1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、集合相等、真子集、空集概念及Venn图应用。通过类比实数大小关系（如3<5），观察集合A={1,3,5}与B={1,2,3,4,5,6}的元素关系导入，衔接集合概念与表示，为后续集合运算奠定基础。 此资料亮点在于从具体实例抽象概念，Venn图动态演示培养直观想象，概念辨析（如a∈A与{a}⊆A）提升逻辑推理，分层作业含参问题渗透分类讨论。助力学生发展数学抽象与有序思考，为教师提供清晰教学流程与评价要点。

1.2 集合间的基本关系 人教A版 教学设计-2026-2027学年 数学 必修第一册 高一 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第一章第二节的内容，安排在集合的概念与表示之后，是对集合研究的进一步深入。教材从观察具体集合间元素的关系入手，依次引出子集、集合相等、真子集与空集的概念，并介绍了Venn图的画法及其在表示集合包含关系中的作用。这些概念是后续学习集合的交并补运算以及函数定义域、值域等知识的基础，在高中数学知识体系中起着承前启后的关键作用。 二、学情分析 学生刚学习了集合的概念及两种表示方法，对元素与集合的属于关系有了初步认识，具备了探究集合间关系的基本条件。但学生的抽象概括能力尚在发展阶段，对于集合与集合之间的包含关系容易与元素与集合的属于关系产生混淆。同时，空集这一概念的抽象性较强，学生在具体问题中容易遗漏空集的情况。因此，教学中需借助大量具体实例和直观图形，引导学生经历从具体到抽象的认知过程，并在易错点处设置针对性辨析。 三、教学目标 1. 通过观察具体实例，抽象出子集的概念，能准确使用符号A⊆B表示集合间的包含关系，培养数学抽象素养。 2. 经历从子集到集合相等、真子集概念的归纳过程，理解三者之间的逻辑联系，提升逻辑推理能力。 3. 掌握Venn图的画法，能利用Venn图直观表示集合间的包含关系，增强直观想象素养。 4. 理解空集的概念及规定，能准确判断给定集合是否为空集，培养严谨的科学态度。 5. 掌握集合相等的基本判定方法，即通过双向包含关系证明两个集合相等，提升逻辑推理素养。 6. 能够准确写出给定有限集合的所有子集与真子集，掌握按元素个数分类列举的方法，培养有序思考的技能。 7. 理解包含关系的传递性及任何一个集合是它本身的子集这一结论，并能进行简单应用。 8. 辨析属于关系a∈A与包含关系{a}⊆A的本质区别，避免在具体问题中混淆使用，培养批判性思维。 9. 在探究含参集合关系的过程中，体会分类讨论思想的应用，提升分析问题与解决问题的能力。 10. 在概念形成与问题解决的过程中，体会数学符号的简洁性与严谨性，形成良好的数学学习素养。 四、教学重难点 1. 教学重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的判定方法，Venn图的画法与应用。 2. 教学难点：属于关系∈与包含关系⊆的本质区别，空集是任何集合的子集这一规定的理解，含参集合关系中端点值的取舍与分类讨论。 五、教学准备 教师准备多媒体课件，包含实数大小关系类比图、Venn图动态演示素材及分层练习题；学生复习集合的表示方法，准备好草稿纸与直尺。 六、教学过程 1. 情境导入 教师呈现两组实数：a=3与b=5，引导学生回顾实数之间具有大小关系（如3<5）。随后教师给出两个集合：A={1，3，5}与B={1，2，3，4，5，6}，提问：实数有大小关系，那么集合与集合之间是否也存在类似的关系？观察集合A中的元素是否都在集合B中？预设学生回答：集合A中的1、3、5都在集合B中。教师追问：这种关系在数学上如何定义和表示？由此引出本节课课题。设计意图：通过类比实数关系，自然过渡到集合间关系，激发学生的探究欲望。 2. 探究新知 （1）子集概念的建构 教师在黑板上写出：A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}。引导学生观察发现集合A中任意一个元素都是集合B中的元素。教师给出子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。教师强调符号⊆的开口方向与包含方向的对应关系。 （2）Venn图表示 教师介绍：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师示范画法：画一个大圆表示集合B，在大圆内部画一个小圆表示集合A，直观展示A⊆B的关系。设计意图：借助图形直观，帮助学生建立数形结合的思维习惯。 （3）集合相等与真子集 教师给出集合C={x|x²−3=0}与D={−，}。提问：集合C与D的元素有何关系？预设学生回答：C的元素是和−，D的元素也是和−，两个集合元素完全相同。教师归纳：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 教师进一步提问：回到A={1，3，5}与B={1，2，3，4，5，6}，A是B的子集，但A与B相等吗？为什么？预设学生回答：不相等，因为2∈B但2∉A。教师由此引出真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。 （4）空集与重要结论 教师给出集合P={x|x²+1=0}，提问：方程x²+1=0有实数解吗？集合P中有几个元素？预设学生回答：无实数解，集合P中没有元素。教师给出空集定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。教师补充重要结论：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。 （5）概念辨析 教师设问：已知a∈A，能否得出{a}⊆A？反之是否成立？引导学生辨析：a∈A表示元素a属于集合A，是元素与集合的关系；{a}⊆A表示以a为元素的集合包含于A，是集合与集合的关系。两者含义不同但在此例中均成立。教师追问：0∈∅成立吗？∅⊆{0}成立吗？预设学生回答：0∈∅不成立，因为∅不含任何元素；∅⊆{0}成立，因为空集是任何集合的子集。设计意图：通过对比辨析，突破∈与⊆混淆的难点。 （6）例题示范 例1：写出集合M={a，b，c}的所有子集，并指出其真子集。 教师引导学生按元素个数从少到多有序写出。解：不含元素的子集：∅；含一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集：{a，b，c}。因此集合M的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个。真子集为除去自身{a，b，c}外的其余7个子集，即∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}。 3. 巩固练习1 1. 判断下列各组集合间的关系： （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4}。答案：A⫋B。 （2）C={x|x是等边三角形}，D={x|x是等腰三角形}。答案：C⫋D。 2. 判断下列命题的真假： （1）空集没有子集。答案：假命题。依据：规定空集是任何集合的子集，且∅⊆∅。 （2）若A⊆B，则A⫋B。答案：假命题。依据：当A=B时，A⊆B成立但A⫋B不成立。 3. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=a+2，a∈A}，判断A与B的关系。解：由a∈A得1≤a≤3，则3≤a+2≤5，即B={x|3≤x≤5}。比较端点可知A⫋B。答案：A⫋B。 七、板书设计（主版面） 左栏：概念梳理 右栏：例题与辨析 1. 子集：A⊆B 2. 相等：A⊆B且B⊆A⇒A=B 3. 真子集：A⫋B 4. 空集：∅，∅⊆A 5. 传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C 例1：M={a,b,c}的子集 ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 辨析：a∈A与{a}⊆A的区别 八、作业设计 1. 基础题（必做）： （1）写出集合{m，n}的所有子集及真子集。答案：子集为∅，{m}，{n}，{m，n}；真子集为∅，{m}，{n}。 （2）用适当的符号填空：0 ∅；{0} ∅；{0} {0}。答案：依次填∉，⊇，⊆。 2. 提升题（选做）： 已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。解：当B=∅时，m+1>2m−1，解得m<2，此时B⊆A成立。当B≠∅时，需m≥2且满足m+1≥−2且2m−1≤5，解得m≥2且m≤3，即2≤m≤3。综合得m≤3。答案：m的取值范围为{m|m≤3}。 九、教学反思与评价建议 本节教学应注重概念的生成过程，避免直接灌输定义。通过实数大小关系的类比引入集合间的包含关系，能有效降低学生的理解门槛。在Venn图教学中，应让学生动手画图，体会图形的直观性。对于空集和∈与⊆的辨析，需通过正反例对比强化认知。在含参集合关系作业中，学生易遗漏B=∅的情况，后续教学应加强分类讨论意识的渗透与训练。评价建议：课堂观察学生在写出子集时是否做到不重不漏，在概念辨析题中能否准确区分元素与集合的关系，以此作为核心评价点。 学科网（北京）股份有限公司 $