北京市房山区2026-2027学年高三上学期入学测试数学试卷

房山区2026年新高三入学测试试卷 数　学 本试卷满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为 A．2 B．4 C．6 D．8 4．在的展开式中，若常数项为240，则 A． B． C． D． 5．下列函数中，是奇函数且在上单调递增的为 A． B． C． D． 6．已知向量，向量满足，则的最小值为 A． B． C． D． 7．将函数的图象平移得到函数的图象，且点为曲线在轴右侧的首个对称中心，则上述的平移方式可以是 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是 A． B． C． D． 9．已知数列是公比为的无穷等比数列，，则“”是“任取无穷等差数列，对于任意，存在正整数，使”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为、它的长度规定．在中，若，，则的最大值为 A． B． C． D． 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 12．图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的体积为______，侧面积为______． 14．设等差数列的前项和为，已知，当且仅当时，取得最大值，写出满足条件的一个的值______． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①当时，的图象关于直线对称； ②，在上存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有四个零点． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 在中，，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积． 17．（本小题13分） 如图，在直四棱柱中，，，，，且，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 18．（本小题14分） 足球联赛中两队的胜负规则是：一场比赛中进球多者为胜，进球少者为负，两队均不进球或进球数一样为平局；积分规则是：取胜的球队积3分，负的球队积0分，平局每队各积1分．甲、乙两队近期将要进行2026赛季的2场比赛，为预测它们2场比赛的总积分，收集了两队近5个赛季比赛的结果，如下表： 2021赛季 2022赛季 2023赛季 2024赛季 2025赛季 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 第一场 第二场 甲队进球数 2 1 1 2 3 2 0 1 3 0 乙队进球数 1 5 0 2 2 1 1 1 0 2 假设甲、乙两队每场的比赛相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）估计甲队第一场比赛获胜的概率； （Ⅱ）在2026赛季的2场比赛中，设甲队的总积分为，估计的数学期望； （Ⅲ）记为表中乙队10场进球数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记为乙队在这场比赛中的进球数．比较与的大小．（只需写出结论） 19．（本小题15分） 在平面直角坐标系中，点是椭圆的上顶点，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在第四象限，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设与的面积分别，．证明：为定值． 20．（本小题15分） 已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （Ⅲ）若函数在上的最大值为，求实数的值． 21．（本小题15分） 若项数不少于3的有穷数列满足如下两个性质，则称为合规数列． ①对任意的，都有； ②对任意的，，，这三个数至少有一个是数列中的项． （Ⅰ）如果项数为4的合规数列中，，，，求的值； （Ⅱ）证明：2，4，7不可能都是某个合规数列中的项； （Ⅲ）求合规数列的项数的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $