第3章 函数的概念与性质 章末归纳提升-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过网络构建与归纳提升系统梳理函数知识体系，以框架图呈现定义域、解析式、分段函数、单调性与奇偶性、图象及应用等模块，明确各题型方法与内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于例题与变式训练结合，如复合函数定义域求解、分段函数求值等题型，培养数学思维中的推理与运算能力，函数应用实例（如工厂生产任务分配）强化模型意识。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力分层教学，支持教师精准指导与学生自主复习。

[网络构建] [归纳提升] 　　　求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题；求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a，b]，f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的x与f[g(x)]中的g(x)地位相同； ②定义域所指永远是自变量x的范围． [例1] (1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域为(　　) A.　　 B. C. D. (2)已知函数y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(1－3x)的定义域为(　　) A. B. C．[0,1] D. [解析]　(1)由题意知，解得x<1且x≠，即f(x)的定义域是∪. (2)由y＝f(x－1)的定义域是[－1,2]，则x－1∈[－2,1]，即f(x)的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x≤1，解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定义域为[0,1]． [答案]　(1)D　(2)C [变式训练] 1．已知函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，值域为R，则(　　) A．函数f(x2＋2)的定义域为R B．函数f(x2＋2)－2的值域为R C．函数f(x2＋2x＋3)的定义域和值域都是R D．函数f(f(x))的定义域和值域都是R 解析：B　[对于A选项，令x2＋2＞2，可得x≠0，所以函数f(x2＋2)的定义域为{x|x≠0}，故A错误；对于B选项，因为f(x)的值域为R，x2＋2≥2，即x2＋2可取遍(2，＋∞)内的所有数，所以f(x2＋2)的值域为R，可得函数f(x2＋2)－2的值域也为R，故B正确；对于C选项，令x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2＞2，得x≠－1，所以函数f(x2＋2x＋3)的定义域为{x|x≠－1}，故C错误；对于D选项，函数f(f(x))的定义域为的解集，故函数f(f(x))的定义域不为R，故D错误．] 　　　求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． [例2] (1)已知f(－1)＝x－2，则f(x)的解析式为　________　. (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且∀x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝　________　. [解析]　(1)f(x)＝x2－1(x≥－1)　(2)x2＋x＋1 [(1)法一(换元法)　令t＝－1，t≥－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1(t≥－1)， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥－1)． 法二(配凑法)　f(－1)＝x－2 ＝x－2＋1－1＝(－1)2－1. 因为－1≥－1，所以函数的解析式为 f(x)＝x2－1(x≥－1)． (2)法一　由已知条件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 令y＝x，则f(x－y)＝f(0) ＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二　令x＝0，得 f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1.] [变式训练] 2．(1)已知f(x＋1)＝x2－5x＋4，则f(x)＝　________　； (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函数的解析式为　________　； (3)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则f(x)的解析式为　________　. 解析：(1)令x＋1＝t， 则x＝t－1， 因为f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以f(x)＝x2－7x＋10. (2)设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得 解得 (3)令t＝x－1，则x＝t＋1，t∈R， 原式变为3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式变为3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋， 故f(x)＝2x＋. 答案：(1)x2－7x＋10 (2)f(x)＝x2＋1 (3)f(x)＝2x＋ 　　　分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． [例3] 设f(x)＝.若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 [解析]　当0<a<1时，a＋1>1， f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)， ∴＝2a，解得a＝. ∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. [答案]　C [变式训练] 3.根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． 解：当－3≤x<－1时，函数f(x)的图象是一条线段(右端点除外)， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)．将点(－3,1)，(－1，－2)代入， 可得解得 可得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入上式可求得c＝， d＝－， ∴f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 综上所述， f(x)＝ 　　　函数的单调性与奇偶性 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． [例4] (1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2 (2)已知f(x)＝(x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； ②若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． (1)[解析]D　[因为y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，所以，|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.] (2)[解]　①证明：∀x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增． ②∀1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，a的取值范围是(0,1]． [变式训练] 4．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)用定义法证明：f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)若实数t满足f(2t－1)＋f(t－1)<0，求实数t的范围． 解：(1)∵函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f(0)＝0，∴b＝0， 又f(1)＝，即＝，∴a＝1， ∴f(x)＝(经检验符合题意)． (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， 那么f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0， 1－x1x2>0,1＋x>0,1＋x>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． (3)　f(2t－1)＋f(t－1)<0， ∴f(2t－1)<－f(t－1)， 又由已知f(x)＝是(－1,1)上的奇函数， ∴f(2t－1)<f(1－t)． ∵f(x)＝是(－1,1)上的增函数， ∴ 即t的取值范围为. 　　　函数的图象及应用 　作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移，y＝f(x)y＝f(x±h)； y＝f(x)y＝f(x)±k(其中h>0，k>0)． ②对称：y＝f(x)y＝f(－x)； y＝f(x)y＝－f(x)； y＝f(x)＝y＝－f(－x)． 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． [例5] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的增区间； (2)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图所示，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的增区间是(－1,0)，(1，＋∞)． (2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞)． [变式训练] 5．(1)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) (2)对于函数f(x)＝x2－2|x|. ①判断其奇偶性，并指出图象的对称性； ②画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 解析：(1)D　[因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，f(1)＝0，则可知开口向上，排除A、C，然后根据f(0)＝c<0，可知函数图象与y轴的交点在x轴下方．] (2)解：①函数的定义域为R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则f(－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 图象关于y轴对称． ②f(x)＝x2－2|x| ＝ 画出图象如图所示， 根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调递增区间是[－1，0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，－1]，[0,1]． 　　　函数的应用 　在本章中，数学建模主要体现在函数模型的应用中． 　在建立模型的过程中，要遵循以下基本原则： (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，可通过一些假设来减少系统中的变量个数，尽量建立较简单的模型，即在建立模型时，应采用尽可能简单的数学工具，但又必须能反映现实原型的本质特征和关系． (2)可推算原则：建立的数学模型一定要有意义，对其既能进行理论分析，又能计算和推理，且能推算出一些确定的结果．若建立的数学模型在数学上是不可推算的，得不出确定的可以应用于原型的结果，那这个模型就没有价值． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有一定的“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题． [例6] 某工厂有214名工人，现要生产1 500件产品，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每名工人加工5个A型零件与3个B型零件所需的时间相同．现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工．设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x)，加工完B型零件所需的时间为h(x)． (1)试比较g(x)与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式； (2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？ [解]　(1)由已知A型零件需要生产4 500个，B型零件需要生产1 500个，加工B型零件的工人有(214－x)名，单位时间内每名工人加工B型零件3k个． 所以g(x)＝＝， h(x)＝＝. 则g(x)－h(x)＝－ ＝·. 因为0<x<214，且x∈N，k∈N*，所以当0<x≤137时，g(x)>h(x)， 当137<x<214时，g(x)<h(x)． 所以f(x)＝其中x∈N. (2)因为当0<x≤137时，f(x)为减函数，当137<x<214时，f(x)为增函数，且＝·＝<1，所以当x＝137时f(x)的值最小，即安排137名工人加工A型零件，77名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少． [变式训练] 6．为纪念2025年成都世界科幻大会发行纪念邮票，从2025年8月1日起上市，经过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 1 2 6 市场价y元 5 2 10 (1)分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系：①一次函数；②二次函数，并求出函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格． 解：(1)由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大， 而模型①为单调函数，不符合题意， 故选择二次函数模型②， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由表中数据可知 解得 ∴f(x)＝x2－6x＋10(x≥0)， (2)由(1)知，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴当x＝3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元， 故黑山谷纪念邮票上市第3天时市场价最低，最低的价格为1元． 学科网（北京）股份有限公司 $