的取值范围。答案：当B=∅时，a+1>2a−1，解得a<2；当B≠∅时，需a≥2且a+1≥−2且2a−1≤5，解得a≥2且a≥−3且a≤3，故2≤a≤3。综上，a的取值范围为a≤3。 学科网（北京）股份有限公司 $