第十三章三角形的边角关系、命题与证明单元卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八上数学沪科版第十三章单元卷，覆盖三角形边角关系、命题与证明核心内容，通过基础巩固与综合探究题，培养几何直观、推理能力及应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|三角形稳定性、直角三角形判定、高的概念|结合生活情境（遮阳伞稳定性），考查基础概念辨析| |填空题|6题|三角形个数、三边关系、角平分线性质|设置开放题（边长范围），强化几何直观| |解答题|8题|命题结构分析、内角和计算、综合证明|21题等腰三角形证明体现推理能力，23题多图探究发展创新意识|

2026-2027学年八上数学沪科版第十三章三角形的边角关系、命题与证明单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 3．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．数学课上，同学们在作的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，已知点分别是的中点，且（   ） A．2 B．1 C． D． 6．如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 8．三角形中的三个内角之比为，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 9．如图，在中，，，，的平分线交边于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．下列三角形中不是直角三角形的是（      ） A．三个内角之比为 B．其中一边上的中线等于这一边的一半 C．三边之长为9、40、41 D．三边之比为 二、填空题 11．图中，三角形的个数为___________个． 12．已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 13．如图，已知在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积等于___． 14．如图，是的中线，已知的周长为比长，则的周长为_____cm． 15．“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条件是______，结论是_______. 16．如图，的内角与外角的平分线相交于点，为的延长线上一点，，交于点，交于点，连结、．给出下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的是________．（填序号） 三、解答题 17．已知两根木条的长分别为，，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，请写出所选木条的长度x（单位：）应满足的不等式组，并求出这个不等式组的解集． 18．如图，是中边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 19．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 20．（1）如图①，求； （2）如图②，求．    21．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 22．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 23．【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 24． 综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第十三章三角形的边角关系、命题与证明单元卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D C D D A B D 1．C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可． 【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形； ②由、可得，即，，是直角三角形； ③由、可得，即，，不是直角三角形； ④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形； 能确定为直角三角形的有3个． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查三角形的稳定性这一核心知识点，关键是明确三角形的数学特性与生活应用的关联．三角形具有稳定性，这是区别于四边形等多边形的重要特性，生活中诸多结构如遮阳伞、建筑支架等采用三角形结构，都是为了利用其稳定性来维持结构的牢固性． 【详解】解：在数学中，三角形具有稳定性，遮阳伞的结构主体设计为三角形，主要是利用了三角形的稳定性来保障结构不易变形； 故选：D． 3．D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 4．D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、不是中边上的高，本选项不合题意； B、不是中边上的高，本选项不合题意； C、不是中边上的高，本选项不合题意； D、是中边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积，根据点是的中点得出，，进而得到，再根据为的中点，得到，进行计算即可得到答案，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解此题的关键． 【详解】解：点是的中点， ，， ， ， 为的中点， ， 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 8．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的分类，根据三角形内角和为，利用角度比设未知数，求出各角度数，判断三角形的类型． 【详解】解：∵三个内角之比为， ∴设三个内角分别为． ∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴三个内角分别为， ∵有一个角为， ∴该三角形为直角三角形． 故选A． 9．B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，等角对等边，由三角形内角和定理可得，进而由角平分线的定义得，即得，得到，进而得到，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．D 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形是直角三角形， 故不符合题意； B、如图，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵三边之长为9、40、41， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形不是直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 11．3 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念数出三角形的个数即可得解． 【详解】解：三角形的个数为3个， 故答案为：3． 12．等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、绝对值和平方的非负性，关键是熟练应用知识点解题；由绝对值和平方的非负性求出和的值，再根据三角形的三边关系确定的取值范围，结合为偶数得到的值，最后按边分类判断三角形的形状。 【详解】解：∵，满足，， ∴ 且 ， 解得： ， 在中，∵， ∴ ， ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 13．16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的计算，解题的关键是正确添加辅助线，运用角平分线的性质解答此题． 作于，证明，即可求解． 【详解】解：过作于点， 是边上的高，平分，， ， ， 故答案为：16. 14．20 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为 ， 比长， ， ， ， 的周长 15． 两条直线被第三条直线所截   同位角相等 【分析】命题的概念:一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题,命题的结构:条件+结论,根据命题的结构进行解答. 【详解】根据命题的结构可得: “两条直线被第三条直线所截,同位角相等”的条件是两条直线被第三条直线所截,结论是同位角相等. 故答案为:两条直线被第三条直线所截,同位角相等. 【点睛】本题主要考查命题的结构,解决本题的关键是要熟练掌握命题的结构特征. 16．①③④ 【分析】结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②不正确；由三线合一定理可证③正确；由及平分可证④正确． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， 即，， ，故①正确； 如答图，过点作于点，于点，于点， 平分，平分， ， 平分， ，故②不正确； ，平分， 垂直平分，故③正确； ， ， 平分， ， ，故④正确． 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、外角性质、角平分线的判定与性质、三线合一定理、平行线性质，解题关键是熟练掌握角平分线的判定与性质． 17．不等式组为，解集为． 【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵两根木条的长分别为，， ∴ 解得． 18．； 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高，先根据是的高得出，再在中利用三角形内角和求出，接着根据平分得出，最后求的度数． 【详解】解：是中边上的高， ， ， 平分， ， ． 19．(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 20．（1）；（2） 【分析】（1）根据是的外角得，根据是的外角得，利用三角形内角和即可得； （2）根据是的外角得，根据是的外角得，利用三角形内角和定理即可得． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的外角． 21．(1) 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等． （1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论； （3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵作外角，的角平分线交于点， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 24．（1）①75°； ②． 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴； （2）如图即为所求： AI与之间的数量关系为：． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1）①，根据等腰三角形的性质得，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形外角的性质得，可得答案； 对于②，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得 ，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质得，最后整理得出答案； 对于（2），先画出图形，根据题意得 ，再设，表示出，，及，即可表示，，最后根据x相等得出结论． 【详解】解：（1）①∵在中，, ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴； ② 略 （2）∵平分，， ∴． 设，则， ∴，， ∴，， 即， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $